求解反比例函數(shù)解析式的方法例析

陶千春

【摘要】初中數(shù)學(xué)知識中，求解反比例函數(shù)的解析式是教學(xué)中的重點(diǎn)知識之一，求解反比例函數(shù)解析式的題目經(jīng)常出現(xiàn)在填空題和選擇題中，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的定義與其他函數(shù)相比更加具有抽象性，導(dǎo)致很多學(xué)生在解答相關(guān)題目時(shí)容易摸不清求解它的解析式的思路，針對這個(gè)問題，本文將會對求解反比例函數(shù)的解析式的方法進(jìn)行歸納總結(jié)，以期幫助學(xué)生盡快理清求解反比例函數(shù)的解析式的思路.

【關(guān)鍵詞】反比例函數(shù);函數(shù)解析式;數(shù)學(xué)思想

1 運(yùn)用反比例函數(shù)的定義

在某些求解反比例函數(shù)的解析式的題目中，我們可以運(yùn)用反比例函數(shù)的定義進(jìn)行解答.反比例函數(shù)是指當(dāng)變量x、y之間有y=kx[k∈（-∞，0）∪（0，+∞），x≠0]關(guān)系成立，那么y就是x的反比例函數(shù).當(dāng)我們運(yùn)用反比例函數(shù)的定義解題的過程中，首先將反比例函數(shù)的定義式y(tǒng)=kx=kx-1與題目中已知的反比例函數(shù)表達(dá)式相結(jié)合，以y=m+nxm2+nn為任意常數(shù)為例，即可得出m2+n=-1，進(jìn)而解出m2的值，然后運(yùn)用反比例函數(shù)的定義，分析當(dāng)x<0或者x>0時(shí)，對應(yīng)的y的值的變化情況，借此來判斷m的具體值，最后將m的值代入到y(tǒng)=m+nxm2+n中，即可得到所需求解的反比例函數(shù)解析式.

例題1 存在一個(gè)反比例函數(shù)，它的表達(dá)式為：y=m+1xm2-2，如果x<0時(shí)，y隨著x的增大而減小，請求出這個(gè)反比例函數(shù)的解析式：.

分析 根據(jù)題目信息可知，y=m+1xm2-2是一個(gè)反比例函數(shù)，

已知反比例函數(shù)為y=kx=kx-1，

因此就有m2-2=-1，即m2=1，也就是m=±1，

又因?yàn)橐阎獂<0時(shí)，y隨著x的增大而減小，

所以可以推得：m+1>0，即m>-1，

因此m=1，將其代入y=m+1xm2-2中，可得：y=2x，

所以，這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為：y=2x.

2 運(yùn)用面積

在某些求解反比例函數(shù)的解析式的題目中，我們可以運(yùn)用已知圖形中的面積進(jìn)行解答.當(dāng)我們運(yùn)用已知圖形的面積解題的過程中，首先將題目中已知圖形在圖象上的某一點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，設(shè)為x1，y1，然后將這個(gè)點(diǎn)代入反比例函數(shù)的定義式，即y=kx=kx-1中表示出x1，y1的關(guān)系為x1y1=k，再結(jié)合題目的條件和圖象，用x1，y1求出對應(yīng)的圖形的面積，進(jìn)而得出k的值，最后將k值代入到y(tǒng)=kx中，即可得到所需要求解的反比例函數(shù)解析式.

例題2 如圖1所示，已知函數(shù)y=kx（k>0，x>0）的圖象上有一點(diǎn)A，且AB⊥x軸，AC⊥y軸，B、C分別為垂足，已知圖中矩形OBAC的面積等于4，試求出該反比例函數(shù)的解析式.

分析 根據(jù)題意可得，我們假設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為x1，y1，

又因?yàn)锳點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，所以就有：y1=kx1，

也就是：x1y1=k，

又因?yàn)閳D中矩形OBAC的面積等于4，

所以有：S=x1×y1=4，即k=4，

又因?yàn)楦鶕?jù)圖象可知，它只分布在第一象限，

k>0，x>0，

所以 k=4，

所以 這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為：

y=4xx>0.

3 運(yùn)用圖象的對稱性

在某些求解反比例函數(shù)的解析式的題目中，我們可以運(yùn)用圖象的對稱性進(jìn)行解答.當(dāng)我們運(yùn)用圖象的對稱性解題的過程中，首先將題目中已知的函數(shù)的解析式的圖象找出，然后在滿足題目要求的情況下，利用圖象的對稱性將該函數(shù)圖象關(guān)于x軸或者y軸對稱圖象畫出來（究竟選擇關(guān)于哪一條坐標(biāo)軸對稱的圖象取決于題目的要求），最后利用對稱的圖象和函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，即可得到所需要求解的反比例函數(shù)解析式.

例題3 如圖2所示，為反比例函數(shù)y=2x（x>0）時(shí)的圖象，當(dāng)這個(gè)圖象關(guān)于x軸對稱時(shí)，得到的對稱的圖象的函數(shù)解析式是：.

分析 根據(jù)題目信息可知，需要求解的是關(guān)于x軸對稱式的圖象的解析式，

那么在圖象中將關(guān)于x軸對稱的圖象畫出，如圖所示，

因此就可得它的解析式為：y=-2x（x>0）.

4 利用待定系數(shù)法求解

在某些求解反比例函數(shù)的形式的題目中，我們可以運(yùn)用待定系數(shù)法進(jìn)行解答，當(dāng)我們運(yùn)用待定系數(shù)法解題的過程中，首先設(shè)出反比例函數(shù)關(guān)系式為

y= kxk≠0，然后把圖象經(jīng)過的點(diǎn)m，n代入y=kx中，就可以解出k，最后得k值代入到y(tǒng)=kx中，即可得到所需要求解的反比例函數(shù)解析式.

例題4 已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（12，-2），則此函數(shù)關(guān)系式是.

分析 設(shè)出此反比例函數(shù)的解析式，再利用待定系數(shù)法求出系數(shù)即可.

設(shè)此函數(shù)關(guān)系式是y=kxk≠0因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（12，-2），

所以-2=k12，解得k=-1，所以此函數(shù)關(guān)系式是y=-1x.

待定系數(shù)法在確定函數(shù)關(guān)系式時(shí)經(jīng)常要用到，同學(xué)們一定要通過具體例子體會.

通過上述四種求解反比例函數(shù)例題方法的介紹和分析，不僅能夠幫助學(xué)生掌握求解反比例函數(shù)解析式的技巧和方法，而且對于學(xué)生的觀察能力和思維能力等都有培養(yǎng)的作用，還有利于學(xué)生更深入地掌握和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.每一個(gè)教師都需要提高自己的專業(yè)素質(zhì)，從多個(gè)角度出發(fā)，幫助學(xué)生更好地對問題進(jìn)行探究，讓學(xué)生可以利用等量關(guān)系，圖象性質(zhì)和函數(shù)定義等多種方法，更好地對反比例函數(shù)進(jìn)行深度的解析，從而更好地提高課堂的教學(xué)活力，幫助學(xué)生從多個(gè)角度開展現(xiàn)有的教學(xué)課堂.