用十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法貫通“數(shù)與運(yùn)算”教學(xué)

萬(wàn)泉

十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)原理是學(xué)生建立數(shù)概念的基礎(chǔ)和核心，也是學(xué)生理解算理、算法的依據(jù)。在小學(xué)階段，促進(jìn)學(xué)生感受十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法的價(jià)值，理解并運(yùn)用十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)系統(tǒng)學(xué)習(xí)“數(shù)與運(yùn)算”，可以從以下幾個(gè)方面著手。

一、構(gòu)建計(jì)數(shù)單位模型，理解十進(jìn)制

1.讓計(jì)數(shù)單位有“形”

“十進(jìn)制”和“位值制”是構(gòu)成十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)系統(tǒng)的重要概念。數(shù)數(shù)和計(jì)數(shù)是人類生活和生產(chǎn)的需要，古人在探尋計(jì)數(shù)方法的過(guò)程中逐步形成了“滿十進(jìn)一”的約定，并由此從“一”開(kāi)始，不斷創(chuàng)造了一系列計(jì)數(shù)單位。若干個(gè)“一”“十”“百”“千”“萬(wàn)”等構(gòu)成了數(shù)，也就是說(shuō)，數(shù)的構(gòu)成運(yùn)用了十進(jìn)制原則。學(xué)生對(duì)多位數(shù)的感受，應(yīng)達(dá)到能在腦海中直觀地反映出相應(yīng)的計(jì)數(shù)單位模型及其個(gè)數(shù)的水平。在數(shù)概念的教學(xué)中，教師應(yīng)充分重視計(jì)數(shù)單位模型的建立。

小棒、方塊、點(diǎn)子圖都是重要的認(rèn)數(shù)工具，也是直觀的計(jì)數(shù)單位模型。人教版數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)《100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》用一根小棒、一小捆小棒、一大捆小棒，分別表示計(jì)數(shù)單位“一”“十”“百”;二年級(jí)下冊(cè)《1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》用由小方塊構(gòu)成的“一條”“一片”“一大個(gè)”正方體，分別表示“十”“百”“千”。隨著要認(rèn)識(shí)的數(shù)逐漸增大，教材要求學(xué)生理解數(shù)的意義的方式也越來(lái)越抽象。建立上述計(jì)數(shù)單位模型的表象，有助于學(xué)生建立起抽象的數(shù)與現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量之間的關(guān)聯(lián)，感悟多位數(shù)的構(gòu)成和大小。

教學(xué)時(shí)，教師通常會(huì)出示一堆散落的小棒或小方塊，讓學(xué)生用從小到大的計(jì)數(shù)單位完成數(shù)數(shù)過(guò)程，并追問(wèn)“十”（或“百”）在哪里。以方塊材料為例，學(xué)生可能這樣表述：10個(gè)小正方體合在一起的“一條”就是“十”;10個(gè)“一條”合在一起的“一片”就是“百”。教師應(yīng)及時(shí)用多媒體呈現(xiàn)10個(gè)計(jì)數(shù)單位模型合在一起的動(dòng)態(tài)過(guò)程（如下圖）。

當(dāng)有更多方塊出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生會(huì)自然地想到用“百”這個(gè)大一些的計(jì)數(shù)單位去數(shù)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)：10個(gè)“百”是一千，“千”是一個(gè)更大的計(jì)數(shù)單位。

用直觀的方式將認(rèn)數(shù)工具結(jié)構(gòu)化，能幫助學(xué)生構(gòu)建起計(jì)數(shù)單位模型的表象，感悟計(jì)數(shù)單位的大小及其十進(jìn)關(guān)系。

2.用計(jì)數(shù)單位模型數(shù)數(shù)

借助計(jì)數(shù)單位模型數(shù)數(shù)，是對(duì)十進(jìn)制的鞏固和運(yùn)用。教材設(shè)計(jì)了數(shù)圓點(diǎn)數(shù)量的例題（如下圖）。這樣的數(shù)數(shù)問(wèn)題需要學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用十進(jìn)制將點(diǎn)子圖結(jié)構(gòu)化，即將一列（10個(gè)）圓點(diǎn)看成一個(gè)“十”，將10列圓點(diǎn)看成一個(gè)“百”，從而自主構(gòu)建計(jì)數(shù)單位的圓點(diǎn)模型，并利用該模型進(jìn)行數(shù)數(shù)、計(jì)數(shù)。

學(xué)生數(shù)出圓點(diǎn)的數(shù)量（235個(gè)）后，教師有必要讓學(xué)生用小棒或方塊模型表示“235”，讓學(xué)生在多種認(rèn)數(shù)工具的轉(zhuǎn)換中融通同一計(jì)數(shù)單位的不同表征模型，使他們更清晰、直觀地認(rèn)識(shí)到數(shù)是由若干個(gè)計(jì)數(shù)單位構(gòu)成的。構(gòu)建和運(yùn)用計(jì)數(shù)單位模型，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)數(shù)、計(jì)數(shù)能力的形成，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

二、借助結(jié)構(gòu)化計(jì)數(shù)器，理解位值制

1.用計(jì)數(shù)器數(shù)數(shù)

計(jì)數(shù)器是比小棒和小方塊更抽象的數(shù)數(shù)工具。一根、一小捆、一大捆的小棒或一個(gè)、“一條”、“一片”、“一大個(gè)”正方體的外觀不同，比較容易與不同的計(jì)數(shù)單位對(duì)應(yīng)起來(lái)，而計(jì)數(shù)器上所有珠子的外觀都相同，學(xué)生需要依靠珠子所在的位置去辨識(shí)不同的計(jì)數(shù)單位。同樣一顆珠子，放在不同的數(shù)位上，就能實(shí)現(xiàn)以一當(dāng)十、以一當(dāng)百的效果。這體現(xiàn)了對(duì)小棒和小方塊等計(jì)數(shù)工具的簡(jiǎn)化。例如，學(xué)生在個(gè)位上撥9顆珠子表示9個(gè)一，再撥1顆就有10顆珠子，10個(gè)一是1個(gè)十，個(gè)位上這10顆珠子就可以換成十位上的1顆珠子。以此類推，學(xué)生借助計(jì)數(shù)器就可以認(rèn)識(shí)更大的計(jì)數(shù)單位。學(xué)生在計(jì)數(shù)器上熟練地?fù)苤閿?shù)數(shù)，能深化對(duì)十進(jìn)制計(jì)數(shù)規(guī)則（滿十進(jìn)一）的理解，強(qiáng)化對(duì)計(jì)數(shù)單位位置和順序的感受。

2.用計(jì)數(shù)器記數(shù)，學(xué)習(xí)數(shù)的讀寫(xiě)

數(shù)的記錄運(yùn)用了位值制原則，即先把各級(jí)計(jì)數(shù)單位進(jìn)行有序排列，再把相應(yīng)的計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)用0～9這10個(gè)符號(hào)表示出來(lái)。這樣就完成了一個(gè)多位數(shù)的抽象和記錄過(guò)程。數(shù)的認(rèn)識(shí)需要經(jīng)歷符號(hào)抽象的表示過(guò)程。

以“235”為例，運(yùn)用計(jì)數(shù)單位模型表示數(shù)的組成，學(xué)生能直觀地看到這個(gè)多位數(shù)由2個(gè)百、3個(gè)十、5個(gè)一組成;但在計(jì)數(shù)器上表示“235”，學(xué)生看到的是半符號(hào)化的2、3、5。從直觀模型到相對(duì)抽象的計(jì)數(shù)器，再到符號(hào)“235”，這個(gè)從計(jì)數(shù)到記數(shù)的過(guò)程就是學(xué)生體會(huì)位值制的過(guò)程。

用計(jì)數(shù)器記錄多位數(shù)時(shí)，要注意動(dòng)作表征與語(yǔ)言表征的緊密結(jié)合。例如，在計(jì)數(shù)器上撥“235”時(shí)，學(xué)生應(yīng)該這樣表述：在百位上撥兩顆珠子表示2個(gè)百，在十位上撥3顆珠子表示3個(gè)十，在個(gè)位上撥5顆珠子表示5個(gè)一，合起來(lái)就表示“二百三十五”。邊操作邊表述，不僅能幫助學(xué)生鞏固數(shù)的組成，而且能引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)的讀寫(xiě)與數(shù)的組成的一致性，自然而然地學(xué)會(huì)讀數(shù)、寫(xiě)數(shù)。

3.用算盤記數(shù)，學(xué)習(xí)數(shù)的讀寫(xiě)

算盤是我國(guó)古代的偉大發(fā)明之一。算盤上1顆算珠的含義比計(jì)數(shù)器上1顆珠子的含義更豐富。算珠在下檔表示“1”，在上檔則是“以1當(dāng)5”。如果不確定個(gè)位，就無(wú)法確定算珠表示的數(shù)的大小;確定個(gè)位后，1顆算珠不僅能表示1個(gè)一、1個(gè)百等，還能表示1個(gè)十分之一、1個(gè)百分之一等。與計(jì)數(shù)器相比，算盤上的兩顆算珠能撥出更多的數(shù)。教師指導(dǎo)學(xué)生使用算盤記數(shù)、輔助數(shù)的讀寫(xiě)，既有利于數(shù)學(xué)文化的滲透，又能為學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)位、體會(huì)位值制提供好的工具和途徑。

三、遷移認(rèn)數(shù)經(jīng)驗(yàn)，理解運(yùn)算的理與法

2022年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容設(shè)計(jì)為“數(shù)與運(yùn)算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個(gè)主題。其中，“數(shù)與運(yùn)算”包括“數(shù)的認(rèn)識(shí)”和“數(shù)的運(yùn)算”兩個(gè)部分。這樣設(shè)計(jì)旨在使學(xué)生整體理解數(shù)與數(shù)的運(yùn)算。如何幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，建立能支撐后續(xù)學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系呢？

第一，用計(jì)數(shù)單位貫通數(shù)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)算。運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是計(jì)數(shù)單位的累加、遞減及分解與組合。數(shù)的認(rèn)識(shí)和數(shù)的運(yùn)算有密切聯(lián)系，教師應(yīng)基于計(jì)數(shù)和運(yùn)算的一致性、連貫性，抓住“計(jì)數(shù)單位”這個(gè)核心概念，充分利用學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)教學(xué)四則運(yùn)算。無(wú)論是整數(shù)運(yùn)算還是小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算的教學(xué)，教師都要引導(dǎo)學(xué)生借助認(rèn)數(shù)工具、通過(guò)具體操作感受計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的變化，進(jìn)而理解算理、歸納算法。

第二，用計(jì)數(shù)單位貫通整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算。一方面，整數(shù)計(jì)數(shù)單位和小數(shù)計(jì)數(shù)單位都是十進(jìn)制關(guān)系，在十進(jìn)制數(shù)位順序表中是連續(xù)遞增（遞減）排列的，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)習(xí)整數(shù)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)遷移到學(xué)習(xí)小數(shù)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)算中;另一方面，教師可以把分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算中的通分上升到統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位的高度，可以借助數(shù)形結(jié)合等思想方法幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘除法本質(zhì)上同樣是基于分?jǐn)?shù)單位的運(yùn)算，還可以將小數(shù)化為十進(jìn)分?jǐn)?shù)后教學(xué)小數(shù)乘除法。

責(zé)任編輯? 劉佳