借數(shù)學(xué)文化之力　悟位值記數(shù)之妙

屈婷　沈丹萍

十進(jìn)位值制記數(shù)法是理解數(shù)概念及其運(yùn)算算理、算法的依據(jù)。如何引導(dǎo)學(xué)生體會“位值制”和“十進(jìn)制”的簡潔性與價(jià)值性，下面，筆者談?wù)勛约旱淖龇ā?/p>

一、借“埃及象形數(shù)字”之力，感悟“值”的思想

學(xué)習(xí)《百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識》時(shí)，筆者借助古埃及象形數(shù)字，引導(dǎo)學(xué)生解讀其記數(shù)規(guī)則：1～9的表示采用了一一對應(yīng)的方式，符號的個(gè)數(shù)與要記錄的數(shù)的大小是等值的;對于10、100、1000等較高單位的數(shù)，則需要?jiǎng)?chuàng)造一些新符號，通過對單個(gè)或多個(gè)符號的累加來記數(shù)。

師：如下圖，古埃及象形數(shù)字有什么特點(diǎn)？

生1：數(shù)字1～9都是畫豎線表示，要表示幾，就畫幾條豎線，表示10的時(shí)候畫了另外一個(gè)符號。

師：古埃及人為什么沒有畫10條豎線來表示10？

生2：一直這樣畫下去太麻煩了。

師：借助這些符號，古埃及人可能怎樣表示12？

師（展示學(xué)生作品：這兩種表示方法有什么不同？

生3：第①種是把1和2組合在一起，第②種是用10加2得到12的。

師：古埃及人采用了第②種方法來表示12。根據(jù)這樣的規(guī)則，你認(rèn)為能用“”符號表示12嗎？

生4：不行，這樣就表示20了。

生5：20應(yīng)該是10加10，不是2加10。

生6：埃及數(shù)字是加的，不管哪個(gè)符號在前面，都是把它們合起來，2加10還是12。

師：按照這樣的規(guī)則，21可以怎樣用古埃及象形數(shù)字表示？

師（展示學(xué)生作品：：你認(rèn)為這三種方法都對嗎？

生7：第①種不對，古埃及的2就是2，不能表示20。

生8：古埃及的規(guī)則是加，按照前面的規(guī)則，第①種方法表示的數(shù)應(yīng)該是3。

生9：第②種和第③種都對，都是把20與1加起來，都能表示21。

師：三千多年前，符號“”的出現(xiàn)是一個(gè)偉大的發(fā)明。想一想，有了這個(gè)符號，當(dāng)時(shí)的古埃及可以表示的最大數(shù)是多少？怎樣表示？

生10：最大只能表示99，把表示“10”的符號畫9次，再加個(gè)“9”。

師：如果沒有這個(gè)符號，99要怎樣記錄？

生11：要畫99條豎線，太麻煩了。

師：如果要表示更大的數(shù)，可以怎么辦？

生12：可以發(fā)明“百”“千”這些更大單位的符號。

在比較中，學(xué)生逐漸體會到古埃及象形數(shù)字中符號“10”的產(chǎn)生蘊(yùn)含著“化大為小”的思想，從而感悟到古人的智慧。

二、借“中國古代算籌”之力，凸顯“位”的價(jià)值

中國古代算籌既有“滿十進(jìn)一”的思想，也有數(shù)位的概念。教學(xué)《10000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識》時(shí)，筆者出示我國古代算籌中“1～9”的符號并告訴學(xué)生：我國古人用算籌來記數(shù)，大家觀察一下，看看用算籌表示數(shù)有什么特點(diǎn)？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：1～5都用畫橫線或豎線的方式表示，縱式的6～9中用“一橫”來表示5，橫式的6～9中用“一豎”來表示5，如下圖所示。

接著，筆者利用課件呈現(xiàn)“12”的擺法，引導(dǎo)學(xué)生觀察：算籌擺出的12與阿拉伯?dāng)?shù)字表示的12有什么相同的地方？學(xué)生提出：12是由1和2兩個(gè)符號組合而成，1放在左邊，表示十位，2放在右邊，表示個(gè)位，即“─││”。

隨后，筆者向?qū)W生介紹了算籌表示多位數(shù)的一般方法：個(gè)位用縱，十位用橫，百位用縱，千位用橫，遇零則空，并提問：根據(jù)這個(gè)規(guī)則，你認(rèn)為21可以怎樣用算籌表示？有學(xué)生回答：把1和2交換一下位置就可以了。還有學(xué)生提出：要將1變成“縱式”，2變成“橫式”。筆者追問：交換位置后，數(shù)的大小發(fā)生變化了嗎？2表示的意義還一樣嗎？學(xué)生回答：交換位置后，數(shù)變大了，2擺在個(gè)位時(shí)，表示2個(gè)一，交換后，2在十位上，表示2個(gè)十。筆者追問：你能用算籌擺一個(gè)更大的數(shù)嗎？學(xué)生通過操作擺出999、9999等較大的數(shù)，并發(fā)現(xiàn)：用算籌可以擺出無限大的數(shù)，9所在的數(shù)位越高，表示的數(shù)就越大。

最后，筆者引導(dǎo)：與古埃及象形數(shù)字相比，算籌少了表示“10”的符號，為什么表示的數(shù)反而多了？學(xué)生討論后得出：古埃及象形數(shù)字中數(shù)的大小與符號擺放的位置沒有關(guān)系，9只能表示9，要表示更大的數(shù)，更要不斷發(fā)明新的符號來表示更大的單位，而算籌只要把一個(gè)數(shù)擺在不同的位置，就能表示更大的數(shù)。

三、借“其他進(jìn)制”之力，挖掘“十進(jìn)”的內(nèi)涵

進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)方法。除了“十進(jìn)”關(guān)系，相鄰單位之間還可以是其他倍數(shù)關(guān)系，如計(jì)算機(jī)常用的“二進(jìn)制”、古人計(jì)算質(zhì)量時(shí)“半斤八兩”的“16進(jìn)制”，以及現(xiàn)今仍廣泛使用的時(shí)、分、秒之間的“60進(jìn)制”。教師在教學(xué)中引入其他進(jìn)制，可以讓學(xué)生在對比中對“十進(jìn)制”的記數(shù)規(guī)則與原理有更深的體會和理解。

教學(xué)《十進(jìn)制計(jì)數(shù)法》時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：用計(jì)數(shù)器數(shù)數(shù)時(shí)，我們常說“滿十進(jìn)一”，為什么要“滿十進(jìn)一”？可以“滿九進(jìn)一”嗎？大部分學(xué)生都認(rèn)為“滿十進(jìn)一”是規(guī)定，不能“滿九進(jìn)一”。接著，筆者提問：如果規(guī)定“滿九進(jìn)一”，你認(rèn)為這些蘋果（利用課件呈現(xiàn)9個(gè)蘋果的實(shí)物圖）可以怎樣表示？在計(jì)數(shù)器上數(shù)一數(shù)，畫一畫。學(xué)生思考、操作后，有以下三種方法。

筆者引導(dǎo)學(xué)生討論：這三種畫法有什么不同？哪些方法你認(rèn)為不對？學(xué)生都認(rèn)為方法③是正確的;方法②的個(gè)位上已經(jīng)有8顆珠子了，再加1顆就夠了，但這一顆不能撥在十位上;對于方法①，學(xué)生意見不一致。有的學(xué)生認(rèn)為方法①不對，因?yàn)樵谑M(jìn)制的計(jì)數(shù)器上，10只能在十位上撥1顆珠子，個(gè)位上是沒有珠子的;也有的學(xué)生認(rèn)為方法①是對的，因?yàn)槭M(jìn)制中十位上的“1”是由個(gè)位上的“10”進(jìn)位得到的，方法①表示的是“滿九”后還沒有進(jìn)位的狀態(tài)。筆者順勢引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)數(shù)器上撥一撥，數(shù)一數(shù)，體會從1數(shù)到9，右邊數(shù)位“滿九”向左邊數(shù)位“進(jìn)一”的過程，并提問：在九進(jìn)制中，這個(gè)數(shù)怎樣書寫？還能讀作“十”嗎？左邊的這顆珠子所在的數(shù)位還是十位嗎？學(xué)生討論之后，認(rèn)為這個(gè)數(shù)雖然寫作“10”，但應(yīng)該讀作“九”，左邊珠子所在的數(shù)位就叫“九位”。筆者繼續(xù)提問：現(xiàn)在增加到18個(gè)蘋果，你能在“九進(jìn)制”的計(jì)數(shù)器上數(shù)一數(shù)、畫一畫嗎？這個(gè)數(shù)又該怎么讀、怎么寫？操作、思考后，學(xué)生達(dá)成共識：個(gè)位滿“九”，向“九位”進(jìn)一，18里有2個(gè)九，需要向“九位”進(jìn)兩次，這樣“九位”就要畫兩顆;寫數(shù)時(shí)，在“九位”寫2，“個(gè)位”寫0。讀數(shù)的過程中，學(xué)生又有不同的看法，有的學(xué)生贊同讀“二零”，有的學(xué)生認(rèn)為在“十進(jìn)制”中讀數(shù)要先讀“數(shù)量”再加上“計(jì)數(shù)單位”，十進(jìn)制的“20”讀作“二十”，九進(jìn)制的“20”要讀作“二九”。

經(jīng)歷了以上活動(dòng)，學(xué)生體會到：同一數(shù)量，即使都采用阿拉伯?dāng)?shù)字符號來記錄，但在不同進(jìn)制中表示的方式也可能不同。十進(jìn)位值制與其他進(jìn)制的記數(shù)原理和規(guī)則是相通的，都是在“低位”累積到一定數(shù)量的數(shù)之后，用“高位”上的“1”來替代?！皾M幾進(jìn)一”的進(jìn)位過程創(chuàng)造了“位”，也使這一位上的數(shù)有了“值”。

責(zé)任編輯? 張敏