兩種幾何問題的間接證法

馬小琴

從命題的題設(shè)出發(fā)，根據(jù)公理、定義和已知定理，直接論證結(jié)論的真實(shí)性的證明方法叫做直接證法.證明與原命題等效的某命題為真或證明與原命題矛盾的命題為假，進(jìn)而判定原命題成立的證明方法叫做間接證法.如果幾何命題中有些不易，甚至不能從原命題去直接證明的，這時(shí)就要轉(zhuǎn)變思維視角，采用迂回手段去間接證明.間接證法是提高同學(xué)們的邏輯思維能力的重要途徑，下面舉例說明幾何問題中兩種常見的間接證法：反證法與同一法.

一、反證法

反證法是指為了證明某一命題或結(jié)論的正確性，不直接從正面予以求證，而是反其道而行，通過證明它的反面是錯(cuò)誤的，由此得出原命題或結(jié)論正確.反證法的基本步驟是：一是做出假設(shè)，即做出與原命題或結(jié)論相反的假設(shè);二是分析求證，即通過推理、分析，求證所做的假設(shè)與題設(shè)已知條件、數(shù)學(xué)定理、法則、定義等相矛盾;三是獲得結(jié)論，即結(jié)合所推出的矛盾，得出所提的假設(shè)不成立，從而肯定原命題或結(jié)論成立.

例1

分析：此題直接由題設(shè)條件求證無從入手，不妨逆向思維，考慮結(jié)論的反面情況，即點(diǎn)0不在ΔMNP的外部，利用反證法即可證明.

證明：假設(shè)點(diǎn)0不在ΔMNP的外部，那么就可能出現(xiàn)如下幾種情形：

（1）如圖1所示，若點(diǎn)0與點(diǎn)P重合，顯然OM+ON=PM+PN，這與已知條件矛盾，所以點(diǎn)0與點(diǎn)P不可能重合.

（2）如圖2所示，若點(diǎn)0在邊MN上（不包括端點(diǎn)），由OM+ON=MN

（3）如圖3所示，若點(diǎn)0在邊AC或AB上（不包括端點(diǎn)），則有OM

（4）如圖4所示，若點(diǎn)0在ΔMN的內(nèi) 部，延長MO交PN與點(diǎn)E，則有PM+PE> MO+OE③，OE+EN>ON④，由 ③+④，可知 PM+PE+OE+EN>MO+OE+ON，即PM+ PN>MO+ON，這與已知條件矛盾，所以點(diǎn)0不在ΔMNP的內(nèi)部.綜上所述，點(diǎn)0必在ΔMNP的外部.

評注：反證法的實(shí)質(zhì)是通過證明命題的逆否命題來間接證明原命題，是一種逆向思維的方法.當(dāng)從正面證明某問題較為棘手時(shí)，若能從反面考慮，巧用反證法，往往可以出奇制勝.

二、同一法

同一法是指當(dāng)一個(gè)命題的題設(shè)條件和結(jié)論都是唯一存在的，要證明命題結(jié)論成立，不直接按照常規(guī)思路對該結(jié)論進(jìn)行證明，而是另辟蹊徑，先畫出符合命題結(jié)論的圖形，然后證明所作的這個(gè)圖形與原命題所要證明的圖形是同一的（即重合），進(jìn)而使原命題結(jié)論得證.運(yùn)用同一法證題的步驟是：一是判斷命題是否符合同一法則，即題設(shè)條件和結(jié)論是否具有唯一特性;二是作出與命題結(jié)論相吻合的圖形;三是證明所作的圖形符合題設(shè)已知條件，得出所作圖形與題設(shè)圖形具有同一性，判定原命題為真.

例2

分析：因?yàn)橐粭l線段的中點(diǎn)是唯一的，過一點(diǎn)作一條直線的平行線也是唯一的，所以本題符合同一法則，在證明時(shí)則可以借助同一法即可快速得證.

證明：

例3

分析：本題中由于一個(gè)角的平分線也是唯一的，一條線段的中點(diǎn)也是唯一的，因此符合同一法則，可以利用同一法予以證明.

證明：

評注：同一法實(shí)質(zhì)上是通過證明命題的逆命題來間接證明原命題.需要注意的是，同一法只有在命題符合同一法則的條件下才能使用，否則會產(chǎn)生錯(cuò)解.