關(guān)于錯位角分線模型的探究

燕在軍

【摘要】初中幾何中含有眾多的模型，往往模型的設(shè)定條件、幾何結(jié)構(gòu)具有鮮明的特點.探究學習中若能準確把握模型，充分總結(jié)破解策略，則可以生成一些結(jié)論，解題時合理運用可快速切入主題，提高解題效率.錯位角分線模型是初中較為重要的模型，本文深入探究.

【關(guān)鍵詞】初中幾何;錯位角分線模型

1 模型展示

如圖1所示，點A、C、B共線，已知點C是AB的中點，且∠1=∠2，則AD=BE.

在該模型中具有鮮明的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)結(jié)論，主要如下：

特點 兩三角形相互依托，呈現(xiàn)堆疊關(guān)系底邊在同一直線上;

特性 點C為AB的中點;∠1=∠2;

結(jié)論 AD=BE.

2 策略探究

上述模型由中點、等角特性，推導出等邊結(jié)論，其證明方法有多種，可從不同視角來構(gòu)建策略，下面選取常用的幾種簡單說明.

策略1 倍長中線法

該模型中，點C是底邊AB的中點，即AC=BC，對于有中點的情形，可以考慮采用倍長中線法，通過延長中線，構(gòu)建特殊圖形來實踐等角等邊轉(zhuǎn)換.對于上述模型結(jié)論，有兩種延長中線的方法，具體如下.

方法1 將CD視為是△ABD的中線，則延長DC至點F，使得DC=CF，再連接BF，如圖1，分析可知點C平分AB和DF，故可證明四邊形ADBF為平行四邊形，可得∠1=∠3，AD=FB.結(jié)合條件∠1=∠2可得∠3=∠2，則△EFB為等腰三角形，即EB=FB，從而可得AD=BE，得證.

方法2 將EC視為是△ABE的中線，則延長DC至點F，使得EC=FC，如圖2，類比上述方法2的分析思路，可證AF=AD，故可得AD=BE.

策略2 三角形全等法

分析模型可知，需要由等角條件推知等邊，可采用構(gòu)造全等三角形的方法，利用全等特性來推導，具體如下.

方法1 在CE上取一點F，使得BC=BF，如圖3①，分析可知AC=BF，等角轉(zhuǎn)換可得∠ACD=∠BFE，結(jié)合∠1=∠2可證△ACD≌△BFE（AAS），由全等特性直接可得AD=BE.

方法2 作點A和B分別作CE的垂線，設(shè)垂足分別為點F和G，如圖3②，利用條件可證△ADF≌△BEG，由全等特性同樣可得AD=BE.

策略3 平行轉(zhuǎn)移角

在該模型中同樣可以采用作平行線進行等角轉(zhuǎn)移的方法，如圖4所示，過點B作EC的平行線BF，并使得BF=EC.分析可知CD為△ABF的中線，點D為AF的中點，由條件可知△DEG和△BFG均為等腰三角形，結(jié)合DE∥BF，可知BE=DF，從而可推得AD=BE.

基于上述分析可知，錯位角分線模型的解析策略有多種，但無論是何種方法.探究學習模型時需要把握條件與結(jié)論，建立三者之間的關(guān)系聯(lián)系，即對于上述的模型中：C是AB的中點，∠1=∠2，AD=BE.三者中在滿足其中任意兩個時，第三個條件也同樣成立，故可實現(xiàn)模型中條件與結(jié)論的互化.

3 應用探究

錯位角分線模型在初中幾何中十分常見，問題設(shè)置往往從兩大方向進行考查：一是考查學生對模型的識別能力，條件的互化能力;二是從綜合視角進行考查，考查學生的綜合能力.下面結(jié)合實例，由淺入深，逐步探究.

探究1 初步探究，模型中鞏固

例1如圖5所示，在△ABC中，已知AB>AC，DE=EC，DF=AC，CH⊥AE，AF=3，試求EH的長度.

解析 該圖形中條件較多，需要提取模型，提煉結(jié)論.結(jié)合錯位角分線模型可知：DE=EC，DF=AC，則∠DFE=∠EAC.

再過點D作AE的垂線，設(shè)垂足為點M，如圖6所示，由條件可證ADF≌△BEG（AAS），則AH=FM，所以AH-FH=FM-FH，即AF=HM=3.另外易證點E為HM的中點，所以EH=32.

評析 上述問題中錯位角分線模型較為明顯，可直接由模型特性獲知∠DFE=∠EAC，就可基于該條件直接構(gòu)造三角形全等，逐步推得計算.對于簡明模型的探究，要理清其中條件之間的關(guān)聯(lián)，合理采用“由二推一”的方法.

探究2 深入探究，強化分析

例2 如圖7所示，在矩形ABCD中，點E位于CD邊上，且CE=2DE，點F位于線段AE上，且滿足∠EFC=2∠DAE，有DE∶AF=10∶4，矩形ABCD的面積為90，試求EF的長度.

解析 問題中模型的條件并不充分，此時可以考慮延長ED至點G，使得DG=DE，再連接AG，在FE的延長線上取一點H，使得FC=FH，如圖7所示.

根據(jù)錯位角分線模型可知：需要有∠EFC=∠DAE，故需要作等腰構(gòu)造二倍角，促使模型成立.設(shè)∠DAE=α，DE=10a，則∠EFC=2α，AF=4a，由AG=FC=AE=FH，EH=AF=4a.易證△CHE∽△FHC，可推得FH=10a，則EF=6a，所以AD=310a.已知矩形ABCD的面積為90，由面積公式列方程可得310a2=90，可解得a=1，則EF=6，即EF的長度為6.

評析 上述問題中不存在明顯的錯位角分線模型，巧妙的通過作倍角來構(gòu)造模型，然后充分利用模型特性獲得關(guān)鍵條件AE=FH.對于隱性錯位角分線模型，要善于利用圖形特點來添加輔助線，轉(zhuǎn)化條件.因此探究教學中要深刻把握模型特征，解讀總結(jié).

總之，關(guān)于錯位角分線模型的探究學習，需要掌握模型的結(jié)構(gòu)特征、性質(zhì)結(jié)論，同時把握模型探究的方法，能夠從不同視角來證明模型結(jié)論.該模型的圖形結(jié)構(gòu)雖較為簡單，但其較好的將圖形的位置關(guān)系與邊角結(jié)論相串聯(lián)，探究時要善于整合圖形，發(fā)現(xiàn)模型，提升圖形的直觀性.