初中數(shù)學(xué)不等式模塊的教學(xué)及解題策略

顧莉

【摘要】不等式是初中數(shù)學(xué)重要考查部分之一，是初中數(shù)學(xué)成績差距的主要知識(shí)點(diǎn).合理地運(yùn)用之前所學(xué)的知識(shí)對(duì)不等式中的問題進(jìn)行解決，是初中生應(yīng)熟練掌握的數(shù)學(xué)方法.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握解決不等式的幾種方法，讓學(xué)生能夠熟練地運(yùn)用不等式去解決數(shù)學(xué)問題，對(duì)學(xué)生思維能力和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的提高有很大的影響.對(duì)不等式知識(shí)點(diǎn)熟練的掌握和運(yùn)用，為學(xué)生以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ)，也提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和學(xué)習(xí)興趣.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);不等式;題目解答

不等式知識(shí)點(diǎn)是初中教學(xué)中的一個(gè)重難點(diǎn)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有很大的影響.采用多樣式的教學(xué)方式，使學(xué)生成為課堂的主體來激發(fā)學(xué)生對(duì)不等式學(xué)習(xí)的興趣.針對(duì)性分模塊的不等式教學(xué)，也讓學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力得到了鍛煉，為以后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了新的方法[1].多樣式的不等式教學(xué)方式，使學(xué)生能夠合理地掌握和運(yùn)用不等式.

1 初中數(shù)學(xué)不等式模塊教學(xué)策略

1.1 改變教學(xué)理念，樹立學(xué)生主體地位

初中數(shù)學(xué)不等式模塊教學(xué)中改變傳統(tǒng)的教學(xué)理念，讓學(xué)生成為課堂的主體是提高初中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)有效性的基礎(chǔ).教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上應(yīng)起引導(dǎo)者的作用，讓學(xué)生成為課堂的主體鼓勵(lì)學(xué)生去自主探究學(xué)習(xí)，學(xué)生自己探究學(xué)習(xí)的過程，也加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)不等式的學(xué)習(xí)和掌握[2].例如教師可以通過利用天平稱重來對(duì)不等式進(jìn)行導(dǎo)入，在天平兩端分別放入不同重量的書本讓學(xué)生觀察后提問，為什么天平會(huì)出現(xiàn)不平衡的情況呢？學(xué)生進(jìn)行自主的思考來思考天平不平衡情況出現(xiàn)的原因，發(fā)現(xiàn)因?yàn)閮蛇呏亓坎煌?教師通過學(xué)生自己觀察思考來引出不等式學(xué)習(xí).改變傳統(tǒng)的教學(xué)方式，學(xué)生去對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行自主的探究學(xué)習(xí)，更有利于鍛煉學(xué)生的思維能力和自主學(xué)習(xí)能力.在自行探究中學(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)，也對(duì)不等式知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)更加充分和具體.

1.2 創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中對(duì)不等式的講解中，教師可以采用創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境來激發(fā)學(xué)生對(duì)不等式的學(xué)習(xí)興趣.傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中教師一般使用“題?！睉?zhàn)術(shù)，讓學(xué)生通過大量的習(xí)題作業(yè)來對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行鞏固.教師在學(xué)習(xí)不等式時(shí)，為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)有趣的教學(xué)情境來激發(fā)學(xué)生對(duì)不等式的學(xué)習(xí)[3].同學(xué)們都聽過烏鴉喝水的故事，那么烏鴉喝水中也含有不等式的知識(shí)點(diǎn)，同學(xué)們知道是什么嗎？現(xiàn)有一個(gè)高為49厘米的量筒，其中的水的深度只有30厘米，烏鴉想要喝到量筒中的水，需要向量筒中放入體積相同的小球.可以看出放入3個(gè)小球，水面便上升了6厘米.請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行思考量筒中至少要放入多少個(gè)小球時(shí)，水才可以溢出，烏鴉才可以喝到水.同學(xué)們?cè)谟腥さ慕虒W(xué)情境中激發(fā)了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，在烏鴉喝水的故事中，滲透了對(duì)不等式知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，學(xué)生的求知欲和思維能力也被激發(fā)出來.由圖中信息學(xué)生可以計(jì)算出1個(gè)小球可以使水面上升2厘米，沒有放小球時(shí)水的高度與瓶身相差19厘米.設(shè)一共需要放入a個(gè)小球，可以得出2a>19.因?yàn)榉湃氲氖切∏蛩詀只能是整數(shù)，a≥10要至少放10個(gè)小球?yàn)貘f才可以喝到水.教師通過設(shè)計(jì)有趣的教學(xué)情境來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在情景中融入不等式知識(shí)點(diǎn)，也提高了學(xué)生的思維能力和自主學(xué)習(xí)能力.

1.3 建立學(xué)習(xí)小組，培養(yǎng)學(xué)生交流能力

在初中教學(xué)課堂中教師也可以通過建立學(xué)習(xí)小組，讓學(xué)生在交流中對(duì)不等式進(jìn)行更好的學(xué)習(xí)理解，進(jìn)而也培養(yǎng)了學(xué)生交流組織能力.例如，在一元一次不等式知識(shí)點(diǎn)講解時(shí)，教師可以將學(xué)生分成學(xué)習(xí)小組，由小組討論得出問題的答案.幼兒園有一堆蘋果要分給幾個(gè)小朋友，如果每個(gè)小朋友可以分到5個(gè)蘋果，那么就會(huì)有一個(gè)得到的蘋果不到3個(gè);如果每個(gè)小朋友可以分3個(gè)蘋果，那么蘋果又會(huì)多出來8個(gè).現(xiàn)在提出問題一共有幾個(gè)小朋友，又有多少個(gè)蘋果？在不等式知識(shí)點(diǎn)剛開始學(xué)習(xí)時(shí)學(xué)生對(duì)此類問題思考難免會(huì)有疏忽，分成學(xué)習(xí)小組進(jìn)行討論，使每位學(xué)生都可以更全面的去思考問題.通過交流討論來得出問題的答案，使學(xué)生之間通過交流對(duì)問題的考慮更加的全面具體進(jìn)而提高了課堂學(xué)習(xí)效率.通過小組學(xué)習(xí)能夠有效地營造一個(gè)良好的課堂氛圍，培養(yǎng)學(xué)生之間的交流合作能力，對(duì)不等式知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行更好地鞏固學(xué)習(xí).

2 初中數(shù)學(xué)不等式模塊題目解答策略

2.1 判斷不等式是否成立

在不等式中經(jīng)常會(huì)遇到判斷不等式是否成立的問題.題目會(huì)給出一個(gè)已知的不等式，讓學(xué)生通過這個(gè)已知的不等式和一些題目條件來推斷新組成的不等式是否成立.遇到這種問題，教師可以在初中不等式教學(xué)課堂中使用分類思想來引導(dǎo)學(xué)生如何判斷不等式是否成立.

例1 不等式x>y且a為實(shí)數(shù)，判斷下列說法是否正確？

（1）ax

（2）a2x

（3）a+x>a+y一定成立;

（4）ax>ay一定成立.

解析 對(duì)于上述問題可以采用分類思想來解決，因?yàn)閍為實(shí)數(shù)所以對(duì)于a的正負(fù)應(yīng)該分類來考慮.①a為正數(shù)時(shí)，當(dāng)不等式兩邊同乘一個(gè)正數(shù)時(shí)不等式方向不用改變，所以（4）是正確的.不等式兩邊同時(shí)加減一個(gè)正數(shù)時(shí)不等式方向不改變不等式仍然成立，所以（3）也是正確的，（1）（2）錯(cuò)誤.②當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，a的平方是一個(gè)正數(shù).不等式左右兩邊同乘一個(gè)正數(shù)時(shí)不等式方向不改變，不等式仍然成立.所以（2）錯(cuò)誤的.不等式左右兩邊同乘一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)不等式方向改變，所以（1）正確，（4）錯(cuò)誤.當(dāng)不等式兩邊同時(shí)加減一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)不等式方向不改變不等式仍然成立，所以（3）是正確的.因?yàn)轭}目中并沒有說出a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，所以在對(duì)a進(jìn)行探討時(shí)，應(yīng)充分運(yùn)用分類思想來多方面考慮.綜上所述，無論a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)時(shí)只有（3）是一定成立的，所以（3）的說法是正確的.

判斷不等式是否成立等問題，要對(duì)題目中的已知條件進(jìn)行分類思想處理，充分考慮到問題中所出現(xiàn)的任何情況，對(duì)不等式是否成立問題應(yīng)全面考慮.不等式是否成立此類問題，考驗(yàn)的是學(xué)生對(duì)不等式的性質(zhì)是否有明確的定義.要謹(jǐn)記不等式的三個(gè)性質(zhì)：（1）不等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)時(shí)不等號(hào)方向不變.（2）不等式兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)正數(shù)不等號(hào)方向不變.（3）不等式兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)不等號(hào)方向改變.充分掌握不等式性質(zhì)再用分類思想靈活考慮所出現(xiàn)的情況，方能解決不等式是否成立問題.

2.2 比較不等式之間大小

在不等式中比較不等式的大小也是基礎(chǔ)題型之一，可以采用化歸思想來比較不等式的大小.在解決比較不等式大小問題時(shí)，也應(yīng)熟練掌握不等式的三個(gè)性質(zhì).

例2 已知a、b、c、d均為正數(shù)，且，a2+b2=2c2+2d2求，a+b和2c之間的關(guān)系.

解析 結(jié)合不等式的性質(zhì)2，不等式兩邊同乘或同除以一個(gè)正數(shù)不等號(hào)方向不變，所以我們可以將所求的a+b與2c之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成12a+12b與c之間的關(guān)系.如圖1平行四邊形ABCD，假設(shè)AC=a，BD=b，由圖1可以得出OA=12a OB=12b.在運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系任兩邊之和大于第三邊，所以我們可以得出AO+BO>AB，由此可以推出12a+12b>c.再根據(jù)不等式性質(zhì)2便可得出a+b>2c.

在不等式比大小題型中充分利用數(shù)形結(jié)合，將無法直接比出大小的不等式代入到圖形中，更能直觀地看出不等式之間的大小關(guān)系.對(duì)于不等式比大小問題，也應(yīng)對(duì)不等式的三個(gè)性質(zhì)進(jìn)行靈活的掌握，再結(jié)合劃歸思想或者數(shù)形結(jié)合來解決不等式比大小問題.

2.3 確定不等式字母范圍

確定不等式字母范圍也是不等式中?？嫉念}型之一，對(duì)于這類題型數(shù)形結(jié)合思想是最直觀也是最常用的方法.將不等式的字母范圍利用數(shù)軸的形式直觀的展現(xiàn)，來充分確定不等式中字母的范圍.在利用數(shù)軸求范圍之前教師因?yàn)閷W(xué)生先明確數(shù)軸的類型和含義，了解數(shù)軸幾種類型以及數(shù)軸所含有的空集和實(shí)集.

例3 若（a-2）x>a-2的解集如圖2所示，求a的取值范圍.

解析 根據(jù)數(shù)軸學(xué)生可以得出不等式的解集為x<1.將解集與原不等式聯(lián)系起來可以發(fā)現(xiàn)解集中不等號(hào)的方向發(fā)生了改變.學(xué)生在練習(xí)不等式習(xí)題時(shí)看到不等號(hào)發(fā)生改變，應(yīng)及時(shí)反映出本題利用的是不等式性質(zhì)3，是左右兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)的方向發(fā)生改變.學(xué)生要對(duì)不等式的性質(zhì)做到充分的理解和掌握，在任何題型中，能夠及時(shí)的合理運(yùn)用不等式性質(zhì)是解決不等式題型的基礎(chǔ).所以根據(jù)不等式的性質(zhì)三我們看此題可以得出（a-2）<0，進(jìn)而算出a>2.

在不等式的任何題型中對(duì)于數(shù)軸的運(yùn)用十分的常見，學(xué)生應(yīng)充分掌握數(shù)軸的畫圖及表達(dá)含義，合理的運(yùn)用到不等式解題中.數(shù)軸屬于數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)問題中常見的一種解題方法，無論是在解決不等式大小問題還是確定不等式中字母的范圍，均運(yùn)用到了數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合思想是將數(shù)字與幾何圖形直觀的聯(lián)系在一起，使運(yùn)用少量的計(jì)算由圖可以直觀地看出問題的答案.對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用，在不等式解題過程中，需要學(xué)生進(jìn)行充分地掌握和合理的使用.

2.4 尋找不等式存在解集

求不等式的解集是不等式題型中最主要的題型之一，初中對(duì)不等式的學(xué)習(xí)涉及到一元一次不等式，掌握不等式解集的方法是初中不等式學(xué)習(xí)中主要學(xué)習(xí)目的之一.在確定不等式解集中一般會(huì)采用到兩種方法，一是用函數(shù)思想來解決不等式解集，二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解決不等式.例5便是使用了函數(shù)思想來確定不等式解集.

例4 已知函數(shù)y=2x-4的值大于零，求自變量x等于多少.

解析 由題目可以得知y=2x-4為一元一次方程，可以將其轉(zhuǎn)化成一元一次不等式2x- 4>0，運(yùn)用函數(shù)的思想如何解答出不等式的解集？考驗(yàn)的是學(xué)生對(duì)于函數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，我們將y=2x-4這個(gè)一元一次函數(shù)畫出圖像如圖3.由圖可以看出y=2 x- 4恒過橫軸上的（2，0）這一點(diǎn)，求2x-4>0也就相當(dāng)于求x軸上方所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合.

這便是利用函數(shù)思想將不等式解集直觀的展示在學(xué)生面前，可以不通過計(jì)算直接得出不等式的解集.利用數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想來尋找不等式的解集，可以使不等式解集更直觀的展示在學(xué)生的面前，可以減少由于計(jì)算失誤所出現(xiàn)的錯(cuò)誤.數(shù)形結(jié)合思想在不等式題型中運(yùn)用最為廣泛，也是數(shù)學(xué)解題過程中最常用的一種方法.函數(shù)思想來解決不等式解集考驗(yàn)了學(xué)生對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，充分掌握一元一次函數(shù)的圖像和解析，才能更好地將函數(shù)思想運(yùn)用到不等式解題過程中.

3 結(jié)語

總之，一元一次不等式是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識(shí)的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容.教師在不等式教學(xué)過程中應(yīng)注重學(xué)生對(duì)不等式解題方法的鍛煉和培養(yǎng)，讓學(xué)生充分掌握數(shù)形結(jié)合思想來促進(jìn)學(xué)生對(duì)不等式知識(shí)的掌握和合理運(yùn)用，更好地鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.

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