有理數(shù)運(yùn)算的三個(gè)技巧

申新春

在進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，除了用常規(guī)的方

法之外，如果能根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活地運(yùn)用一些運(yùn)算技巧，則可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，極大地提高運(yùn)算的速度和解題的效率.現(xiàn)舉例介紹有理數(shù)運(yùn)算的三個(gè)常用技巧.

技巧一：湊整法

湊整法，顧名思義，就是把能夠湊成整數(shù)的數(shù)放在一起進(jìn)行運(yùn)算.這種方法是有理數(shù)運(yùn)算中最為常用的簡(jiǎn)便運(yùn)算方法.它可以降低解題難度，達(dá)到“快而準(zhǔn)”的運(yùn)算目的.

例1計(jì)算：9.8+99.8+999.8+9999.8+ 99999.8.

分析：此題數(shù)字偏大，若直接計(jì)算易出錯(cuò).觀察題中的數(shù)字接近整十、整百、整千等整數(shù)，不妨先湊整，再計(jì)算，則可以避免錯(cuò)誤發(fā)生.

解：原式=（10-0.2）+（100-0.2）+（1000- 0.2）+（10000-0.2）+（100000-0.2）

=10+100+1000+10000+100000-0.2x5

=111109.

例2 計(jì)算：

分析：觀察題目，不難看出，題中有些數(shù)加起來可以湊成整數(shù)，不妨利用湊整法求解.解：原式=（35/7+527）+（29—16—3）+（—8.2—2.8）=9+10-11=8.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)題目中的某些數(shù)或式子接近整十、整百，或相加、相減起來可以湊成整數(shù)時(shí)，可以優(yōu)先考慮湊整法，使解題事半功倍.

技巧二：拆分法

拆分法是指把某些數(shù)或式子拆分成和差、乘積的形式，進(jìn)而化簡(jiǎn)變形，達(dá)到求解的目的.當(dāng)某些有理數(shù)運(yùn)算較為復(fù)雜時(shí)，同學(xué)們要注意轉(zhuǎn)變思路，將某些代數(shù)式進(jìn)行拆分變形，使求解過程簡(jiǎn)單明朗.

例3 計(jì)算：

分析：本題若直接通分計(jì)算，較為棘手.觀察算式結(jié)構(gòu)，可以看出前后項(xiàng)之間聯(lián)系緊密，這樣就可以把每個(gè)分?jǐn)?shù)中的分母拆分成兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差，前后連續(xù)的兩項(xiàng)就可以相互抵消，問題也就化難為易了.

解：原式

例4 計(jì)算：

分析：此題若按照一般思路，根據(jù)算式的運(yùn)算順序一步步計(jì)算，顯然較為麻煩.但若能巧妙裂項(xiàng)，把帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分與分?jǐn)?shù)部分進(jìn)行拆分，再結(jié)合起來進(jìn)行運(yùn)算，則可以快速得解.

解：原式

點(diǎn)評(píng)：拆分法是解答有理數(shù)運(yùn)算問題的一種有效方法.在分?jǐn)?shù)運(yùn)算，尤其是帶分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，把帶分?jǐn)?shù)拆成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的差或和，再運(yùn)用分配律展開計(jì)算，就簡(jiǎn)單多了.

技巧三：換元法

換元法即把問題中的某個(gè)部分看成一個(gè)整體，然后設(shè)立新的未知數(shù)進(jìn)行替換，通過求出新元，進(jìn)而得出原問題的解.對(duì)于某些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的問題，巧用換元法，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，使求解之路變得順暢.

例5計(jì)算：

分析：此題若按照常規(guī)思路通分相加，計(jì)算量較大.觀察題干，不難看出算式中的后一項(xiàng)實(shí)際上是前一項(xiàng)的，若能巧妙設(shè)元，則能輕松解題.

解：設(shè)

則

兩式相減，可得：

解得

所以，原式

例6計(jì)算：

分析：本題直接計(jì)算十分繁瑣.仔細(xì)觀察題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)算式中存在相同的代數(shù)式，不妨通過換元簡(jiǎn)化運(yùn)算.

解：設(shè)

則

原式

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)代數(shù)式較為繁雜，且代數(shù)式之間存在某種關(guān)聯(lián)性時(shí)，若能用新字母替換這個(gè)代數(shù)式，則可使運(yùn)算避繁就簡(jiǎn).

有理數(shù)的運(yùn)算是同學(xué)們?cè)诔踔斜仨氄莆盏囊豁?xiàng)基本技能.同學(xué)們?cè)谶\(yùn)算的過程中要達(dá)到一準(zhǔn)二快的標(biāo)準(zhǔn)，除了要熟練掌握各種運(yùn)算法則、正確處理運(yùn)算順序外，還要掌握以上這些常用技巧，并學(xué)會(huì)結(jié)合題目的內(nèi)在特點(diǎn)，對(duì)各種技巧靈活加以運(yùn)用.