分?jǐn)?shù)到分式，特殊到一般

第八章 分式

領(lǐng) ? ?銜 ? ?人：浦?jǐn)⒌拢ㄌ丶?jí)教師，正高級(jí)教師）

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省無錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心

為了幫助同學(xué)們?nèi)嫦到y(tǒng)地掌握本章知識(shí)技能和思想方法，領(lǐng)會(huì)知識(shí)內(nèi)涵和本質(zhì)，老師將從下面三個(gè)方面來加以剖析。

一、認(rèn)清分式概念的本質(zhì)

我們七年級(jí)學(xué)過“用字母表示數(shù)”的相關(guān)知識(shí)，所以，從分?jǐn)?shù)到分式，實(shí)際上就是由特殊的數(shù)走向一般的式;我們還學(xué)過整式，知道單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式，并由此得到了分式。由此可見，分式與分?jǐn)?shù)、整式有著千絲萬縷的聯(lián)系。我們既可以把分式看成是分?jǐn)?shù)的一般化，又可以將其看成是兩個(gè)整式之間的特殊除法。另外，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，同理，整式與分式統(tǒng)稱為有理式。由此充分說明，數(shù)與式及其發(fā)展是一脈相承的，數(shù)式之間相同的性質(zhì)，簡(jiǎn)稱數(shù)式通性。

二、掌握分式性質(zhì)和運(yùn)算

既然從分?jǐn)?shù)到分式是從特殊到一般，那么，我們學(xué)習(xí)分式就要利用數(shù)學(xué)的類比思想，從分式的源頭——分?jǐn)?shù)出發(fā)，設(shè)法把新知識(shí)（分式的問題）轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)（分?jǐn)?shù)的問題）?？梢?，在本章學(xué)習(xí)中，特殊到一般、類比、轉(zhuǎn)化就是最重要的數(shù)學(xué)思想方法。

下面以“異分母分式相加減”為例具體說明。我們可以從圖1看到異分母分式的加減是如何一步步通過類比和轉(zhuǎn)化，變成我們完全熟悉的整式加減，最后變成最簡(jiǎn)單的整數(shù)加減。

三、學(xué)透分式方程及應(yīng)用

初中代數(shù)的知識(shí)分為數(shù)、式、方程、不等式、函數(shù)五塊。如果引進(jìn)負(fù)數(shù)是初中代數(shù)的第一次飛越，那么從數(shù)走向式，就是初中代數(shù)的第二次飛越。我們學(xué)習(xí)數(shù)與式，歸根結(jié)底是為學(xué)習(xí)方程、不等式和函數(shù)等知識(shí)奠基。因此，分式方程可以認(rèn)為是分式的數(shù)學(xué)運(yùn)用，而用分式方程解決實(shí)際問題又可以認(rèn)為是分式的實(shí)際應(yīng)用，兩者都體現(xiàn)了分式的價(jià)值。

在學(xué)習(xí)分式方程時(shí)，我們自然會(huì)聯(lián)想到整式方程。通過類比，我們可以發(fā)現(xiàn)，分式方程比整式方程多了一個(gè)含有未知數(shù)的分母，所以，分式方程必須要檢驗(yàn)，避免分母為0時(shí)式子無意義。另外，分式方程的解法步驟中，去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，與整式方程的解法步驟唯一不同的是去分母。整式方程去分母是方程兩邊同時(shí)乘各分母的最小公倍數(shù)，而分式方程是方程兩邊同時(shí)乘各分母的最簡(jiǎn)公分母。一旦去分母成功，分式方程就變成了整式方程。因此最簡(jiǎn)公分母中必定含有未知數(shù)，所以，這個(gè)最簡(jiǎn)公分母的值可能為0，這是分式方程會(huì)產(chǎn)生增根的本質(zhì)原因。如果求出的未知數(shù)的值使最簡(jiǎn)公分母為0，那么這個(gè)未知數(shù)的值就是原方程的增根，否則就是原方程的根。

利用分式方程解決實(shí)際問題，跟前面所學(xué)的用一元一次方程、二元一次方程組等各類方程來解決實(shí)際問題一樣，都是根據(jù)題目中的等量關(guān)系，設(shè)法把實(shí)際問題抽象、建模成數(shù)學(xué)中的方程問題，然后利用方程的知識(shí)進(jìn)行求解。由于分式方程的特殊性，求出來的解需要先檢驗(yàn)是不是原分式方程的解，再檢驗(yàn)是不是實(shí)際問題的解。

從上面的研究我們可以看出，分式來源于分?jǐn)?shù)，也可以看成來源于整式;分式的基本性質(zhì)來源于分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì);分式的加減、乘除、乘方運(yùn)算來源于分?jǐn)?shù)的相應(yīng)運(yùn)算;分式方程是分式的運(yùn)用和應(yīng)用，但在解決問題時(shí)還是要回歸整式方程。這樣全面、整體的認(rèn)識(shí)，會(huì)讓我們覺得分式的學(xué)習(xí)非常自然和簡(jiǎn)單。可見，學(xué)好數(shù)學(xué)，一要抓住新舊知識(shí)的聯(lián)系，從舊知走向新知;二要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思想方法來思考，學(xué)會(huì)類比、轉(zhuǎn)化等重要的思想方法;三要用整體的視角來進(jìn)一步構(gòu)建新的知識(shí)體系，從更高視角認(rèn)識(shí)每一個(gè)知識(shí)板塊。只有這樣，我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會(huì)更加生動(dòng)有趣。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心）