運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想處理初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)問題的探究

黃清山

本文結(jié)合具體教學(xué)例題，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)中的具體應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的分析論述，旨在通過此次研究分析，明確數(shù)形結(jié)合這一教學(xué)思想的具體價(jià)值，提升二次函數(shù)教學(xué)的效果，幫助學(xué)生更好地建立數(shù)學(xué)思維。

二次函數(shù)是初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，也是教學(xué)重難點(diǎn)之一。由于函數(shù)知識(shí)相對(duì)比較抽象，因此很多學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解不是很到位。若想解決學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的問題，當(dāng)前最為有效的教學(xué)方式就是通過數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想，鞏固學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解，讓學(xué)生具體理解二次函數(shù)的性質(zhì)，使知識(shí)點(diǎn)之間的橫向連接更加緊密。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可以將復(fù)雜的函數(shù)問題進(jìn)行簡(jiǎn)單化處理，推動(dòng)學(xué)生抽象思維能力的優(yōu)化形成，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，為后續(xù)階段更為復(fù)雜的函數(shù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)?；诖?，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)教學(xué)中的具體應(yīng)用進(jìn)行詳細(xì)的分析。

一、數(shù)形結(jié)合思想的具體概念

數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的教學(xué)思想之一，其內(nèi)容為“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”。著名數(shù)學(xué)家華羅庚也對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行了深入的研究，他認(rèn)為，“數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微”，這在根本上肯定了數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值。數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用主要分為兩個(gè)方面，第一方面是通過圖形的直觀性來明確數(shù)和數(shù)之間的聯(lián)系，將圖形作為教學(xué)的主要手段，數(shù)作為教學(xué)的主要目的;第二方面是通過數(shù)的規(guī)范性和嚴(yán)密性來明確圖形的具體屬性。這樣一來，通過數(shù)形之間的全面轉(zhuǎn)化，將一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡(jiǎn)單化處理，并將抽象的數(shù)學(xué)問題變得更加具體。數(shù)形結(jié)合作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用最為廣泛的教學(xué)思想之一，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、建立數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)有著舉足輕重的作用。

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要作用

目前，數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用非常頻繁，已經(jīng)全面融入了教學(xué)內(nèi)容中。通過數(shù)形結(jié)合思想開展教學(xué)，首先能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)注意力，利用圖形直觀性的優(yōu)勢(shì)，避免了學(xué)生由于代數(shù)抽象性的原因注意力不集中。同時(shí)，教師應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想還能夠提升學(xué)生的學(xué)習(xí)趣味性，全面激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情，提升學(xué)生的空間整合性思維，增強(qiáng)數(shù)學(xué)分析的能力。

具體來看，數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)函數(shù)問題教學(xué)中有獨(dú)特的價(jià)值，目前已經(jīng)成為初中函數(shù)教學(xué)中最主要的方式。數(shù)形結(jié)合思想極大地簡(jiǎn)化了與函數(shù)相關(guān)的單一型或復(fù)合型數(shù)學(xué)題目的解題步驟，以最簡(jiǎn)單清晰的方式解決數(shù)學(xué)問題。此外，針對(duì)一些應(yīng)用性比較強(qiáng)的題目，數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生更好地理解題目的含義。最后，在函數(shù)不等式這一教學(xué)難點(diǎn)上，數(shù)形結(jié)合思想也發(fā)揮著非常突出的價(jià)值，可以利用圖像確定取值范圍。

三、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)中的具體應(yīng)用策略

（一）鞏固學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解

初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，要求學(xué)生全面掌握函數(shù)的常量、變量，明確函數(shù)的具體意義，并精確分辨函數(shù)的常量和變量之間的關(guān)系。為了加深學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解，教材中也加入了很多生活化的例子，例如，一天當(dāng)中氣溫的變化趨勢(shì)，快遞重量與郵費(fèi)之間的變化關(guān)系等。通過這些例子，引導(dǎo)學(xué)生得出函數(shù)的一個(gè)量是隨著另一個(gè)量的變化而產(chǎn)生變化的結(jié)論，并讓學(xué)生理解函數(shù)在我們的生活中是大量存在的，從而認(rèn)識(shí)到函數(shù)概念構(gòu)建的必要性。在傳統(tǒng)化教學(xué)方式下，學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解是非常機(jī)械化的。例如，在一次函數(shù)和反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)上，學(xué)生利用函數(shù)的表達(dá)式可以對(duì)變量之間的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行判斷，但是這種方式并不能讓學(xué)生探索兩個(gè)數(shù)量之間變化關(guān)系的具體區(qū)別，一旦遇到全新的問題，就無法構(gòu)建函數(shù)模型來解決問題。這種現(xiàn)象從本質(zhì)上來看，就是沒有建立相應(yīng)的函數(shù)思想理念，對(duì)于函數(shù)模型的應(yīng)用能力掌控不足，對(duì)函數(shù)知識(shí)板塊的整體理解是有問題的。而在數(shù)形結(jié)合思想的幫助下，學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解會(huì)更加全面，針對(duì)不同的問題，可以靈活運(yùn)用函數(shù)的全部知識(shí)點(diǎn)構(gòu)建函數(shù)模型，最終解決相關(guān)問題。

例如，在二次函數(shù)的概念認(rèn)知方面，教師可以舉一些生活中的例子，通過生動(dòng)形象的示例來明確二次函數(shù)所表述的關(guān)系。學(xué)生在探尋變量之間關(guān)系的過程中，就可以得到函數(shù)的解析表達(dá)式。表示函數(shù)關(guān)系的方法有很多種，具體來看有解析法、列表法、圖象法，教師要將這些函數(shù)的表現(xiàn)形式都展現(xiàn)在課堂中，并將函數(shù)當(dāng)中的有序?qū)崝?shù)對(duì)和函數(shù)圖象上的點(diǎn)進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)，這樣通過數(shù)形結(jié)合的方式，幫助學(xué)生加深對(duì)函數(shù)的理解。鑒于這種情況，教師需要在學(xué)生得出函數(shù)表達(dá)式之后，找到各個(gè)數(shù)量之間的具體變化關(guān)系，之后使用平面直角坐標(biāo)，將數(shù)轉(zhuǎn)化成為圖象上的點(diǎn)。這樣的話，就可以通過圖象看到函數(shù)數(shù)量之間的變化情況，也就實(shí)現(xiàn)了從數(shù)到形，再?gòu)男蔚綌?shù)的轉(zhuǎn)化。并且通過圖象，教師可以讓學(xué)生深刻理解二次函數(shù)所展現(xiàn)的具體變化關(guān)系，明確與其他類型函數(shù)的不同點(diǎn)。同時(shí)理解數(shù)值的取值范圍與圖象變化之間的關(guān)聯(lián)情況，最終將數(shù)和形形成一個(gè)對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

（二）通過圖形全面理解二次函數(shù)的性質(zhì)

二次函數(shù)當(dāng)中的自變量和因變量的變化都是非常抽象的，如果單純從表達(dá)式和文字的角度去理解的話，學(xué)生對(duì)性質(zhì)的把握不準(zhǔn)確。因此，教師需要通過數(shù)形結(jié)合的方式，讓學(xué)生將函數(shù)具體的曲線畫出來，并找到圖象中對(duì)應(yīng)的數(shù)值，進(jìn)而讓學(xué)生深刻地理解二次函數(shù)的具體性質(zhì)。

在二次函數(shù)性質(zhì)的課堂教學(xué)中，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生列出表格對(duì)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)進(jìn)行分析，之后根據(jù)表格數(shù)據(jù)指導(dǎo)學(xué)生自己畫出函數(shù)的曲線，將函數(shù)表達(dá)式的具體特性展現(xiàn)在圖象中。

通過這種數(shù)和形轉(zhuǎn)換過程中的訓(xùn)練，學(xué)生在繪制圖象時(shí)就能夠?qū)Χ魏瘮?shù)的性質(zhì)進(jìn)行整合思考。此外，學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)性質(zhì)時(shí)，首先要對(duì)基本圖象充分了解，指導(dǎo)學(xué)生利用圖象的移動(dòng)感受性質(zhì)變化的具體過程，同時(shí)明確常數(shù)在二次函數(shù)圖象當(dāng)中的作用，了解每一種二次函數(shù)圖象的開口方向。通過對(duì)二次函數(shù)常數(shù)的變化以及圖形變化關(guān)系的觀察，學(xué)生就可以很清楚地了解二次函數(shù)圖象變化的具體規(guī)律，按照?qǐng)D象的特性，確定二次函數(shù)表達(dá)式中變量的取值狀況。同時(shí)教師在教學(xué)過程中需要注意的是，雖然圖形與表達(dá)式相比更加直觀具體，但是如果明晰二次函數(shù)的具體性質(zhì)，如圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)位置，以及和x軸與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)位置等，就需要通過代數(shù)的精確計(jì)算來實(shí)現(xiàn)圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)的形式。針對(duì)二次函數(shù)的具體變化，通過數(shù)形結(jié)合的方式都能夠達(dá)到意想不到的效果，因此通過數(shù)形結(jié)合的方式理解二次函數(shù)的性質(zhì)，不僅可以將抽象的知識(shí)抽絲剝繭，以直觀的方式展現(xiàn)在學(xué)生眼前，同時(shí)還能給學(xué)生帶來準(zhǔn)確的理性認(rèn)知，將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用得更加靈活，高效準(zhǔn)確地解決各類數(shù)學(xué)問題。

例如，以下題目：一條拋物線y=ax2和四條直線x=1，x=2，y=1，y=2所圍成的正方形存在公共點(diǎn)，那么a的取值范圍應(yīng)當(dāng)是多少？這道題如果單純從代數(shù)的角度去思考的話，是很難解出來的，而一旦畫出圖象，這道題的解題難度就會(huì)降低很多，按照題目畫出的圖象如下：

通過圖象，我們可以發(fā)現(xiàn)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（1，2）、B（2，2）、C（1，1）、D（2，1），而拋物線y=ax2是開口向上的，也就是a>0。如果y=ax2經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)開口是最大的，那么將坐標(biāo)代入可以得到a=1/4;如果y=ax2經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)開口最小，那么將坐標(biāo)代入就可以得到a=2。因此我們就可以確定a的取值范圍1/4≤a≤2。因此我們可以看到，通過圖象解決這個(gè)問題是非常輕松的。因此我們?cè)诮虒W(xué)和解題訓(xùn)練中，一定要注重利用數(shù)形結(jié)合的思想，通過最便捷的方式進(jìn)行解題。

（三）構(gòu)建二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)之間緊密的橫向聯(lián)系

數(shù)學(xué)是一門知識(shí)點(diǎn)連接非常緊密的學(xué)科，二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)和一元二次方程以及一元二次不等式之間的聯(lián)系都非常緊密。如何幫助學(xué)生正確理解這些知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，是教師的教學(xué)重難點(diǎn)之一。在這種情況下，教師就需要通過數(shù)形結(jié)合的思想將這些知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系都直觀地反映出來，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題和綜合分析能力。事實(shí)上，數(shù)形結(jié)合思想可以最大限度地提升學(xué)生的解題能力和研究分析能力，通過數(shù)形結(jié)合的方式，學(xué)生本身的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識(shí)脈絡(luò)都會(huì)更加清晰，并幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)問題遷移與聯(lián)想的能力。

例如，下面的這道例題：直線y=x+k和拋物線y=3x2+5x+1存在兩個(gè)交點(diǎn)，求k的取值范圍為多少。這道題實(shí)際上考查的是二次函數(shù)和一元二次方程組x+k=03x2+5x+1=0之間的聯(lián)系，其目的是求兩個(gè)方程之間的公共解。因此可以按照題目的說明列出一元二次方程組，之后對(duì)這個(gè)方程組進(jìn)行求解，就能夠完成數(shù)形之間的合理轉(zhuǎn)化，以最簡(jiǎn)單的方式進(jìn)行解題。在后續(xù)的解題步驟中，該方程組進(jìn)行聯(lián)立之后通過移項(xiàng)處理得到圖形。按照題目的意思，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因此可以得到k>0，這樣通過簡(jiǎn)單的計(jì)算，k的具體取值范圍就能夠確定了。

（四）解決進(jìn)階性二次函數(shù)問題

關(guān)于二次函數(shù)的考點(diǎn)，最難的就是函數(shù)拋物線的平移，這也是初中數(shù)學(xué)應(yīng)試當(dāng)中的“拔高題”。很多學(xué)生一碰到這種題，就會(huì)自覺地打起退堂鼓。其實(shí)這種類型的問題通過數(shù)形結(jié)合思想是非常容易解決的。比如，將拋物線y=2x2向右平移2個(gè)單位和向下平移3個(gè)單位，問這個(gè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式是什么。這種問題如果不通過圖象的方式求解的話，可能會(huì)需要耗費(fèi)很多的時(shí)間。而結(jié)合圖象就可以在圖象上直接進(jìn)行移動(dòng)操作，最終得到平移后的拋物線為y=2（x-2）2-3。而且通過圖象的移動(dòng)，學(xué)生還能夠得到拋物線平移的一個(gè)規(guī)律，那就是向左右移動(dòng)的話，需要在變量x的后面進(jìn)行加減;向上下移動(dòng)的話，則需要在整個(gè)函數(shù)表達(dá)式的后面進(jìn)行加減。

關(guān)于函數(shù)拋物線平移的問題，還有很多種考查方法，如這道例題：已知函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，2）、B（3，2）、C（5，7），如果點(diǎn)D（-2，y1）、E（-1，y2）、M（8，y3），同樣在該函數(shù)圖象中，那么y1、y2、y3之間的大小關(guān)系是什么樣的？在傳統(tǒng)解法下，這道題的求解首先要充分利用題干當(dāng)中的條件，代入A、B、C三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)得到函數(shù)的表達(dá)式，之后再將D、E、F的x軸坐標(biāo)值代入函數(shù)中依次求得y1、y2、y3的值。這種解法需要大量的計(jì)算，如果通過數(shù)形結(jié)合的方式，那么解答起來就會(huì)更加簡(jiǎn)單。通過A、B、C這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就可以明確該拋物線的對(duì)稱軸是x=2，開口的方向是朝上的。所以在對(duì)稱軸的左側(cè)，也就是x的值小于2的情況下，y的值會(huì)伴隨著x的增大而減小;與此相反在x的值大于2的情況下，y的值會(huì)伴隨著x的增大而增大。因此通過圖象我們就可以得出y1>y2的結(jié)論。同時(shí)點(diǎn)F與對(duì)稱軸之間的距離大于點(diǎn)E到對(duì)稱軸的距離，由此可以判斷出三者大小關(guān)系y1總之，數(shù)形結(jié)合思想滲透于整個(gè)二次函數(shù)的教學(xué)，其具體事例舉不勝舉。教師應(yīng)在日常的教學(xué)過程中，通過引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，找準(zhǔn)解題的突破口并正確地進(jìn)行數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生逐步掌握運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的方法，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。

注：本文系泉州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃（第一批）立項(xiàng)課題“數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用路徑研究”（QG1451-086）的研究成果之一。