關(guān)于反比例函數(shù)的三大特性探究

劉偉俠

【摘要】反比例函數(shù)是初中重要的函數(shù)，中考常以反比例函數(shù)為基礎(chǔ)進(jìn)行綜合考查.往往該類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，條件信息隱蔽，解析時(shí)需要充分把握反比例函數(shù)及其圖象的特性，利用函數(shù)的圖象特性來(lái)轉(zhuǎn)化條件.本文具體探究反比例函數(shù)的特性.

【關(guān)鍵詞】反比例函數(shù);中考數(shù)學(xué);對(duì)稱(chēng)性

特性1 坐標(biāo)特點(diǎn)

反比例函數(shù)的圖象為平滑的曲線，曲線上的點(diǎn)均滿足函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx（k為常數(shù)，且k≠0），對(duì)其變形則可得xy=k，對(duì)于該值可以理解為任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的乘積為定值.在求解時(shí)可利用圖象上坐標(biāo)的特點(diǎn)，利用xy=k來(lái)構(gòu)造方程推導(dǎo)點(diǎn)坐標(biāo).

例1 如圖1所示，四邊形OABC為矩形，而四邊形ADEF為正方形，點(diǎn)A和D均在坐標(biāo)x軸的正半軸上，點(diǎn)C在坐標(biāo)y軸的正半軸上.點(diǎn)F在線段AB上，點(diǎn)E和C均在反比例函數(shù)y=kx的圖象上.已知OA=1，OC=6，則正方形ADEF的邊長(zhǎng)為 .

解析 解析時(shí)需要充分?jǐn)?shù)形結(jié)合，已知OA的長(zhǎng)，求正方形ADEF的邊長(zhǎng)，即AD的長(zhǎng)，可表示為AD=OD-OA=xD-OA，而點(diǎn)D和E的橫坐標(biāo)相等，即xD=xE，故解析的關(guān)鍵是確定點(diǎn)E的橫坐標(biāo).

根據(jù)條件可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，6），設(shè)正方形ADEF的邊長(zhǎng)為m，則AD=DE=m，OD=1+m，則點(diǎn)E的坐標(biāo)可以表示為（1+m，m）.又知點(diǎn)E和A均位于反比例反比例函數(shù)圖象上，故其坐標(biāo)滿足（1+m）·m= xA·yA=6，點(diǎn)E在第一象限，可解得m=2，即點(diǎn)E（2，1），所以正方形ADEF的邊長(zhǎng)為2.

評(píng)析 本題目推導(dǎo)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)充分利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，即由xy=k來(lái)構(gòu)造方程，通過(guò)解方程則可以簡(jiǎn)潔的獲得結(jié)果.

特性2 函數(shù)圖象中的面積關(guān)系

反比例函數(shù)圖象存在特殊的面積關(guān)系，也就是函數(shù)k的幾何意義：如圖2所示的函數(shù)圖象中，有S△AOC=k2，S矩形ABOC=k.

對(duì)于該特性的證明可以結(jié)合面積公式，即S△AOC= OB·OC2=xA·yA2=k2，而四邊形ABOC為矩形，對(duì)角線AO平分面積，則S矩形ABOC=2 S△AOC=k.

求解k值

例2 如圖3所示，△AOB和△ACD均為正三角形，且頂點(diǎn)B和D均在雙曲線y=kx（x>0）的圖象上.如果圖中陰影三角形△OBP的面積為4，則k值為 .

解析本題目給出陰影三角形的面積，求數(shù)值k，顯然是考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，需要轉(zhuǎn)化陰影部分的面積.

已知△AOB和△ACD均為正三角形，則∠AOB=∠CAD=60°，則AD∥BD，則點(diǎn)P和A到直線OB的距離相等，可推知△OBP與△OBA的面積相等，即S△OBP=S△OBA=4.

過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)E，如圖4所示，則S△OBE=S△BAE=12S△OBA=2.由于點(diǎn)B和D均在雙曲線y=kx（x>0）的圖象上.由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可知S△OBE=S△BAE= k2=2，所以k的值為4.

評(píng)析 上述例題主要考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，需要理解圖象上任意一點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，垂足、原點(diǎn)O和該點(diǎn)所形成的三角形的面積均為k2.另外求重疊圖形的面積，要善于利用面積割補(bǔ)法.

特性3 圖象的對(duì)稱(chēng)性

反比例函數(shù)的圖象實(shí)際上是對(duì)稱(chēng)圖形，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形.對(duì)稱(chēng)軸是直線y=±x，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)坐標(biāo)值可互換.即點(diǎn)A（4，3）關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為（3，4）.而關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，坐標(biāo)值的符號(hào)會(huì)發(fā)生互換，即互為相反數(shù).因此對(duì)于設(shè)定反比例函數(shù)上的對(duì)稱(chēng)關(guān)系點(diǎn)，可直接根據(jù)該對(duì)稱(chēng)特性求出.

軸對(duì)稱(chēng)

例3 如圖5所示，△ABC為等腰直角三角形，其頂點(diǎn)A和C在x軸上，∠BCA=90°，AC=BC=22，反比例函數(shù)y=3x（x>0）的圖象與AB和BC相交于點(diǎn)D和E，連接DE.當(dāng)△BDE∽△BCA時(shí)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為 .

解析 上述題目依托反比例函數(shù)構(gòu)建直線了相似三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)需要充分利用反比例函數(shù)的圖象特性.

在圖象中作直線y=x，與DE相交點(diǎn)設(shè)為P，易得∠POC=45°，∠BAC=90°，可推得OP∥AB.已知△BDE∽△BCA，分析可知AB⊥DE，所以O(shè)P⊥DE.直線y=x是函數(shù)y=3x（x>0）圖象的對(duì)稱(chēng)軸，則點(diǎn)D和E是一組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E（a，3a）（a>0），由反比例函數(shù)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)特性可得點(diǎn)D（3a，a）.過(guò)點(diǎn)D分別作BC和x軸的垂線，設(shè)垂足分別為F和G，如圖6所示，則DG=FC=a，EC=3a，EF=CF-CE=a-3a，BF=2EF=2（a-3a）.

分析圖象可知BE+EC=BC，所以有2a-3a+3a=22，可解得a=322，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（322，2）.

評(píng)析 上述兩道例題在求解時(shí)分別利用了反比例函數(shù)的中心對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)特性，利用特性直接推導(dǎo)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，極大的減低了解題難度.實(shí)際上點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)聯(lián)特點(diǎn)是表象，點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)中心或?qū)ΨQ(chēng)軸的距離相等才是對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)所在.

總之，探究總結(jié)反比例函數(shù)的特性有著現(xiàn)實(shí)的意義，不僅有助于深化理解函數(shù)知識(shí)，還可以有效拓展解題思維.特性探究中要把握?qǐng)D象特點(diǎn)，進(jìn)行線段、點(diǎn)、面積之間的轉(zhuǎn)化，總結(jié)探索，嚴(yán)謹(jǐn)論證，基于模型形成結(jié)論.