“寫(xiě)”與“畫(huà)”：讓思維在小學(xué)數(shù)學(xué)作業(yè)中自然生長(zhǎng)

摘 要：促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展是數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)然使命，也是落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)的實(shí)踐指向。作業(yè)是有效訓(xùn)練學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)的核心載體與基本抓手。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)作業(yè)偏重于使學(xué)生對(duì)知識(shí)與技能進(jìn)行反復(fù)操練、機(jī)械記憶，疏于對(duì)解決問(wèn)題的思維方法及思考路徑的呈現(xiàn)，教師難以從中捕捉學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)狀態(tài)。以“寫(xiě)一寫(xiě)”“畫(huà)一畫(huà)”為主要呈現(xiàn)形式的作業(yè)具有強(qiáng)大的魔力，能使學(xué)生沉浸在梳理、理解、探究數(shù)學(xué)問(wèn)題中，其過(guò)程是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的自然生長(zhǎng)過(guò)程，其成果是一份份圖文并茂、韻味獨(dú)特的個(gè)性化作業(yè)。

關(guān)鍵詞：“寫(xiě)”與“畫(huà)”;作業(yè)樣態(tài);數(shù)學(xué)思維;自然生長(zhǎng)

作者簡(jiǎn)介：于勇（1976—），男，江蘇省蘇州市吳江區(qū)思賢實(shí)驗(yàn)小學(xué)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用[1]。作業(yè)是學(xué)生在課堂上下、校園內(nèi)外所完成練習(xí)的總稱，是學(xué)生“雙基”目標(biāo)達(dá)成的最基本抓手，也是有效磨礪學(xué)生數(shù)學(xué)思維的載體。隨著“雙減”政策的落地實(shí)施，作業(yè)被賦予新的時(shí)代內(nèi)涵，對(duì)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)、優(yōu)化師生關(guān)系、建構(gòu)生活的意義等具有重要的價(jià)值。但在當(dāng)下的教學(xué)實(shí)踐中，作業(yè)設(shè)計(jì)隨意、作業(yè)布置重復(fù)機(jī)械、作業(yè)形式呆板陳舊、學(xué)生的思維訓(xùn)練嚴(yán)重缺位等現(xiàn)象依然普遍存在。因此，教育工作者亟須更新小學(xué)數(shù)學(xué)作業(yè)的原有樣態(tài)，將之提升至“做數(shù)學(xué)”的高度予以研究，讓數(shù)學(xué)思維在以“寫(xiě)”與“畫(huà)”為主的作業(yè)樣態(tài)中自然生長(zhǎng)出來(lái)。

一、基于認(rèn)知起點(diǎn)，以“寫(xiě)一寫(xiě)”激活多元思維

英國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家懷特海指出，學(xué)生智力的整體發(fā)展與局部知識(shí)的學(xué)習(xí)都要經(jīng)歷浪漫、精確、綜合三個(gè)階段，教育的節(jié)奏就是在學(xué)生不同的心智發(fā)展階段尋求合適的機(jī)遇，采用匹配的方法，實(shí)施相應(yīng)的教育。對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，對(duì)一個(gè)新知對(duì)象的認(rèn)知經(jīng)歷、探索研究學(xué)習(xí)階段正是浪漫階段，需要調(diào)動(dòng)他們的多種感官去親身經(jīng)歷、充分體悟，使他們?cè)谕瓿勺鳂I(yè)的過(guò)程中進(jìn)行發(fā)現(xiàn)、整理、質(zhì)疑、聯(lián)結(jié)、表達(dá)等基本活動(dòng)。

“寫(xiě)一寫(xiě)”的表達(dá)式作業(yè)不指向封閉、固定的答案，思考的路徑與方向更是多元的，有利于促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性化認(rèn)知、理解與內(nèi)隱性思維的多樣化呈現(xiàn)。如學(xué)習(xí)“倒數(shù)的認(rèn)識(shí)”后，教師可以設(shè)計(jì)這樣的作業(yè)：“今天我們學(xué)習(xí)了‘倒數(shù)的認(rèn)識(shí)的相關(guān)知識(shí)，你會(huì)向大家介紹哪些內(nèi)容呢？請(qǐng)先自行梳理一下，然后寫(xiě)一寫(xiě)?！庇械膶W(xué)生以“倒數(shù)的自述”為題，圍繞概念、性質(zhì)、求法等基本內(nèi)容，洋洋灑灑寫(xiě)出了千余字;有的學(xué)生基于對(duì)倒數(shù)的認(rèn)識(shí)，重點(diǎn)針對(duì)“倒”字的讀音做文章;還有的學(xué)生重點(diǎn)對(duì)“0沒(méi)有倒數(shù)”與“1的倒數(shù)是1”的原因做了探究。這種表達(dá)式作業(yè)是學(xué)生基于對(duì)新知的認(rèn)知起點(diǎn)與自身的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)將個(gè)人思考外化、可視化的過(guò)程，更是學(xué)生對(duì)基本知識(shí)、教材留白的再次挖掘。

受到認(rèn)知水平、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)聯(lián)結(jié)能力的影響，低年級(jí)學(xué)生很難獨(dú)立、有序、完整地完成“寫(xiě)一寫(xiě)”的作業(yè)，需要教師為他們提供引發(fā)思維、促進(jìn)表達(dá)的支架。如在學(xué)習(xí)“10以內(nèi)的加法和減法”后，筆者布置了這樣的作業(yè)：“同學(xué)們，請(qǐng)你們解決下面的問(wèn)題，然后想一想、寫(xiě)一寫(xiě)，我們?cè)诮鉀Q什么問(wèn)題時(shí)是用減法計(jì)算的？”這份作業(yè)以圖畫(huà)情境、文字提示為支架，為學(xué)生的思考提供了觸點(diǎn)及方向，可以讓學(xué)生對(duì)當(dāng)前所學(xué)的“去掉、拿走減”與“整體、部分減”兩種“減結(jié)構(gòu)”模型做出相對(duì)清晰的描述，目標(biāo)指向的不只是對(duì)結(jié)果的呈現(xiàn)，更是在過(guò)程中對(duì)學(xué)生進(jìn)行多元思維的訓(xùn)練。

二、指向數(shù)學(xué)理解，以“畫(huà)一畫(huà)”促進(jìn)思維進(jìn)階

現(xiàn)有作業(yè)大多處于對(duì)新知回憶、提取、再現(xiàn)的層級(jí)，指向“理解”層級(jí)的作業(yè)很少，這勢(shì)必會(huì)阻礙學(xué)生思維向更高的認(rèn)知層級(jí)邁進(jìn)?！爱?huà)一畫(huà)”具有表征直觀性、說(shuō)理簡(jiǎn)潔性、思維可視性等特點(diǎn)，簡(jiǎn)單、合適的圖畫(huà)勝過(guò)一遍遍釋意與講解，所以被教師廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)然更可將其應(yīng)用于作業(yè)設(shè)計(jì)中。

（一）“畫(huà)一畫(huà)”認(rèn)知，讓表征思維清晰可視

在小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，很多內(nèi)容對(duì)學(xué)生而言比較抽象，如乘法、除法、分?jǐn)?shù)的意義、加減法混合運(yùn)算的順序等，教學(xué)時(shí)只采取語(yǔ)言、書(shū)寫(xiě)符號(hào)對(duì)其予以表征，很難實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。畫(huà)圖表征可以使形與式有效聯(lián)結(jié)、圖與意高度融合，有效彌補(bǔ)表征形式的不足。

如在學(xué)習(xí)“乘法的初步認(rèn)識(shí)”后，筆者布置了這樣的作業(yè)：“一年級(jí)小朋友琪琪對(duì)乘法很感興趣，你能結(jié)合老師課上所講的內(nèi)容，通過(guò)畫(huà)圖并配上文字的方式，給她講解一下‘3×4是什么意思嗎？”設(shè)計(jì)此題的目的是考查學(xué)生對(duì)乘法算式意義的理解水平，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用畫(huà)圖、文字等表征手段理解和深化乘法的意義。這樣蘊(yùn)含新意、夯實(shí)認(rèn)知、凸顯思維的學(xué)習(xí)過(guò)程（如圖1、圖2），促進(jìn)了學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的深度理解，乘法的意義由此變得更清晰、直觀，作業(yè)的作用也得以顯現(xiàn)。

（二）“畫(huà)一畫(huà)”情境，讓數(shù)學(xué)模型直觀構(gòu)建

小學(xué)數(shù)學(xué)中的“解決問(wèn)題”大多處在知識(shí)運(yùn)用的層級(jí)，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)、構(gòu)建并求解數(shù)學(xué)模型。有些問(wèn)題中的已知條件看似簡(jiǎn)單，實(shí)則設(shè)有“陷阱”或暗含信息，學(xué)生想在數(shù)學(xué)情境中抽象出數(shù)量關(guān)系模型并非易事。此時(shí)，教師可針對(duì)學(xué)生解題的基本需求，在數(shù)學(xué)作業(yè)中增設(shè)“畫(huà)一畫(huà)”環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生在畫(huà)圖的過(guò)程中將模糊的數(shù)量關(guān)系具象化，在直觀審視中厘清條件與問(wèn)題之間的邏輯關(guān)系，生成數(shù)學(xué)模型。

如在學(xué)習(xí)“圓的面積”后，筆者設(shè)計(jì)了這樣的作業(yè)：“李師傅家有一張長(zhǎng)12分米、寬9分米的鐵皮，他想把這張鐵皮加工成半徑10厘米的圓形鐵片，用來(lái)做水桶的底面，這張鐵皮一共可以加工成幾個(gè)這樣的圓形鐵片？大家可以先畫(huà)一畫(huà)，再解決問(wèn)題喲！”大多數(shù)學(xué)生看到此題，第一時(shí)間就會(huì)想到用“長(zhǎng)方形面積÷圓的面積”來(lái)計(jì)算，這幾乎是學(xué)生在情境信息與問(wèn)題間能構(gòu)建起的唯一邏輯關(guān)系，實(shí)則不然。倘若讓學(xué)生畫(huà)一畫(huà)草圖，借助幾何圖形將情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，問(wèn)題便能迎刃而解。

（三）“畫(huà)一畫(huà)”算理，讓數(shù)學(xué)計(jì)算有跡可循

計(jì)算是數(shù)學(xué)作業(yè)中的“重頭戲”，核心素養(yǎng)背景下的計(jì)算教學(xué)已超越單純的技能要求，不再一味追求速度和準(zhǔn)確率，而是轉(zhuǎn)向算理與算法并重。但在當(dāng)下的作業(yè)設(shè)計(jì)中，往往還是將計(jì)算定位于程序性知識(shí)，過(guò)于關(guān)注“怎么做”，鮮有對(duì)“為什么這樣做”進(jìn)行考查及溯源，究其原因是作業(yè)設(shè)計(jì)及其呈現(xiàn)形式具有局限性。教師引導(dǎo)學(xué)生利用“畫(huà)一畫(huà)”的形式，使他們?cè)诳吹靡?jiàn)、摸得著的情況下詮釋數(shù)學(xué)計(jì)算程序及步驟，進(jìn)而抵達(dá)識(shí)得其“形”、清楚其“理”的理解層級(jí)。

如在學(xué)習(xí)“整數(shù)除以單位分?jǐn)?shù)的除法”后，筆者在教材“除法模型”的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了這樣的作業(yè)：“同學(xué)們，我們?cè)谡n堂上利用畫(huà)圖的方法學(xué)習(xí)了整數(shù)除以單位分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法，知道整數(shù)除以單位分?jǐn)?shù)等于整數(shù)乘單位分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，整數(shù)除以一般分?jǐn)?shù)也可利用這一方法進(jìn)行計(jì)算。請(qǐng)同學(xué)們先設(shè)置一個(gè)情境，然后用畫(huà)圖的方法說(shuō)明2÷=?2×的道理?！痹O(shè)計(jì)這一作業(yè)的目的是拓寬學(xué)生

的知識(shí)面，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生親歷并展現(xiàn)思維過(guò)程，充分理解分?jǐn)?shù)除法計(jì)算的內(nèi)在關(guān)系。

三、指向歸納構(gòu)建，以“畫(huà)一畫(huà)”促進(jìn)思維聯(lián)通

（一）基于主題，在“聯(lián)”中畫(huà)

小學(xué)數(shù)學(xué)中，很多主題內(nèi)容會(huì)在不同專題知識(shí)內(nèi)予以長(zhǎng)線滲透與孕伏，這是小學(xué)數(shù)學(xué)教材最為顯著的特點(diǎn)之一。教師在設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生基于某個(gè)主題觀其“前世今生”，理其來(lái)龍去脈，在不同專題間深入挖掘與之關(guān)聯(lián)的內(nèi)容，在主題同化的過(guò)程中予以融合構(gòu)建。如在學(xué)習(xí)“乘法分配律”后，筆者設(shè)計(jì)了這樣的作業(yè)：“乘法分配律是我們今天剛認(rèn)識(shí)的嗎？其實(shí)不是，在學(xué)習(xí)二年級(jí)‘乘加乘減、三年級(jí)‘長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積以及‘兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算和筆算‘兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算等內(nèi)容時(shí)，就出現(xiàn)過(guò)乘法分配律的相關(guān)內(nèi)容?，F(xiàn)在請(qǐng)仔細(xì)回想一下這些與乘法分配律關(guān)聯(lián)緊密的內(nèi)容，然后用畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)的方法把這些相關(guān)的內(nèi)容整理一下?！贝蟛糠謱W(xué)生能夠通過(guò)思維導(dǎo)圖的形式，縱向建構(gòu)起與乘法分配律相關(guān)內(nèi)容間的基本框架，這種方式比單純的計(jì)算更有力地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)這一數(shù)學(xué)概念的深度理解。

（二）基于單元，在“理”中畫(huà)

單元是小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容組織與邏輯的基本單位，每一個(gè)單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容同樣具有一定的序列與邏輯關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生歸納整理單元內(nèi)容、構(gòu)建知識(shí)框架其實(shí)就是厘清序列和呈現(xiàn)邏輯的過(guò)程，也是學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行內(nèi)化與吸收的過(guò)程。如在“長(zhǎng)方體、正方體”單元學(xué)習(xí)結(jié)束后，筆者設(shè)計(jì)了這樣的作業(yè)：“學(xué)習(xí)了‘長(zhǎng)方體、正方體這一單元以后，你有哪些收獲想分享給大家？現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真看一下課本，并結(jié)合自己學(xué)習(xí)到的基本知識(shí)、數(shù)學(xué)思想，用寫(xiě)一寫(xiě)、畫(huà)一畫(huà)的方法整理一下本單元的基本內(nèi)容，讓大家看明白你的學(xué)習(xí)收獲?！痹谠u(píng)閱學(xué)生作業(yè)的過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生用思維導(dǎo)圖或表格，對(duì)長(zhǎng)（正）方體的基本特點(diǎn)、表面積與體積的計(jì)算、體（容）積單位及進(jìn)率等內(nèi)容進(jìn)行了系統(tǒng)梳理，甚至還有學(xué)生設(shè)計(jì)出了極具個(gè)性的檢測(cè)試題并寫(xiě)出了解答思路，達(dá)到了復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)、鍛煉邏輯思維的目的。

（三）基于生發(fā)，在“擴(kuò)”中畫(huà)

小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)在學(xué)生的認(rèn)知領(lǐng)域中是相對(duì)獨(dú)立的，但在學(xué)習(xí)興趣的牽引下，一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)則可成為學(xué)生認(rèn)知生發(fā)、思維擴(kuò)散的支撐點(diǎn)和著力點(diǎn)。如在學(xué)習(xí)“比”的相關(guān)知識(shí)后，筆者設(shè)計(jì)了這樣的作業(yè)：“同學(xué)們，下面請(qǐng)你們從‘3∶4開(kāi)始一場(chǎng)頭腦風(fēng)暴，用心想一想與之相關(guān)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，然后用畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)的方法把你們想到的內(nèi)容呈現(xiàn)出來(lái)?！边@一作業(yè)已完全擺脫純粹的化簡(jiǎn)比、求比值等常規(guī)性作業(yè)，而是引導(dǎo)學(xué)生以“3∶4”為思維起點(diǎn)，進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的生發(fā)訓(xùn)練，將知識(shí)點(diǎn)擴(kuò)充成知識(shí)面，使學(xué)生的知識(shí)歸納時(shí)能力與想象能力得到較大幅度的提高。教師批閱學(xué)生作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生大都圍繞比的意義，化簡(jiǎn)比，求比值，比與除法、分?jǐn)?shù)三者間的區(qū)別和聯(lián)系等內(nèi)容進(jìn)行歸納整理，其中有舉例說(shuō)明，有溫馨提示，甚至有部分學(xué)生提到了同比、環(huán)比等概念。

四、基于實(shí)踐探索，以“寫(xiě)一寫(xiě)”促進(jìn)思維延展

面向未來(lái)的學(xué)習(xí)視角是多元的，將所學(xué)知識(shí)和方法運(yùn)用于生活實(shí)踐，解決生活中的實(shí)際問(wèn)題是其中的重要一元。教師在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生深入感受數(shù)學(xué)在實(shí)際應(yīng)用中的價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。實(shí)踐性作業(yè)以實(shí)際問(wèn)題為載體，突出學(xué)生的自主探究，啟發(fā)、引導(dǎo)他們擔(dān)任研究者角色，鼓勵(lì)他們動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題[2]。為此，實(shí)踐性作業(yè)已被廣泛應(yīng)用于學(xué)科教育教學(xué)活動(dòng)中。

如在學(xué)習(xí)“比”的相關(guān)內(nèi)容后，筆者以“黃金比”知識(shí)為情境，設(shè)計(jì)了這樣的作業(yè)：“在古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底之間的長(zhǎng)度比是0.618∶1，這一比例被稱為‘黃金比，在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用[3]。我校張老師凈身高165厘米，她上半身（頭頂至肚臍）長(zhǎng)68厘米，請(qǐng)你根據(jù)最美人體的‘黃金比設(shè)計(jì)一雙適合她的高跟鞋。”這樣的作業(yè)，促使學(xué)生的思維從教材延展到生活中，從知識(shí)本位延展到學(xué)科文化，有效激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與探究欲望。

以“寫(xiě)”與“畫(huà)”作為內(nèi)容呈現(xiàn)、解決問(wèn)題的主要形式本身就是一種新的作業(yè)樣態(tài)，能使學(xué)生內(nèi)隱的思維可視化、外顯化，更能助力教師有效了解學(xué)生思維的過(guò)程。根據(jù)不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容與目標(biāo)層次設(shè)計(jì)出來(lái)的“寫(xiě)”與“畫(huà)”的作業(yè)樣態(tài)自然也會(huì)有所不同。教師在明晰探究學(xué)習(xí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，厘清目標(biāo)達(dá)成的基本手段及思維指向，針對(duì)性地設(shè)計(jì)出具體、適合的“寫(xiě)”與“畫(huà)”作業(yè)，才是關(guān)鍵所在。

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