洛倫茲力沖量法及其應(yīng)用

沈曉清

摘? ?要：洛倫茲力、動(dòng)沖量是高考電磁問(wèn)題的高頻考點(diǎn)，從帶電粒子只受洛倫茲力作用下的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)正交分解在兩個(gè)相互垂直的方向上運(yùn)用動(dòng)量定理，導(dǎo)出某個(gè)方向的位移與其垂直方向上的速度變化量成正比的結(jié)論，通過(guò)對(duì)比該方法與常規(guī)方法求解1道高考模擬試題和2道高考試題，凸顯出該方法的優(yōu)勢(shì)，為求解與位移有關(guān)的一類電磁問(wèn)題提供另一種思路。

關(guān)鍵詞：洛倫茲力的沖量;動(dòng)量定理;曲線運(yùn)動(dòng)

1? 引言

全國(guó)高考物理學(xué)科考試大綱從2017年起，將物理試卷中選修3-5的動(dòng)量模塊由原來(lái)選考的考察方式改為必考。這無(wú)疑提高了動(dòng)量這部分知識(shí)在高考中的地位與考察份量。統(tǒng)計(jì)分析2018-2021年，從各地高考試卷呈現(xiàn)的分值特點(diǎn)來(lái)看，動(dòng)沖量的考察分值逐漸升溫，這對(duì)一線教師如何開(kāi)展動(dòng)量模塊的日常教學(xué)提出了新要求。帶點(diǎn)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題一向是高考中重點(diǎn)考察的知識(shí)點(diǎn)，教師在教學(xué)過(guò)程中，往往采用“找圓心，定半徑，畫(huà)軌跡”，但這對(duì)學(xué)生作圖與數(shù)學(xué)知識(shí)有一定的要求，洛倫茲力是變力，如果從動(dòng)量的角度切入，用動(dòng)量的方法去解決，相比于常規(guī)的方法可能會(huì)簡(jiǎn)捷許多。所以在日常教學(xué)中要注重學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的物理學(xué)科關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從動(dòng)量的角度去分析、解決問(wèn)題。本文介紹從動(dòng)量的角度解決磁場(chǎng)問(wèn)題的一個(gè)具體方法——洛倫茲力沖量法及其應(yīng)用。

2? 洛倫茲力沖量法

根據(jù)動(dòng)量定理：物體所受合外力的沖量等于動(dòng)量的變化量，即

I=Ft=p'-p=△p=mv'-mv

注意上述動(dòng)量定理是矢量表達(dá)式，也可以運(yùn)用到某一方向進(jìn)行分解使用;下面從帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)的情況下，運(yùn)用動(dòng)量定理導(dǎo)出洛倫茲力沖量法的簡(jiǎn)單形式。

如圖1所示，一帶正電的粒子（不計(jì)重力）電荷量為q質(zhì)量為m，在xoy直角坐標(biāo)系中僅受洛倫茲力做曲線運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)垂直坐標(biāo)系向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。粒子運(yùn)動(dòng)到p點(diǎn)處的速度為v，在x、y方向上的分速度分別為vx、vy，此時(shí)受到的洛倫茲力為F，其在x、y方向上的分力分別為Fx、Fy。其中F由v引起，由左手定則可知Fy是vx引起的，F(xiàn)x是vy引起的，它們分別為

F=qBv? ?①

Fx=qBvy? ②

Fy=qBvx? ③

考慮②、③式中Fx、Fy產(chǎn)生的洛倫茲力沖量得

FxΔt=qBvyΔt? ?④

FyΔt=qBvxΔt? ?⑤

對(duì)④式根據(jù)動(dòng)量定理可得

FxΔt=mΔvx⑥

對(duì)④式累計(jì)求和可得

qBvyΔt=qBSy⑦

由⑥、⑦式得

qBsy=mΔvx=mv'x-mvx⑧

同理由⑤式可得

qBsx=mΔvy=mv'y-mvy⑨

⑧、⑨式中sx、sy的分別表示帶電粒子在x、y方向上發(fā)生的位移，該位移與粒子在其反（垂直）方向y、x上對(duì)應(yīng)發(fā)生的動(dòng)量變化量有關(guān);這里需要強(qiáng)調(diào)，上述式子均為矢量式，涉及正負(fù)號(hào)的問(wèn)題，根據(jù)題目對(duì)速度的方向，電荷正負(fù)性，位移方向自行判斷。此規(guī)律可以在涉及帶電粒子位移與速度變化的相關(guān)磁場(chǎng)問(wèn)題中應(yīng)用。

上面介紹的情境中帶電粒子只受洛倫茲力，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這類問(wèn)題由勻速圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律就可以解決，是比較簡(jiǎn)單的情況。若帶電粒子除了受洛倫茲力以外還受到其他力的作用，粒子在磁場(chǎng)中做的是復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)，還用常規(guī)的方法處理就比較麻煩。此時(shí)可以對(duì)帶電粒子在僅受洛倫茲力的方向（垂直于恒力的方向）應(yīng)用動(dòng)量定理。為表達(dá)方便，稱該方法為洛倫茲力沖量法。下面通過(guò)三道例題，演示這個(gè)方法在解題具體過(guò)程的應(yīng)用。

3? 洛倫茲力沖量法的應(yīng)用

例1 [2018.北京海淀區(qū)高三一模] 空間中有相互正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)（場(chǎng)強(qiáng)E）和磁場(chǎng)（磁感應(yīng)強(qiáng)度B），電場(chǎng)方向豎直向下，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里（如圖2所示）。一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子從P點(diǎn)由靜止開(kāi)始釋放（不計(jì)粒子重力），粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中虛線所示。則粒子在電、磁場(chǎng)中下落的最大高度H為[ 1 ]（? ?）

A.? ? ? ? ?B.? ? ? ? C.? ? ? ? D.

【解析】本題中給出的四個(gè)選項(xiàng)量綱各不相同，所以通過(guò)量綱分析，就可以找出與能量相同量綱的正確選項(xiàng)A。事實(shí)上對(duì)此題如果應(yīng)用洛倫茲力沖量法，是可以直接求出H的表達(dá)式的。

設(shè)水平方向?yàn)閤，豎直方向?yàn)閥，粒子在水平方向上只受洛倫茲力Fx?？蓱?yīng)用動(dòng)量定理：

qBvyΔt=mΔvx? ? ? ? ? ? ?⑩

對(duì)上式中粒子從p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程累計(jì)求和得

qBH=mv-m·0? ? ? ? ? ?11

粒子從p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中只有電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理得

qEH=mv2-0? ? ? ? ?12

聯(lián)立11、12式得

H=

【總結(jié)】由以上解法可知，洛倫茲力沖量法，不僅對(duì)于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的帶電粒子適用，而且只要帶電粒子在某一方向只受洛倫茲力作用或除洛倫茲力以外的其他合外力為零，無(wú)論粒子是否做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力沖量法都在該方向上適用。

例2[2015.天津卷]如圖3所示，真空中有多層緊密相鄰的勻強(qiáng)電、磁場(chǎng)，電、磁場(chǎng)寬度均為d。電場(chǎng)強(qiáng)度E，方向?yàn)樗较蛴?磁感應(yīng)強(qiáng)度B，方向?yàn)榇怪奔埫嫦蚶?。電、磁?chǎng)邊界互相平行并與電場(chǎng)垂直，一帶正電的粒子（質(zhì)量為m、電量為q）于第1層電場(chǎng)的左側(cè)邊界某點(diǎn)從靜止開(kāi)始釋放，粒子始終在電、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，粒子重力與運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的電磁輻射可忽略。該粒子從第n層磁場(chǎng)的右側(cè)邊界穿出時(shí)，速度方向與水平方向的夾角為θn，試求sinθn[ 2 ] 。

【解析】本題中有n層電、磁場(chǎng)，常規(guī)的方法是通過(guò)計(jì)算粒子通過(guò)前幾層時(shí)的情況找出規(guī)律，依據(jù)此規(guī)律給出第n層的解并用數(shù)學(xué)歸納法證明之情況?；蛘咧苯訌牡趎層切入，找出第n-1層與第n層的關(guān)系，得到遞推公式，從而求解問(wèn)題。常規(guī)方法計(jì)算繁瑣費(fèi)時(shí)費(fèi)力對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求很高。

解法一（常規(guī)方法）：

設(shè)第n層磁場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)速度vn，軌跡半徑rn，則有

nEqd=mv

qvnB=m

當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)到第n層磁場(chǎng)時(shí)，其速度方向和水平方向成αn角，粒子從第n層磁場(chǎng)的右側(cè)邊界穿出時(shí)，其速度方向和水平方向成θn角，垂直于電場(chǎng)的速度分量保持不變，則：

vn-1sinθn-1=vnsinαn

由r=得

rn-1sinθn-1=rnsinθαn? ? ? ? ? 13

由圖4可得

rnsinθn-rnsinαn=d? ? ? ? ? ?14

由13、14可得：

rnsinθn-rn-1sinθn-1=d

則可知r1sinθ1、r2sinθ2、r3sinθ3…rnsinθn，為一組等差數(shù)列，公差為d，可得：

d=rnsinθn=r1sinθ1+（n-1）d

當(dāng)n=1時(shí)，由圖5可知

r1sinθ1=d

則可得：

sinθn=B

解法二：（洛倫茲力沖量法）

在第一層磁場(chǎng)中粒子在豎直方向只受洛倫茲力的豎直分力，應(yīng)用動(dòng)量定理得

qbvxΔt=mΔv1y

積累求和得

qBd=mv1y-m·0

同理對(duì)第二層也可得

qBd=mv2y-mv1y

第三層

qBd=mv3y-mv2y

…

第n層

qBd=mvny-mv （n-1）y

對(duì)以上各式左右分別求和得

qBnd=mvny? ? ? ? ? ? ? ? ?15

對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程動(dòng)能定理得

qEnd=mv? ? ? ? ? ? ?16

聯(lián)立15、16式解得

sinθn==B

【總結(jié)】相比常規(guī)方法，本題應(yīng)用洛倫茲力沖量法求解，繞開(kāi)了數(shù)學(xué)上繁瑣的計(jì)算，物理過(guò)程一目了然，極大簡(jiǎn)化了問(wèn)題的解答過(guò)程。實(shí)質(zhì)上，洛倫茲力沖量法就是微元思想的體現(xiàn)，所以在高中階段的考試中應(yīng)用洛倫茲力法來(lái)求解相應(yīng)題目并不算超出教材內(nèi)容。

例3[2020.全國(guó)卷2第24題].空間中存在如圖6所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界為0≤x≤h，-∝

（1）若粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后穿過(guò)y軸正半軸離開(kāi)磁場(chǎng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值Bm及其方向;

（2）若磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，粒子將通過(guò)虛線所示邊界上的一點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)。求粒子在該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向及到x軸的距離[ 3 ]。

【解析】本題是帶電粒子僅受洛倫茲力作用作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這類問(wèn)題由勻速圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律及邊界條件就可以解決，屬于常規(guī)題型。

解法一（常規(guī)解法）：

（1）由左手定則可知：粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)受洛倫茲力方向向上，可知磁場(chǎng)方向垂直紙面向里。設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：

qv0B=m? ? ? ?17

由此可得

R=? ? ? ?18

粒子穿過(guò)y軸正半軸離開(kāi)磁場(chǎng)，圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在y軸正半軸上，半徑滿足

R≤h? ? ? ? ? ?19

當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為Bm時(shí)，圓周半徑最大，即

Bm=? ? ? ? ? ? ? 20

（2）如果該磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變?yōu)?時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的圓心仍在y軸正半軸上，由18、20式可得運(yùn)動(dòng)軌道半徑為

R'=2h

粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖7所示，穿過(guò)磁場(chǎng)后從P點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，速度方向與水平方向成α角，則

由幾何關(guān)系

sinα==? ? ? ? 21

即α=? ? ? ? ? ? ? ?22

P點(diǎn)與x軸的距離為

y=2h（1-cosα）? ? ? ?23

聯(lián)立22、23式得

y=（2-）h? ? ? ?24

解法二：（洛倫茲力沖量法）

（1）粒子穿過(guò)y軸正半軸離開(kāi)磁場(chǎng)，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為Bm，R=h，在豎直方向應(yīng)用洛倫茲力沖量法：

qBvyΔt=mΔvx

累計(jì)求和得：

qBm2h=mv0-（-mv0）

解得：

Bm=

（2）設(shè)粒子在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與x軸正方向的夾角為α，速度在x，y軸的分量分別為v0cosα、v0sinα該點(diǎn)到x軸的距離為y。

對(duì)洛倫茲力的豎直分力應(yīng)用動(dòng)量定理得

qBvxΔt=mΔvy

累積得

qBsx=mvy-m·0

代入：B==，sx=h，vy=v0sinα

解得

sinα=， α=

同理，對(duì)洛倫茲力的水平分力應(yīng)用動(dòng)量定理得

qBvyΔt=mΔvx

累積得

qBy=mv0-m·v0cosα

代入：B==，vx=v0cosα=v0

解得

y=（2-）h

【總結(jié)】本題考查要求雖然比較常規(guī)，用常規(guī)解法簡(jiǎn)單作圖都能求解出來(lái)。但運(yùn)用洛倫茲力沖量法可以省去“找圓心”“定半徑”“找角度”的數(shù)學(xué)作圖過(guò)程，對(duì)數(shù)學(xué)作圖能力不好的學(xué)生提供了另一種思路。一題多解不僅可以訓(xùn)練學(xué)生的思維，還能提升學(xué)生對(duì)洛倫茲力沖量法認(rèn)知水平，提高學(xué)生多角度思考問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力及建模能力，培養(yǎng)物理學(xué)科的關(guān)鍵能力。

4? 結(jié)論

動(dòng)量定理作為處理力學(xué)問(wèn)題的有力工具，在求解帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)的位移問(wèn)題時(shí)使用洛倫茲力沖量法往往繞開(kāi)了數(shù)學(xué)上繁瑣的計(jì)算，弱化對(duì)學(xué)生作圖技能要求，使物理過(guò)程更為簡(jiǎn)潔清晰，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的信心;對(duì)于較復(fù)雜的電磁運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，該方法更能凸顯其優(yōu)勢(shì)，值得一線教師教學(xué)參考。

參考文獻(xiàn)

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