二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合的解題策略

滕麗

【摘要】二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題常常被作為壓軸題，這類題目考察范圍較廣，對(duì)于學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)掌握能力及思維方式均有較高的要求.本文就這類題目的解題思想及具體過程進(jìn)行分析，主要是借助分類討論思想并結(jié)合中考數(shù)學(xué)題實(shí)例進(jìn)行分析，從而將二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行剖析，幫助學(xué)生增加解決復(fù)雜數(shù)學(xué)題的信心.

【關(guān)鍵詞】分類討論;二次函數(shù);等腰三角形

1 典型例題呈現(xiàn)

二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合的動(dòng)點(diǎn)問題是十分常見的，本文重點(diǎn)以下題為例進(jìn)行解析，這也是經(jīng)過多方面比較分析后確定的典型例題，具有一定的代表性.具體如下：

如圖1，已知拋物線：y=ax2-5ax+4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、C ，過點(diǎn)C作BC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，若AC=BC.

（1）試求此拋物線的對(duì)稱軸;

（2）求解該三角形中各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并試求拋物線的解析式;

（3）若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，且是處在x軸下方的動(dòng)點(diǎn).試探討是否存在點(diǎn)P使△PAB為等腰三角形？若存在則求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P 的坐標(biāo);若不存在，則說明不存在的理由.

2 解題思路簡要分析

第（3）題是該例題也是本文探究的重點(diǎn)所在，主要是利用分類討論的思想進(jìn)行解題，

以下重點(diǎn)對(duì)此進(jìn)行探討分析：對(duì)該題進(jìn)行分析可知，可以將這類情況分為兩種，即以AB為底或是為腰，當(dāng)以AB為底時(shí)，還需要考慮到頂角的位置，即∠A或是∠B為頂角屬于兩種情況.對(duì)此，可以找到兩個(gè)△PAB. 當(dāng)以AB為底時(shí)，則△PAB中的頂角必然為∠P，這種情況下也能找到一個(gè)對(duì)應(yīng)的△PAB.

分析了不同的情況后，按照各種情況進(jìn)行獨(dú)立求解即可.按照這一思想，在研究第一種情況時(shí)無需考慮第二種情況，這便是所謂的分類討論思想，將復(fù)雜的問題進(jìn)行簡化，求解過程也更為簡便.

3 運(yùn)用分類討論的思想解決上述例題

在提供了解題思路的基礎(chǔ)上，便可以運(yùn)用分類討論的思想解決具體問題，本文中即重點(diǎn)探討上述例題中第（3）題解題方法.

解 經(jīng)分析后可知，存在這樣的點(diǎn)P使△PAB為等腰三角形，且這樣的點(diǎn)P共有三個(gè).

各個(gè)點(diǎn)P的位置可如圖2所示.首先求解決以AB為腰、∠A為頂角的情況，此時(shí)標(biāo)記為點(diǎn)P1.過點(diǎn)B作x軸的垂線與x軸交于點(diǎn)Q，直角三角形AQB中由勾股定理可得AB2=AQ2+BQ2=80.

可知在Rt△ANP1中有AN2=AP12-P1N2，將相關(guān)數(shù)據(jù)帶入后可求出P1N=1992，由此也可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1坐標(biāo)（2.5， -1992）.

第二種情況則為以AB邊為腰，以∠B為頂角的△PAB，將該點(diǎn)P標(biāo)記為P2，如由圖2中的Rt△BMP2，再由勾股定理得BM2=BP22-P2M2.將題中相關(guān)數(shù)據(jù)代入式中可求得P2M=2952，則點(diǎn)P2對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為（2.5，4-2952）.

最后一種則是以AB邊為底，∠P為頂角的△PAB，此時(shí)點(diǎn)P標(biāo)記為P3，如圖2中所示.作AB的垂直平分線，由△ABC為等腰三角形可知，垂直平分線過點(diǎn)C且與直線MN交于點(diǎn)P3.再過點(diǎn)P3作y軸的垂線，其垂足為點(diǎn)K，此時(shí)可知△CKP3與△AQB相似，因而有P3KCK=BQAQ=12，P3K=2.5，則可求出CK=5，OK=1，由此可得對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P3坐標(biāo)為（2.5，-1）.綜合上述的分析可知，符合題意要求的點(diǎn)P共三個(gè)，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)分別為P1（2.5，-1992），P2（2.5，4-2952），P3（2.5，-1）.

4 其他例題解析

如圖3所示，拋物線解析式為y=-45x2+245x-4，其與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)M.P則為動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方且與M、C不在同一直線上，過點(diǎn)A及點(diǎn)B作CP的垂線，相交于點(diǎn)D、E，連接MD、ME.

△MDE可以為等腰三角形嗎，若可以則求點(diǎn)P坐標(biāo)，否則說明理由.

能，已知拋物線解析式，可求得對(duì)稱軸為x=3，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)M（3，0）

令x=0，則y=-4，所以C（0，-4），△MDE為等腰三角形，此時(shí)可以分為三種情況;

第1，若DE⊥EM，則由題中DE⊥BE可知點(diǎn)E、M、B在同一直線上，B、M在x軸上，因而點(diǎn)E應(yīng)當(dāng)在x軸上;

由DE⊥BE可知點(diǎn)E與O重合，即直線PC與y軸重合，則不符合題意，排除這一情況.

第2，若DE⊥DM則同上，可以排除;

第3，若EM⊥DM，設(shè)直線PC與對(duì)稱軸交于點(diǎn)N，因?yàn)镋M⊥DM，MN⊥AM，

所以∠EMN=∠DMA，在△ADM與△NEM中，有∠EMN=∠DMA，EM=DM，∠ADM=∠NEM=135°，

所以△ADM∽△NEM，MN=MA=2，

所以N（3，2）設(shè)直線PC解析式為y=kx+b，將點(diǎn)N、C坐標(biāo)代入解得

k=2，b=-4，所以y=2x-4帶入拋物線解析式可得2x-4=-45x2+245x-4，

解得x=0或x=72，當(dāng)x=0時(shí)交點(diǎn)為C，當(dāng)x=72時(shí)有y=2x-4=3，

所以P（72，3）.綜上所述，△MDE可以為等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)P為（72，3）.

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