有理函數(shù)不定積分方法的探究

李鑫 王麗瑤

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?任何多項(xiàng)式函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)都可分解為若干個(gè)一次項(xiàng)因式的乘積形式，考慮到一次項(xiàng)因式可能會(huì)出現(xiàn)重因式情況，研究從沒(méi)有重因式和有重因式兩種情況進(jìn)行分析，對(duì)于每種情況都給出一種法則系統(tǒng)地進(jìn)行求解，給出具體步驟、具體證明以及具體的計(jì)算公式，對(duì)于進(jìn)一步學(xué)習(xí)有理函數(shù)不定積分有一定的實(shí)際意義。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?有理函數(shù);不定積分;假分式;真分式

[中圖分類號(hào)] ?G642 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號(hào)] ?2096-0603（2022）28-0058-03

一、引言

有理函數(shù)的不定積分求解是一個(gè)重難點(diǎn)，有像其他類型函數(shù)得積分（無(wú)理函數(shù)積分和三角函數(shù)積分則可以通過(guò)根式代換、三角代換、萬(wàn)能代換、歐拉代換等求解），國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)有理函數(shù)的積分也有相關(guān)的研究。

有理函數(shù)的積分形式靈活多樣，對(duì)有理函數(shù)的積分方法為先將有理積分假分式化成真分式，把真分式進(jìn)行拆分，不能進(jìn)行拆分的，分子進(jìn)行配方，便能更好地掌握有理函數(shù)的積分方法。有理函數(shù)不定積分的求解具有理論和現(xiàn)實(shí)意義，采用傳統(tǒng)的待定系數(shù)法求解次數(shù)較高的有理函數(shù)不定積分所需要的計(jì)算量較大，并且容易出錯(cuò)。有理函數(shù)不定積分是高等數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，要提出一種應(yīng)用綜合除法解決一類有理函數(shù)不定積分的方法，并給出實(shí)例。國(guó)內(nèi)學(xué)者張燕艷給出真分式不定積分的幾個(gè)公式，利用帶余除法和待定系數(shù)法將分式有理函數(shù)拆分為多項(xiàng)式與幾個(gè)真分式之和，再結(jié)合真分式不定積分公式，求出有理函數(shù)的不定積分，可結(jié)合復(fù)變函數(shù)留數(shù)理論較方便地求出結(jié)果。有理函數(shù)有真分式和假分式兩種，通過(guò)帶余除法和待定系數(shù)法對(duì)假分式進(jìn)行分解，可以化成整式與真分式的和，給出真分式不定積分的公式，就能求得有理函數(shù)的不定積分，再結(jié)合復(fù)變函數(shù)留數(shù)理論來(lái)解決有理函數(shù)反常積分的求法。國(guó)內(nèi)學(xué)者劉新文的文章闡述了求有理函數(shù)不定積分的指導(dǎo)思想和重要應(yīng)用，詳細(xì)而系統(tǒng)地論述了有理函數(shù)的不定積分的求法，給出了解題步驟，并推導(dǎo)出有理函數(shù)的不定積分的遞推公式，對(duì)于系統(tǒng)學(xué)習(xí)和掌握有理函數(shù)不定積分的求法有一定的實(shí)際意義。留數(shù)的思想可在計(jì)算有理函數(shù)積分時(shí)用于確定待定系數(shù)，這種確定待定系數(shù)的留數(shù)法適用于一切有理函數(shù)的積分。

高等數(shù)學(xué)教材中有介紹待定系數(shù)法求解，但是對(duì)于待定系數(shù)法來(lái)說(shuō)，需要求解線性方程組，分母因式多的話，會(huì)導(dǎo)致求解過(guò)程很麻煩。劉玉玲學(xué)者在《留數(shù)法在有理函數(shù)積分中的應(yīng)用》中提到對(duì)于有理函數(shù)不定積分的研究，使用留數(shù)法求解是很不錯(cuò)的方法，計(jì)算過(guò)程也相對(duì)簡(jiǎn)單，但是對(duì)于出現(xiàn)重因式的情況時(shí)，也只是使用待定系數(shù)方法結(jié)合留數(shù)法進(jìn)行求解，其計(jì)算程度也是比較麻煩的。本文將有理函數(shù)分成兩種情況（沒(méi)有重因式和有重因式），針對(duì)每種情況都介紹一種方法求解有理函數(shù)的積分，給出具體公式步驟以及證明，如遇到特殊情況利用復(fù)變函數(shù)的知識(shí)加以解釋，希望能對(duì)讀者有一定的幫助和借鑒。

二、預(yù)備知識(shí)

如前所說(shuō)，初等函數(shù)的原函數(shù)未必是初等函數(shù)，我們將原函數(shù)為非初等函數(shù)的初等函數(shù)稱為不可積，就是說(shuō)它們的不定積分是非初等函數(shù);相反，對(duì)于原函數(shù)為初等函數(shù)的初等函數(shù)，則稱它們是可積的。

已經(jīng)證明，有理函數(shù)的原函數(shù)一定是初等函數(shù)，并且可以通過(guò)展開(kāi)為多項(xiàng)式與部分分式來(lái)求積分，這時(shí)部分分式的分子中系數(shù)可以通過(guò)待定系數(shù)法求解。本文我們討論一種新的求解方法，相對(duì)待定系數(shù)法而言，此方法更加快速便捷。

有理函數(shù)的不定積分實(shí)際上就是由有理函數(shù)與反正切函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)形式組合成，當(dāng)我們考慮復(fù)數(shù)域時(shí)，只要能將反正切函數(shù)的復(fù)變函數(shù)形式表示出來(lái)就可以在復(fù)數(shù)域內(nèi)進(jìn)行求解（對(duì)數(shù)函數(shù)可以由一次因式倒數(shù)求積分得到）。

五、總結(jié)與展望

根據(jù)法則一和法則二可針對(duì)一切有理函數(shù)積分的求解，本文不再一一列舉描述，從上面的四個(gè)例子可以看出，若一次因式中出現(xiàn)復(fù)數(shù)形式，那么它們所對(duì)應(yīng)的分子系數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，若出現(xiàn)重因式，即可以使用求導(dǎo)來(lái)進(jìn)行計(jì)算分子系數(shù)，也節(jié)省了計(jì)算量。

考慮到有理函數(shù)的不定積分其結(jié)果是由有理函數(shù)和對(duì)數(shù)型函數(shù)以及反正切函數(shù)組合成的。本文則針對(duì)有理函數(shù)不定積分進(jìn)行求解，相比于待定系數(shù)法而言既節(jié)省計(jì)算量而且分子系數(shù)求解比較快，結(jié)合反正切函數(shù)的復(fù)變函數(shù)形式，就可以做到求解任何有理函數(shù)的不定積分。

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編輯 司 楠

①基金項(xiàng)目：黑龍江工業(yè)學(xué)院校級(jí)課題“應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)下的高校數(shù)學(xué)類課程教學(xué)改革的研究”。

作者簡(jiǎn)介：李鑫（1991—），男，漢族，黑龍江雞西人，碩士研究生，助教，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

王麗瑤（1991—），女，漢族，河北秦皇島人，碩士研究生，助教，研究方向：控制論。