《曲線運(yùn)動(dòng)》知識(shí)要點(diǎn)例析

李建軍

一、內(nèi)容概述

教材先通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)介紹曲線運(yùn)動(dòng)的速度方向，進(jìn)而得出曲線運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，再進(jìn)一步介紹判斷軌跡情況的方法，從而引入研究復(fù)雜問(wèn)題需應(yīng)用運(yùn)動(dòng)合成與分解來(lái)認(rèn)識(shí)的思維方式，進(jìn)而重點(diǎn)講解兩個(gè)重要的、典型的曲線運(yùn)動(dòng)的實(shí)例：平拋運(yùn)動(dòng)——?jiǎng)蜃兯偾€運(yùn)動(dòng)；勻速圓周運(yùn)動(dòng)——非勻變速曲線運(yùn)動(dòng).

二、知識(shí)框架

物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件：速度方向與合外力方向不共線.曲線運(yùn)動(dòng)的研究方法：運(yùn)動(dòng)的合成與分解.分運(yùn)動(dòng)和合運(yùn)動(dòng)遵守平行四邊形定則，具有等時(shí)性和獨(dú)立性.

三、研究方法

1.將復(fù)雜問(wèn)題應(yīng)用分解的思想，變成研究簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)研究，這樣就將復(fù)雜問(wèn)題的解決輕松完成，這也是我們研究其它問(wèn)題的主要思想.

2.處理平拋運(yùn)動(dòng)類習(xí)題時(shí)，我們常用“化曲為直”的思想，將平拋運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng).

3.必須精通的幾種方法

（1）兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的軌跡及運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的判斷方法.

（2）小船渡河問(wèn)題、繩和桿末端速度分解問(wèn)題的分析方法.

（3）平拋運(yùn)動(dòng)、類平拋運(yùn)動(dòng)的分析方法.

（4）火車轉(zhuǎn)彎問(wèn)題、豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的分析方法.

4.必須明確的易錯(cuò)易混點(diǎn)

（1）兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)不一定是直線運(yùn)動(dòng).

（2）合運(yùn)動(dòng)是物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng).

（3）小船渡河時(shí)，最短位移不一定等于小河的寬度.

（4）做平拋運(yùn)動(dòng)的物體，其位移方向與速度方向不同.

（5）做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，其向心力由合外力指向同心方向的分力提供，向心力并不是物體“額外”受到的力.

（6）做離心運(yùn)動(dòng)的物體并沒(méi)有受到“離心力”的作用.

四、要點(diǎn)例析

要點(diǎn)1：曲線運(yùn)動(dòng)的特征與條件

曲線運(yùn)動(dòng)中，至少質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度方向是變化的.因此，曲線運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng)，可以是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，也可以是非勻變速曲線運(yùn)動(dòng).不管是那種曲線運(yùn)動(dòng)，共同的特征是加速度方向與速度方向不在同一條直線上，運(yùn)動(dòng)中速度的方向隨時(shí)間在變化.若運(yùn)動(dòng)中加速度的大小、方向保持不變，屬于勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，如平拋運(yùn)動(dòng).曲線運(yùn)動(dòng)的特征，還可以從力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系敘述，就是質(zhì)點(diǎn)所受合外力的方向與速度方向不在同一條直線上.因此，質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)的條件就是：運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所受外力的合力方向與速度方向不在一條直線上，曲線運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的速度方向總是朝合外力方向一側(cè)偏轉(zhuǎn).若合外力恒定不變，質(zhì)點(diǎn)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng).

例1 一質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)恒力的作用下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻將其中一個(gè)力撤去，則質(zhì)點(diǎn)將如何運(yùn)動(dòng)？

解析

質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)恒力的作用下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律知，這兩個(gè)力必大小相等，方向相反.但這兩個(gè)力的方向與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度方向間是什么關(guān)系，題中未明確告訴，因此要分幾種情況進(jìn)行分析.

（1）若兩力的方向與運(yùn)動(dòng)方向在一條直線上，必是一力與運(yùn)動(dòng)方向一致，另一力相反，若撤掉的是與運(yùn)動(dòng)方向一致的力，質(zhì)點(diǎn)將做勻減速直線運(yùn)動(dòng)；若撤掉的是與運(yùn)動(dòng)方向相反的力，質(zhì)點(diǎn)將做勻加速直線運(yùn)動(dòng).

（2）若兩力的方向與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向不在一條直線上，撤掉任一力后，由于剩下的一個(gè)恒力的方向與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向不在一條直線上，質(zhì)點(diǎn)將做勻變速曲線運(yùn)動(dòng).

【總結(jié)】曲線運(yùn)動(dòng)的條件是合力方向與速度方向不在一條直線上.

要點(diǎn)2：運(yùn)動(dòng)的合成與分解

運(yùn)動(dòng)的合成與分解有兩方面的應(yīng)用，一是質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，比如小船渡河時(shí)，一方面相對(duì)水面航行，一方面隨水漂流.這樣，小船同時(shí)參與了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，為了研究方便，可求出兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合速度、合加速度——合運(yùn)動(dòng)，用合運(yùn)動(dòng)等效替代兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)化研究過(guò)程.另一方面的運(yùn)用是將一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)分解為同時(shí)進(jìn)行著的兩個(gè)較簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)，用同時(shí)進(jìn)行著的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)等效替代一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng).比如將曲線運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)分別研究，求出兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的速度、位移，然后運(yùn)用平行四邊形定則求出合速度與合位移，就是合運(yùn)動(dòng)的速度與位移.運(yùn)動(dòng)的合成與分解，關(guān)鍵是分清楚哪個(gè)是合運(yùn)動(dòng)，那個(gè)是分運(yùn)動(dòng).

例2 兩個(gè)相互垂直的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)是直線運(yùn)動(dòng)嗎？

解析 A、B兩車（質(zhì)點(diǎn)）沿水平面的運(yùn)動(dòng)（實(shí)際進(jìn)行的運(yùn)動(dòng)）是合運(yùn)動(dòng)，根據(jù)實(shí)際效果，A的運(yùn)動(dòng)一方面使右邊的繩變長(zhǎng)，小車與繩的連接點(diǎn)具有沿繩斜向下的運(yùn)動(dòng)；一方面右邊繩子與豎直方向的夾角增大，小車與繩的連接點(diǎn)有隨繩繞滑輪向右轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)，具有垂直于繩斜向上的運(yùn)動(dòng).因此，繩子速度vA可分解為垂直于繩斜向上的速度vA1和繩斜向下的速度VA2，如圖3所示；同理，B的運(yùn)動(dòng)速度VB可分解為沿繩斜向上的速度VB1和垂直于繩斜向下的速度 .則：

.運(yùn)動(dòng)中繩不伸縮、不斷裂，故有

解得B車的運(yùn)動(dòng)速度為：

【總結(jié)】運(yùn)動(dòng)的分解，關(guān)鍵是分清合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)，實(shí)際進(jìn)行著的運(yùn)動(dòng)是合運(yùn)動(dòng).

要點(diǎn)3：平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的分析與求解，常涉及到高度、水平位移、速度、位移等.通常的處理方法是將平拋運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，但有時(shí)也可根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)及解題的需要，分解為其他方向的兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng).

解析 如圖6所示，可將小球的平拋運(yùn)動(dòng)分解為垂直斜面向上的勻變速直線運(yùn)動(dòng)和沿斜面向下的勻變速運(yùn)動(dòng)，初速度v0沿垂直斜面方向上的分量為：V1= vosin θ，加速度g在垂直于斜面方向上的分量為：α=gcos θ.根據(jù)分運(yùn)動(dòng)各自獨(dú)立的原理可知，球離斜面的最大距離僅由垂直斜面方向的初速度和加速度決定，當(dāng)垂直于斜面的分速度減為零時(shí)，球離斜面的距離最大.由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移關(guān)系式V2一V2/0= 2αs及v=0可得：

【總結(jié)】對(duì)運(yùn)動(dòng)的分解，通常是從合運(yùn)動(dòng)的實(shí)際效果確定分運(yùn)動(dòng)的方向，但有些問(wèn)題中，依據(jù)問(wèn)題的特殊情形，結(jié)合解題需要確定分運(yùn)動(dòng)的方向.

要點(diǎn)4：類平拋運(yùn)動(dòng)

物體被沿某方向以一定初速度拋出，拋出后只在與初速度垂直方向上受到恒定的外力作用，這類運(yùn)動(dòng)就是類平拋運(yùn)動(dòng).和平拋運(yùn)動(dòng)不同的是，在合外力方向上的分運(yùn)動(dòng)不是自由落體運(yùn)動(dòng)，其加速度可依據(jù)牛頓第二定律求出.一般也是將其分解為初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和合外力方向的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng).

例6 如圖7所示，光滑斜面長(zhǎng)為α，寬為b，傾角為θ.一物塊沿斜面從上方頂點(diǎn)P水平射入斜面，而從右下方頂點(diǎn)Q離開斜面.求物塊入射的初速度.

解析 由于斜面光滑，被水平拋出的物體在水平方向以初速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)；在沿斜面向下方向，對(duì)物體運(yùn)用牛頓第二定律有：mgsin θ=mα，解得：α=gsin θ.由此可知，沿斜面方向，物體做初速度為零，加速度為α= gsinθ的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)拋出時(shí)的速度為v0，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，對(duì)上述兩個(gè)方向 的運(yùn)動(dòng)分別有：b=

【總結(jié)】這類問(wèn)題的處理方法與平拋運(yùn)動(dòng)相同.

要點(diǎn)5：圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量有描述運(yùn)動(dòng)快慢的物理量，如周期、線速度、角速度等，有描述速度變化快慢的物理量——向心加速度.在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，恒定的物理量是周期、角速度，向心加速度、向心力只是大小恒定，方向時(shí)刻指向軌道同心.向心力由作用在勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體上外力的合力提供，它和向心加速度間滿足牛頓第二定律.

例7 如圖8所示，直徑為d的紙制圓筒，以角速度ω繞軸O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一子彈沿直徑穿過(guò)圓筒，若子彈在圓筒旋轉(zhuǎn)不到半周時(shí)在圓筒上留下α、b兩個(gè)彈孔，已知αo、bo夾角為ψ，求：

（1）子彈的速度；

（2）若題中“在圓筒旋轉(zhuǎn)不到半周時(shí)”去掉，子彈的速度又如何？

例8 如圖9所示的皮帶傳動(dòng)裝置中，B、C兩輪固定在一起繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B兩輪用皮帶傳動(dòng)，A、B、C三輪的半徑關(guān)系為TA=rc=2rn.若皮帶不打滑，求A、B、C三輪邊緣的α、b、c三點(diǎn)的角速度之比及線速度之比.

解析 由于皮帶不打滑，A、B兩輪邊沿α、b兩點(diǎn)的線速度相等，即vα/vb= 1/1，由關(guān)系v=rω可知，角速度之比為ωα/ωb=rB/rA =1/2；由于B、C兩輪固定在同一轉(zhuǎn)軸上轉(zhuǎn)動(dòng)，邊沿上的b、c兩點(diǎn)角速度相等，即ωb/ωc= 1/1，由關(guān)系式v=rω可知，vb/vc=rB/rc=1/2.由以上幾式可得：ωα：ωb：ωc=1：2：2，vα：vb：vc=1：1：2.

例9 如圖10所示，長(zhǎng)度為0.5 m的輕質(zhì)細(xì)桿OA，A端有一質(zhì)量為3 kg的小球，以O(shè)點(diǎn)為圓心，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度為2 m/s，取g= 10 m/s2.則止匕時(shí)輕桿0A將（

）

B.受到24 N的拉力

C.受到6N的壓力

D.受到54 N的壓力

解析 小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，輕桿處于豎直方向，它對(duì)小球若有作用力，作用力的方向肯定也在豎直方向.設(shè)小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)受到豎直向下的拉力為T，對(duì)小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用牛頓第二定律有：mg+T=m .代人數(shù)據(jù)解得：T= -6 N，負(fù)號(hào)說(shuō)明輕桿對(duì)小球作用的是豎直向上的推力，由牛頓第三定律可知，小球?qū)p桿作用的是向下的壓力，大小為6 N.本題選C.

例10 如圖11所示，質(zhì)量為m的小球被細(xì)線懸掛在天花板上的O點(diǎn)，在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，細(xì)線長(zhǎng)度為l.求小球圓周運(yùn)動(dòng)的角速度.

解析小球運(yùn)動(dòng)中受重力mg和沿細(xì)線斜向上的拉力T的作用.由于小球在水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，具有沿水平方向指向軌道網(wǎng)心的加速度，在豎直方向則處于靜止?fàn)顟B(tài).因此，在豎直方向?qū)π∏蜻\(yùn)用共點(diǎn)力平衡條件有：Tcosθ-mg =0，

在水平方向運(yùn)用牛頓第二定律有：

Tsin θ=mrω2，由幾何關(guān)系有：r= lsinθ.解得小球運(yùn)動(dòng)的角速度為：

【總結(jié)】向心力是效果力，是指質(zhì)點(diǎn)所受外力的合力或各力沿軌道半徑方向的分力的矢量和.