初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題技巧

羅夢漪

【摘要】應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)一類非常重要的題型，對學(xué)習(xí)者的理解以及分析問題的能力要求較高，是日常測試以及中考的熱門考點，且相關(guān)習(xí)題占有較高分值.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中為使學(xué)生掌握不同應(yīng)用題題的解題技巧，提高學(xué)生解答不同類型應(yīng)用題的能力，應(yīng)做好應(yīng)用題題型的總結(jié)，并做好解題示范，使其能夠在以后的解題中以不變應(yīng)萬變，促進應(yīng)用題解題能力以及數(shù)學(xué)成績的有效提升.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);應(yīng)用題;解題技巧

初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的題型較多，根據(jù)經(jīng)驗可將其分為二元一次方程的應(yīng)用題、分式方程類應(yīng)用題、不等式類應(yīng)用題、三角函數(shù)應(yīng)用題、二次函數(shù)應(yīng)用題[1].不同類型應(yīng)用題的解題思路、解題技巧有所不同，教學(xué)實踐中應(yīng)做好相關(guān)解題技巧理論的灌輸，并展示如何運用相關(guān)技巧解題，給學(xué)習(xí)者以后解題帶來良好啟發(fā).

1 二元一次方程類應(yīng)用題解題技巧

二元一次方程的應(yīng)用題解題技巧為：認真審題，在充分理解題意的基礎(chǔ)上尋找相關(guān)參數(shù)之間的邏輯關(guān)系，在此基礎(chǔ)上選擇恰當(dāng)?shù)囊暯窃O(shè)出合理參數(shù)，構(gòu)建二元一次方程組，最終運用二元一次方程組知識求解參數(shù).需要注意的是解答二元一次方程的應(yīng)用題時應(yīng)確保最終的結(jié)果符合實際情況.教學(xué)實踐中為使學(xué)習(xí)者能夠全面地考慮問題，把握解答二元一次方程類應(yīng)用題的相關(guān)細節(jié)，實踐中可為學(xué)習(xí)者講解如下.

例題 小明為班級購買書籍，回校后向班主任匯報說：“我買了兩種書，合計30本，單價分別為20元，24元.買書前的700元，現(xiàn)在還剩38元”.班主任算了一下說：“你肯定搞錯了”.

（1）班主任為什么說小明搞錯了？運用所學(xué)進行解釋;（2）小明拿出購物發(fā)票，發(fā)現(xiàn)其確實搞錯了，其還購買了一個筆記本，但筆記本的單價不清晰，僅辨認出其為不滿10元的整數(shù)，如果單價為20元的書多于24元的書，則筆記本的單價是多少元？

該應(yīng)用題創(chuàng)設(shè)的情境較為常規(guī)，題意也較容易理解.其中該題的第一問較為簡單，構(gòu)建二元一次方程組，不難解答.第二問難度較大，需要能夠大膽的設(shè)出參數(shù)，并根據(jù)題意確定參數(shù)之間的大小關(guān)系，通過分析、確定最終的結(jié)果.

對于問題（1）根據(jù)兩本書的總本數(shù)以及所花的錢數(shù)，夠構(gòu)建二元一次方程，設(shè)20元，24元書籍購買的本數(shù)分別為x，y，則可列出方程組x+y=3020x+24y=700-38，解得x=14.5y=15.5，x，y為整數(shù)，因此，可認為小明搞錯了.

對于問題（2）設(shè)20元的數(shù)為a本，則24元的書為（30-a）本，筆記本的價格為b元，根據(jù)題意a>30-a，即，a>15.則依據(jù)總錢數(shù)可得20a+24（30-a）+b=700-38，解得a=14+2+b4>15，由b為不滿10的整數(shù)可知b=6，即，筆記本的單價為6元.

2 分式方程類應(yīng)用題解題技巧

分式方程類應(yīng)用題解題技巧為：認真閱讀題干內(nèi)容，了解題干描述的情境，結(jié)合自身學(xué)習(xí)以及生活經(jīng)驗確定題干中參數(shù)之間的潛在關(guān)系，確定以哪個參數(shù)列方程.求解列出的方程后還應(yīng)注重檢驗結(jié)果是否正確.初中數(shù)學(xué)能夠運用分式方程解決的應(yīng)用情境較多，如路程問題、追擊問題、工程量問題等，因此，為提高解題正確率應(yīng)注重要求學(xué)習(xí)者牢記常見的應(yīng)用題情境以及相關(guān)公式，為盡快的找到解題突破口做好鋪墊.授課中可為學(xué)習(xí)者講解如下.

例題 小明家和科技館相距1900米，一天騎步行去科技館看表演，走到路程的一半發(fā)現(xiàn)忘記帶門票，此時離表演開始還有23分鐘，于是其立刻步行回家取票.然后騎車趕往科技館.若小明騎車到科技館比其步行到科技館少用20分鐘，且騎車的速度是步行的5倍，小明進家取票的時間共用4分鐘.請你判斷小明能否在表演開始前趕到科技館，通過計算說明理由.

通過審題可知該題需要構(gòu)建路程、速度、時間之間的分式方程.求出小明步行以及騎車的速度，而后結(jié)合剩余的時間、路程，通過計算進行判斷.

設(shè)小明步行的速度為x米/分鐘，則騎車的速度為5x米/分鐘.根據(jù)步行、騎車的時間關(guān)系可列方程：1900x-19005x=20，解得x=76.經(jīng)檢驗x=76是原分式方程的解，即，小明每分鐘步行速度為76米/分鐘.根據(jù)題意需要計算小明返回和騎車的總時間，即12×190076+19005×76+4=21.5分鐘，小于23分鐘，因此，小明能夠在表演開始前到達科技館.

3 不等式類應(yīng)用題解題技巧

初中數(shù)學(xué)講解的不等式主要為一元一次不等式，因此，相關(guān)應(yīng)用題也圍繞一元一次不等式知識設(shè)問.解答該類應(yīng)用題技巧為：審題時把握構(gòu)建不同關(guān)系的關(guān)鍵詞，如“不多于”、“不少于”、“不超過”等.另外，如題干中涉及的參數(shù)為兩個時，應(yīng)明確哪個參數(shù)為主元，而后結(jié)合所學(xué)知識進行分析，尤其當(dāng)相關(guān)參數(shù)的取值范圍不確定時應(yīng)注重準確劃分討論的界限進行分類討論.授課中為使學(xué)習(xí)者掌握上述技巧，增強其解答相關(guān)應(yīng)用的自信，可為學(xué)習(xí)者講解如下.

例題 某商店準備購進A、B兩種商品，每件A商品進價比每件B商品多5元，且用800元購進A商品和用400元購進B商品的數(shù)量相同.若共購買這兩種商品100件，且購進資金不少于800元，不多于850元，則商店有幾種購進方案？若銷售A商品的利潤為m元，銷售B商品的利潤為（6-m）元，則怎樣采購才能獲得最大利潤？（商品售價不低于成本價）.

該應(yīng)用題題干較為簡單，但是對學(xué)習(xí)者的理解能力要求較高.解答該應(yīng)用題時需要明確先求解A、B兩件商品的進價，而后根據(jù)“不少于”、“不多于”構(gòu)建不等式關(guān)系，確定參數(shù)的取值范圍.同時，寫出有關(guān)利潤的表達式，分析表達式中各參數(shù)的取值范圍，聯(lián)系一次函數(shù)性質(zhì)，求出其最大利潤.

根據(jù)題意先計算出每件A、B商品的進價，而后列出對應(yīng)的不等關(guān)系，便可確定購進方案.根據(jù)題意構(gòu)建有關(guān)利潤的一元一次函數(shù)，借助一元一次函數(shù)性質(zhì)進行分析.設(shè)每件A商品的進價為a元，則每件B商品的進價為（a-5）元，易得800a=400a-5，解得a=10，則每件A、B商品的進價分別給為10元，5元.設(shè)購進A商品為x件，購進B商品為（100-x）件，即，800≤10x+5（100-x）≤850，解得60≤x≤70，因為x只能為整數(shù)，則x的值為60到70之間的整數(shù)，共11個，即，共有11種購進方案.由銷售A商品的件數(shù)為x件，則銷售B商品的件數(shù)為（100-x），由單價、件數(shù)以及利潤之間的關(guān)系可得總利潤Q=mx+（6-m）（100-x）=（2m-6）x+600-100m，因m>0，則當(dāng)0

4 三角函數(shù)應(yīng)用題解題技巧

初中數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的主要是銳角三角函數(shù)，主要有正弦、余弦、正切、余切[2].解答三角函數(shù)應(yīng)用題的技巧為：認真審題、讀圖，明確要求解的問題.同時運用所學(xué)幾何知識嘗試著構(gòu)建直角三角形，必要情況下做出輔助線向銳角三角函數(shù)靠攏.求解參數(shù)時應(yīng)注意不同三角函數(shù)中線段之間的關(guān)系，不能搞錯.實踐中，為提高學(xué)習(xí)者解答三角函數(shù)應(yīng)用題熟練程度，積累相關(guān)經(jīng)驗，可在課堂上與學(xué)習(xí)者一起分析如下.

例題 在一次課外活動中，小明測量小山AF的高度，如圖1，山底有一長為60m的斜坡CE，通過測量斜坡CE的坡角為30°，小明從點E沿斜坡走到斜坡的中點D處，在D處測得山頂A的仰角為53°，坡頂C和小山的距離BC=100m，求小山AF的高度，結(jié)果精確到0.1m.（參考數(shù)據(jù)：tan53°≈1.33，3≈1.73）

審題后在明確要求解問題的基礎(chǔ)上進行逆向推理，尋找要求解的參數(shù).而后根據(jù)經(jīng)驗作出輔助線輔助分析，尋找角度以及角度、線段之間的關(guān)系，認真計算不難得出結(jié)果.

根據(jù)題意，過點C作CG⊥FE于點G，延長GC和AD交于點H，過點H作HP⊥AB于點P，過點D作DQ⊥CG于點Q，如圖所示，則四邊形PBQC和四邊形BFGC為矩形，DQ∥GE.根據(jù)題意∠CEG=∠CDQ=30°，∠HDQ=∠AHP=53°，則CG=12CE=30m，則CQ=QG=15m，DQ=3CQ=153m，HQ=DQtan53°=1.33×153≈34.51m，PH=BC=100m，AP=PHtan53°=100×1.33=133m，則小山的高AF=AP+HQ+QG=133+34.51+15≈182.5m.

5 二次函數(shù)類應(yīng)用題解題技巧

二次函數(shù)類應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的難點題型，解答該題的技巧為：在認真審題的基礎(chǔ)上，根據(jù)題干描述以及經(jīng)驗構(gòu)建二次函數(shù)關(guān)系.同時，因自變量范圍影響二次函數(shù)的取值，需要正確確定自變量范圍.教學(xué)實踐中為使學(xué)習(xí)者掌握上述解題技巧并在解題中靈活應(yīng)用，應(yīng)注重做好經(jīng)典例題講解，并組織學(xué)習(xí)者開展專題訓(xùn)練活動.課堂上可為學(xué)習(xí)者展示如下習(xí)題，對其進行訓(xùn)練：

例題 一土特產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為每盒60元，為了解市場情況，準備先試銷一段時間，試銷期間銷售單價不低于成本價，且獲利不得高于40%.銷售量y（萬盒）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)銷售價為多少元時，銷售利潤達到最大，最大利潤為多少萬元？

解答該題需要在充分理解題意的基礎(chǔ)上，結(jié)合圖象，聯(lián)系所學(xué)一次函數(shù)知識確定售價和銷售量之間的關(guān)系.同時，根據(jù)成本、利潤、銷售量，構(gòu)建二次函數(shù)，運用二次函數(shù)性質(zhì)便可求出最大利潤.

由圖采用待定系數(shù)法不難求出銷售單價和銷售量之間的函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)題干描述找到自變量的取值范圍，而后根據(jù)利潤、銷售價、銷售量之間的關(guān)系構(gòu)建二次函數(shù)，運用二次函數(shù)性質(zhì)求出最大利潤.將圖中的點（70，50）、（63，57）兩點代入得到y(tǒng)=-x+120，而60≤x≤60（1+40%），即，60≤x≤84，則其利潤Q=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7200=-（x-90）2+900（60≤x≤84），二次函數(shù)的對稱軸為x=90，其開口向下，取值范圍在其左側(cè)，Q隨著x的增大而增大，則當(dāng)x=84時獲得的利潤最大，最大利潤為864萬元.

6 結(jié)語

初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題類型較多，實踐中既要為學(xué)習(xí)者認真講解技巧，又要展示技巧的應(yīng)用.同時，鼓勵學(xué)習(xí)者做好聽課總結(jié)，及時彌補學(xué)習(xí)中的不足，尤其結(jié)合專題訓(xùn)練活動，鼓勵其將學(xué)習(xí)到的技巧應(yīng)用到實踐中，積累豐富的應(yīng)用題解題經(jīng)驗，提高應(yīng)用題解題水平.

參考文獻：

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