解一元二次方程的幾種技巧例析

夏鳴

【摘要】本文將詳細(xì)介紹幾種一元二次方程的技巧和方法，以期幫助同學(xué)們拓展思維，提高解題效率.

【關(guān)鍵詞】一元二次方程;解題效率

1 妙用韋達(dá)定理.

韋達(dá)定理能夠有效反應(yīng)兩個根之間的關(guān)系，是求解一元二次方程的有效手段，對于形如ax2+bx+c=0a≠0的一元二次方程，當(dāng)a+b+c=0時，方程必定存在一個根等于1，另一個根等于ca;當(dāng)a-b+c=0時，方程必定有一個根等于-1，另一個根為-ca.

利用此方法求解的主要步驟為：①根據(jù)題意確定a+b+c=0或a-b+c=0;②由上述結(jié)論分析兩個根的取值，利用韋達(dá)定理計算求解.

例1 解方程：9406x2-8289x-1117=0.

剖析 此方程的各個系數(shù)的絕對值都很大，但通過分析可知，上述方程的各個系數(shù)之和恰好等于零，進(jìn)而可知原方程必定有一個根等于1，則利用韋達(dá)定理即可求解.

解析 因為9406-8289-1117=0，

所以原方程一定存在一個根等于1，

假設(shè)x1=1，

所以根據(jù)韋達(dá)定理可解得其另一根的值為x2=ca=-11179406.

2 妙用a2+b2=a+b2→ab=0.

求解一元二次方程的解還可以通過a2+b2=a+b2→ab=0求解，當(dāng)a2+b2=a+b2，即已知的方程兩邊的次數(shù)相等，并且等號右邊冪的底數(shù)與左邊兩項的冪的底數(shù)的和a+b相等時，存在ab=0.利用此方法求解的主要步驟為：①根據(jù)題意分析已知方程的兩邊的次數(shù)與底數(shù)的特點(diǎn);②直接利用a2+b2=a+b2→ab=0計算求解即可.

例2 解方程：4-x2+x2=16.

剖析 已知方程等號兩邊的次數(shù)和底數(shù)的特點(diǎn)可知，滿足a2+b2=a+b2，則直接可得ab=0成立，進(jìn)而求解.

解析 由題意可得，原方程可以轉(zhuǎn)化為：4-x2+x2=42，

因為4-x+x=4，

所以4-xx=0，

解之得x1=0，x2=4，即為方程4-x2+x2=16的解.

3 妙用換元.

換元法是求解一元二次方程問題的常用手段，主要是指引入一個或幾個新的變量替換某些舊變量，將變量求出結(jié)果以后再返回求解原變量的值.利用此方法求解的主要步驟為：①根據(jù)題意分析，確定換元的變量，并進(jìn)行換元;②求解換元后的一元二次方程的解;③利用換元后的變量的取值計算原一元二次方程的解.

例3 解方程：144x2-36x+2=0.

剖析 本題首先對原式進(jìn)行換元，發(fā)現(xiàn)原式存在144x2=12x2，且-36x=-312x，則利用整體換元將12x替換，進(jìn)而求解，化繁為簡.

解析 令y=12x，

所以y2-3y+2=0，

所以y1=2或y2=1，

等價于12x=2或12x=1，

因此x1=16，x2=112.

4 妙用零點(diǎn)分段討論.

當(dāng)求解含有絕對值的一元二次方程問題時，可以利用零點(diǎn)分段法討論求解，主要是利用絕對值的幾何性質(zhì)或者在數(shù)軸上標(biāo)出零點(diǎn)后再分類討論進(jìn)行求解.利用此方法求解的主要步驟為：①根據(jù)題意計算絕對值等于零時自變量的取值，即確定零點(diǎn);②根據(jù)零點(diǎn)分段討論，分析每一段的取值;③整理解得待求一元二次方程的解.

例4 解方程：x2-2x-1-4=0.

剖析 本題是很明顯的含有絕對值的一元二次方程問題，故直接利用零作為臨界值對其進(jìn)行分段討論.

解析 令2x-1=0，

故x=12，

經(jīng)檢驗可得x=12不是原方程的解，

故當(dāng)2x-1>0，即x>12時，原方程可轉(zhuǎn)化為x2-2x-1-4=0，

等價于x2-2x-3=0，

解之得x=3或x=-1舍，

當(dāng)2x-1<0，即x<12時，原方程可轉(zhuǎn)化為x2+2x-1-4=0，

等價于x2+2x-5=0，

解之得x=-1- 6或x=-1+ 6舍，

綜上所述，原方程的根為x1=3

或x2=-1- 6.

5 妙用配方法.

配方法是把一個算式或者一個算式中的某一個部分以恒等變形的方式變成完全平方或者幾個完全平方式的和.在初中數(shù)學(xué)解題過程中，適當(dāng)運(yùn)用配方法解答相應(yīng)的問題，有利于提升解題的正確率與解題速度.

例5 解方程：x2-4x-2018=0.

剖析 該例題中的方程中的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為偶數(shù)-4，因此，在該例題中應(yīng)用配方法進(jìn)行解題較為簡便.配方法可以對任何一個有解的一元二次方程進(jìn)行解答.

解析 移項得到x2-4x=2018，

配方得到x2-4x+4=2018+4，

即（x-2）2=2022，

開平方可到得到x-2=± 2022，

即x-2= 2022或x-2=- 2022，

所以x1=2+ 2022，x2=2- 2022.

6 妙用因式分解.

因式分解法是解一元二次方程首先應(yīng)當(dāng)考慮并使用的方法，因式分解能夠簡便易行且快速的對問題進(jìn)行求解.但是它的缺陷只適合一些特殊的方程，即方程的左邊能分解成兩個因式的乘積，且方程右邊是0.

例6 x（2x-1）=3（1-2x）.

剖析 把方程右邊的式子整體移到方程的左邊，可以通過提公因式的方法把左邊的內(nèi)容分解成兩個因式的乘積，因此在該例題中借助因式分解法較為簡單.

解析 移項可以得到x（2x-1）-3（1-2x）=0，

即x（2x-1）+3（2x-1）=0，

分式因解可得（2x-1）（x+3）=，0

所以2x-1=0或x+3=0，

所以x1=12，x2=-3.

7 結(jié)語

求解一元二次方程的方法有很多，最重要的是要學(xué)會觀察方程的特點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)公式和性質(zhì)并能夠靈活運(yùn)用，就能順利求解一元二次方程.

本文介紹的這幾種技巧對某些陌生且抽象的一元二次方程尤為有效，同學(xué)們務(wù)必靈活使用.