圓周運(yùn)動的向心力探“源”

李恒林

向心力是效果力，它可以是某一個力，也可以是幾個力的合力.在勻速圓周運(yùn)動中，它的方向總是指向軌跡的網(wǎng)心；在豎直平面上的非勻速圓周運(yùn)動中，當(dāng)質(zhì)點經(jīng)過軌道的最高點及最低點時，合力的方向也指向軌跡同心.確定圓周運(yùn)動的物體所需向心力的來源，是研究圓周運(yùn)動的關(guān)鍵.同學(xué)們在對做圓周運(yùn)動的物體進(jìn)行受力分析時，往往會多分析一個向心力，從而導(dǎo)致求解錯誤.其實向心力是按力的作用效果命名的力，在受力分析圖中不能畫出，它可以由某一個力來提供，也可以由幾個力的合力來提供，還可以由某個力的分力來提供.對于圓周運(yùn)動來說分析求解的關(guān)鍵是尋找質(zhì)點所受的向心力的來源.

一、向心力來源于某一個力

如圖1所示，用細(xì)繩系一個小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，如果小球恰好能通過最高點，則在最高點時小球做圓周運(yùn)動的向心力由重力提供.

如圖2所示，一個物體在圓柱體的內(nèi)壁，隨著圓柱體一起做勻速圓周運(yùn)動，物體與網(wǎng)柱體無相對滑動，則物體做圓周運(yùn)動的向心力由網(wǎng)柱體內(nèi)壁對物體的支持力（彈力）提供.

如圖3所示，將一個物體放在轉(zhuǎn)臺上，物體隨轉(zhuǎn)臺一起做勻速圓周運(yùn)動，物體與轉(zhuǎn)臺無相對滑動，則其向心力由轉(zhuǎn)臺對物體的靜摩擦力提供.

1.向心力來源于彈力的實例

連接在繩、桿或彈簧一端的物體，繞繩、桿或彈簧另一端在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動時，繩、桿或彈簧由于彈性形變而產(chǎn)生彈力，彈力提供物體圓周運(yùn)動的向心力；附著在繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動的圓通內(nèi)壁，隨同通內(nèi)壁勻速圓周運(yùn)動的物體，與圓通內(nèi)壁相互擠壓，圓通內(nèi)壁產(chǎn)生彈力，彈力提供物體做勻速圓周運(yùn)動的向心力.

例1 如圖4所示，在光滑水平桌面上有一光滑小孔0.一根輕繩穿過小孔，一端連接質(zhì)量為m=l kg的小球A，另一端連接質(zhì)量為M=4 kg的物體B.

（1）小球4沿半徑r=0.1 m的圓周做勻速圓周運(yùn)動，角速度為ω= 10 rad/s.物體B對地面的壓力為多大？

（2）當(dāng)小球A的角速度為多大時，物體B處于將要離開、而尚未離開地面的臨界狀態(tài)？ （g =10m/S2）

解析由于小孔0光滑，因此，輕繩對小球A及物體B的拉力大小相等，對小球A的拉力沿水平方向指向0，對物體B的拉力豎直向上.

（1）設(shè)輕繩的拉力為T，地面對物體B的支持力為N.對水平面上勻速網(wǎng)周運(yùn)動的小球A運(yùn)用牛頓第二定律有：T= mrω2；對靜止于地面的物體B運(yùn)用共點力平衡條件有：T+N- Mg=0.代人數(shù)據(jù)解得：N=30 N.由牛頓第三定律可知，物體B對地面的壓力大小是30 N，方向豎直向下.

（2）當(dāng)物體B處于將要離開、而尚未離開地面的臨界狀態(tài)時，地面對它的支持力等于零.因此，令N=0，解T- Mg =0和T=mrω2可得：ω= 20 rad/s.所以，當(dāng)小球4的角速度為ω= 20 rad/s時，物體B處于將要離開、而尚未離開地面的臨界狀態(tài).

2.向心力來源于靜摩擦力的實例

物體在水平面做圓周運(yùn)動，由于有沿半徑向外的運(yùn)動趨勢，它會受到水平面對它沿半徑向內(nèi)的靜摩擦力作用，靜摩擦力提供物體做網(wǎng)周運(yùn)動的向心力.如物體在水平圓盤上隨盤的轉(zhuǎn)動，汽車在水平地面上的轉(zhuǎn)彎等.

例2 質(zhì)量為4000 kg的汽車在水平地面行駛，地面對汽車的最大靜摩擦力為16000 N.將汽車轉(zhuǎn)彎時運(yùn)動視為勻速圓周運(yùn)動，則：

（1）若汽車保持20 m/s的速率轉(zhuǎn)彎，則最小轉(zhuǎn)彎半徑是多少？

（2）若汽車以9m的轉(zhuǎn)彎半徑轉(zhuǎn)彎，則最大轉(zhuǎn)彎速率是多少？

解析 汽車在水平地面轉(zhuǎn)彎，轉(zhuǎn)彎時汽車的運(yùn)動可視為勻速圓周運(yùn)動，所需向心力由地面對汽車的靜摩擦力提供.

（1）在轉(zhuǎn)彎速率一定時，轉(zhuǎn)彎半徑越小，所需向心力越大，而地面所能提供的最大向心力就是地面對汽車的最大靜摩擦力，對汽車的轉(zhuǎn)彎運(yùn)動運(yùn)用牛頓第二定律有：fm=m

，代人數(shù)據(jù)解得最小轉(zhuǎn)彎半徑為：r =10 m.

（2）在轉(zhuǎn)彎半徑一定時，汽車的速率越大，所需向心力越大，而地面所能提供的最大向心力就是地面對汽車的最大靜摩擦力.對汽車的轉(zhuǎn)彎運(yùn)動運(yùn)用牛頓第二定律有：fm=

，代人數(shù)據(jù)解得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率為：v =6 m/s.

二、向心力來源于幾個力的合力

物體做勻速網(wǎng)周運(yùn)動時，所受各力的方向均不在（或部分力的方向不在）圓周運(yùn)動軌道平面上時，各力的合力提供網(wǎng)周運(yùn)動的向心力.

如圖5所示，物體在繩子拉力的作用下在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，其向心力由繩子對物體的拉力和物體重力的合力提供向心力.

如圖6所示，物體在光滑的碗內(nèi)壁做勻速網(wǎng)周運(yùn)動，其向心力由碗壁對物體的支持力和物體的重力的合力提供.

如圖7所示，物體在繩子的作用下在粗糙的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，其向心力由繩子對物體的拉力和物體所受到的摩擦力的合力提供.

例3有一種叫“飛椅”的游樂項目，示意圖如圖8所示，長為/的鋼繩一端系著座椅，另一端固定在半徑為r的水平轉(zhuǎn)盤邊緣.轉(zhuǎn)盤可繞穿過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動.當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，鋼繩與轉(zhuǎn)軸在同一豎直平面內(nèi)，與豎直方向的夾角為θ.不計鋼繩的重力，求轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度ω與夾角θ的關(guān)系.

解析 當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，座椅以角速度ω在水平面上做勻速圓周運(yùn)動，此時座椅受沿鋼絲繩斜向上的拉力T和豎直向下的重力作用，如圖9所示.由幾何關(guān)系可知，座椅勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑為：R=r+/sin θ.對座椅的勻速網(wǎng)周運(yùn)動運(yùn)用牛頓第二定律有：F=mRω2.依據(jù)圖9，由平行四邊形定則有：F=mgtanθ.解此兩式得，轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度ω與夾角θ的關(guān)系為：

解析 欲使汽車安全過橋，汽車經(jīng)過橋的最高點時不能飛離橋面，也不能將橋壓壞，即汽車對橋面的最大壓力不能超過橋面所能承受的最大壓力N0，也不能等于零.設(shè)汽車以速度v經(jīng)過橋面上某位置，如圖10所示，對汽車經(jīng)過該位置的運(yùn)動在徑向運(yùn)用牛頓第二定律有：mgsinθ-N=

由此式可知，在汽車質(zhì)量m、橋面半徑R、行駛速度v一定時，θ= 90。時，即汽車經(jīng)過橋面最高點時，對橋面的壓力最大.所以，只要汽車經(jīng)過最高點時不將橋面壓壞，則經(jīng)過其它位置時不會將橋面壓壞.

三、向心力來源于某個力的分力

例5如圖11所示，升降機(jī)內(nèi)懸掛一圓錐擺，擺線長為1 m，小球質(zhì)量為0.5 kg，當(dāng)升降機(jī)以2 m/s2加速度勻加速上升時，擺線恰與豎直方向成θ=37。角，試求小球的轉(zhuǎn)速和擺線的控力.

解析 對小球而言，受到兩個力的作用——重力G和沿繩子方向上的拉力T，在沿半徑的方向上只有拉力的分力，因此，小球做圓周運(yùn)動的向心力由拉力在水平方向上的分力提供.

向心力是效果力，若物體做勻速網(wǎng)周運(yùn)動，其向心力必然是物體所受的合外力，它始終沿著半徑方向指向同心，并且大小恒定.若物體做變速圓周運(yùn)動，其向心力則為物體所受的合外力在半徑方向上的分力，而合外力在切線方向的分力則用于改變線速度的大小.因此尋找物體向心力的來源，只要確定物體做圓周運(yùn)動的軌道平面、圓心以及半徑，然后對物體進(jìn)行正確的受力分析，并將物體所受到的力沿半徑方向和垂直于半徑方向進(jìn)行正交分解，那么物體做圓周運(yùn)動的向心力即由沿半徑指向同心的合力提供.