圓中常見的三類輔助線

孫靜

【摘要】 一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時(shí)顯得十分復(fù)雜，若通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，即添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將原圖形轉(zhuǎn)換成一個(gè)完整的、特殊的、簡(jiǎn)單的新圖形，則能使原問題的本質(zhì)得到充分的顯示，通過對(duì)新圖形的分析，原問題順利獲解.

【關(guān)鍵詞】 輔助線;轉(zhuǎn)換;構(gòu)造

圓是初中重點(diǎn)內(nèi)容，屬中考必考內(nèi)容，中考中有關(guān)圓的題，大部分需添輔助線，現(xiàn)就圓中常見輔助線的添法作一歸納，以期對(duì)同學(xué)們有所幫助.

1 連半徑——構(gòu)造等腰三角形

輔助線：連接圓心和弦的兩個(gè)端點(diǎn)作圓的半徑.

用到的知識(shí)：等邊對(duì)等角.

例1 如圖1，在⊙O中，AB是直徑，弦AC的長(zhǎng)為5cm，點(diǎn)D在圓上且∠ADC=30°，則⊙O的半徑為cm.

分析 連接OC，證明△AOC是等邊三角形，可得結(jié)論.

解 如圖，連接OC.

因?yàn)椤螦OC=2∠ADC，

∠ADC=30°，

所以∠AOC=60°，

因?yàn)镺A=OC，

所以△AOC是等邊三角形，

所以O(shè)A=AC=5（cm），

所以⊙O的半徑為5cm.

2 構(gòu)造直角三角形

2.1 作弦心距構(gòu)造直角三角形

輔助線：過圓心作弦的垂線段，再連接半徑構(gòu)成直角蘭角形.

輔助線：連接弧的中點(diǎn)與圓心，再連接半徑構(gòu)成直角三角形.

用到的知識(shí)：垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數(shù).

例2 筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖2.筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖3.已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，⊙O半徑長(zhǎng)為4米.若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（）

（A）1米. （B）（4-7）米.

（C）2米.（D）（4+7）米.

分析 連接OC交AB于D，連接OA，根據(jù)垂徑定理得到AD=12AB，根據(jù)勾股定理求出OD，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案.

解 連接OC交AB于D，連接OA，

因?yàn)辄c(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，

所以O(shè)C⊥AB，

所以AD=12AB=3（米），

在Rt△OAD中，

OD=OA2-AD2

=42-32

=7（米），

所以點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離

CD=OC-OD=（4-7）米，

故選（B）.

2.2 利用直徑構(gòu)造直角三角形

輔助線：作直徑所對(duì)的圓周角.

輔助線：連接90°的圓周角的兩邊與圓的交點(diǎn)，得到直徑.

用到的知識(shí)：圓周角定理的推論，勾股定理，銳角三角函數(shù).

例3 如圖4，⊙O是△ABC的外接圓，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，若∠C=50°，則∠BAD的度數(shù)為.

分析 連接BD，由圓周角定理的推論可知

∠ABD=90°，

因?yàn)椤螩與∠ADB所對(duì)的弧為AB，

所以∠ADB=∠C=50°.

所以∠BAD=90°-∠ADB=90°-50°=40°.

解 連接BD，如圖.

因?yàn)锳D為直徑，

所以∠ABD=90°，

因?yàn)椤螩與∠ADB所對(duì)的弧為AB，

所以∠ADB=∠C=50°.

所以∠BAD=90°-∠ADB=90°-50°=40°.

3 與切線有關(guān)的輔助線

輔助線：連接切點(diǎn)與圓心構(gòu)造直角（三角形）

輔助線：連接切點(diǎn)與直徑兩端點(diǎn)、切點(diǎn)與圓心，構(gòu)造兩個(gè)直角（三角形）.

例4 如圖5，在⊙O中，AB切⊙O于點(diǎn)A，連接OB交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD∥OB交⊙O于點(diǎn)D，連接CD.若∠B=50°，則∠OCD為（）

（A）15°. （B）20°.

（C）25°.（D）30°.

分析 連接OA，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAB=90°，則利用互余可計(jì)算出∠AOB=40°，再利用圓周角定理得到∠ADC=20°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OCD的度數(shù).

解 連接OA，如圖，因?yàn)锳B切⊙O于點(diǎn)A，

所以O(shè)A⊥AB，

所以∠OAB=90°，

因?yàn)椤螧=50°，

所以∠AOB=90°-50°=40°，

所以∠ADC=12∠AOB=20°，

因?yàn)锳D∥OB，

所以∠OCD=∠ADC=20°.

故選（B）.

例5 如圖6，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點(diǎn)，AE和過點(diǎn)C的切線CD互相垂直，垂足為E，AE與⊙O相交于點(diǎn)F，連接AC.

（1）求證：AC平分∠EAB;

（2）若AE=12，tan∠CAB=33，求OB的長(zhǎng).

分析 （1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EAC=∠OCA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義證明結(jié)論;

（2）連接BC，根據(jù)正切的定義求出EC，根據(jù)勾股定理求出AC，再根據(jù)正切的定義計(jì)算，得到答案.

證明 連接OC，

因?yàn)镃D為⊙O的切線，

所以O(shè)C⊥DE，

因?yàn)锳E⊥DE，

所以O(shè)C∥AE，

所以∠EAC=∠OCA，

因?yàn)镺A=OC，

所以∠OAC=∠OCA，

所以∠EAC=∠OAC，

即AC平分∠EAB.

（2）連接BC，因?yàn)锳B為⊙O的直徑，

所以∠ACB=90°，

因?yàn)閠an∠CAB=33，

∠EAC=∠OAC，

所以tan∠EAC=33，

即ECAE=33，

所以EC12=33，

解得EC=43，

在Rt△AEC中，

AC=AE2+EC2=122+（43）2=83，

因?yàn)閠an∠CAB=BCAC=33，

所以BC=8，

在Rt△ABC中，

AB=AC2+BC2=（83）2+82=16，

所以O(shè)B=8.