經(jīng)驗(yàn)需要親身積累

胡琦

[摘 要]開展數(shù)學(xué)活動(dòng)可以提高學(xué)生的認(rèn)知力，有助于學(xué)生驗(yàn)證探究的結(jié)論正確與否。如果教師不講究科學(xué)方法，不懂得合理設(shè)計(jì)與實(shí)施數(shù)學(xué)活動(dòng)，就會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)活動(dòng)華而不實(shí)、流于形式。只有科學(xué)設(shè)計(jì)、精準(zhǔn)實(shí)施數(shù)學(xué)活動(dòng)，才能有效引導(dǎo)學(xué)生不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);因數(shù);倍數(shù);數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2022）18-0008-03

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，不斷積累起來的對(duì)知識(shí)結(jié)論的感性認(rèn)知，以及在實(shí)踐中體驗(yàn)到的學(xué)習(xí)樂趣，還有在吸收知識(shí)后產(chǎn)生的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)同和應(yīng)用意識(shí)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)于學(xué)生探究數(shù)學(xué)規(guī)律，領(lǐng)悟和歸納數(shù)學(xué)思想方法，形成科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方式有重要的作用與意義。基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)道路上必須具備的素養(yǎng)，也是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)必需的學(xué)科素質(zhì)，能為學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何有效引導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這是一個(gè)難題，成為不少教師孜孜以求的目標(biāo)。

下面，筆者結(jié)合蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊《因數(shù)與倍數(shù)》的教學(xué)，談?wù)勛约旱囊恍┛捶?，以期與同行共同探討。

一、制造認(rèn)知沖突，激活已有經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具有隱蔽性，沒有具體的章程和條文，但是它又確實(shí)存在，而且會(huì)潛移默化地影響個(gè)人的行為方式。根據(jù)自身已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，然后遷移運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，利用數(shù)學(xué)模型來分析實(shí)際問題，能對(duì)解決實(shí)際問題起到促進(jìn)作用。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)立足學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，通過問題激活學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生沿著規(guī)劃的路線不斷深入探究，并基于自己的認(rèn)知能力和思維方式開展有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

例如，教學(xué)《因數(shù)與倍數(shù)》一課時(shí)，課始，教師通過技能競賽活動(dòng)，引發(fā)認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，引導(dǎo)學(xué)生在操作探究中感知倍數(shù)、因數(shù)的概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好經(jīng)驗(yàn)和心理上的準(zhǔn)備。

1.拼圖競賽

師：我們現(xiàn)在舉行拼圖競賽，將小方塊拼擺成大長方形。游戲規(guī)則如下：一是不許有剩余的小方塊;二是用數(shù)學(xué)算式簡略地表示出拼圖方案;三是通過平移或旋轉(zhuǎn)，圖形變換后能夠重合的屬于一種拼法，不重復(fù)計(jì)算;四是哪個(gè)小組拼擺出大長方形的數(shù)量多，哪個(gè)小組就勝出。（教師提供12個(gè)和14個(gè)兩種數(shù)量的小方塊給學(xué)生選擇。學(xué)生產(chǎn)生兩種意見：一種覺得選擇數(shù)量多的小方塊有利，一種覺得選擇數(shù)量少的小方塊比較好）

師：請(qǐng)各個(gè)小組按照自己小組商議的結(jié)果上臺(tái)領(lǐng)取小方塊，然后在小組內(nèi)合作探究，嘗試拼圖并寫出算式。（學(xué)生分組開始動(dòng)手操作）

2.展示交流

組1：我們小組選擇的是12個(gè)小方塊，一共拼擺出3種不同的大長方形，用算式表示是1×12、3×4、2×6。

組2：我們小組選擇的是14個(gè)小方塊，一共拼擺出2個(gè)不同的大長方形，用算式表示是1×14、2×7。

師：比一比，哪個(gè)小組拼擺出的大長方形多？（選12個(gè)小方塊的小組取勝）這個(gè)結(jié)果對(duì)你有什么啟發(fā)？

生1：小方塊數(shù)量多，拼擺出的大長方形不一定多;反之，小方塊數(shù)量少，卻能拼擺出較多的大長方形。

師：這究竟是什么緣故？

生2：對(duì)12和14分解質(zhì)因數(shù)后發(fā)現(xiàn)，12的因數(shù)較多，有6個(gè)，而14的因數(shù)則相對(duì)較少，只有4個(gè)，這應(yīng)該是拼法少的根本原因。

生3：因數(shù)少，所以能夠拼擺出的大長方形就少。

師：12的因數(shù)都有哪些？請(qǐng)列舉出一個(gè)來。

生4：3，3就是12的其中一個(gè)因數(shù)。

師：正確。3是12的因數(shù)，因?yàn)?2是3的整倍數(shù)，這種關(guān)系是相對(duì)的。因此，也可以反過來說，12是3的倍數(shù)，因數(shù)和倍數(shù)之間是相互依存的。

師：這就是今天我們要研究的因數(shù)、倍數(shù)的知識(shí)。（板書課題：倍數(shù)? 因數(shù)）

……

二、暴露問題，讓經(jīng)驗(yàn)得以再生

積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要以具體活動(dòng)為載體，否則就會(huì)成為無源之水、無本之木。由于學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備、思維方式等方面存在個(gè)體差異，所以即使經(jīng)歷相同的學(xué)習(xí)活動(dòng)，不同個(gè)體獲得的經(jīng)驗(yàn)也是不同的，但是基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不會(huì)變。

數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)釋放足夠的探究空間，讓學(xué)生各抒己見、暢所欲言，盡情地表達(dá)自己的所思所想、所感所悟。尤其要充分暴露學(xué)生在探究過程中的認(rèn)知態(tài)度、情感傾向及思維習(xí)慣等方面的問題，然后教師據(jù)此指引學(xué)生修正不成熟的經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生積累完整、全面、深刻的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

1.認(rèn)識(shí)倍數(shù)、因數(shù)

師：根據(jù)自創(chuàng)的算式，指出算式中的因數(shù)和倍數(shù)。（學(xué)生自由說）非常不錯(cuò)，那12的因數(shù)有哪些？

生1：1，2，3，4，6，12。

師：交流一下，你們尋找因數(shù)的秘訣。

生2：可以根據(jù)乘法口訣，如（?）×（ ）=12等，一對(duì)一對(duì)地尋找。

生3：還可以反其道而行之，利用除法算式來探尋因數(shù)，即12÷（ ）=（ ? ）等。

師：12÷5=2.4，這個(gè)除法算式是正確的，那能不能據(jù)此斷言12是5和2.4的倍數(shù)？如果不行，請(qǐng)說出理由。

生4：利用小方塊拼擺長方形時(shí)，每一行可以擺出5個(gè)，但照此擺出2.4列卻行不通，因?yàn)椴荒軐⑿》綁K切開。

師：這就意味著，找倍數(shù)、因數(shù)是有前提的。所謂的因數(shù)、倍數(shù)，一律默認(rèn)為非0自然數(shù)。

師：那14的因數(shù)有哪些？

生5：1，2，7，14。

師：現(xiàn)在讓你們重新選擇，還是拼擺長方形數(shù)量多的小組取勝。為了確保獲勝，你打算怎么選擇小方塊的數(shù)量？

生6：誰的因數(shù)多，就選誰。

2.找一個(gè)數(shù)的因數(shù)

出示問題：請(qǐng)你找出36的所有因數(shù)。

（1）學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)

生7：36的因數(shù)有1、6、3、12、36，算式是1×36=36、6×6=36、3×12=36、12×3=36。

生8：我尋找到36的因數(shù)有1、36、6、6、4、9，用以下的除法算式尋找的：36÷1=36、36÷6=6、36÷4=9、36÷9=4。

師：分析比較以上兩位同學(xué)查找因數(shù)的方法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生9：這兩位同學(xué)的查找方法都有遺漏，而且有重復(fù)。

生10：算式3×12=36、12×3=36，其實(shí)代表同一對(duì)因數(shù)，36÷4=9和36÷9=4也是如此，它們可否合二為一？

生11：兩個(gè)因數(shù)6可否合二為一？

師：問題的焦點(diǎn)集中在不重復(fù)、不遺漏上，那如何才能做到不重復(fù)、不遺漏呢？怎樣才能盡可能地縮減尋找過程，最好不寫算式呢？

（2）交流展示

①先獨(dú)自思考，然后小組內(nèi)討論

②全班展示交流

生12：查找36的所有因數(shù)時(shí)，依次去除各個(gè)能被整除的整數(shù)。

生13：從1開始不斷嘗試，每個(gè)算式可以同時(shí)找出兩個(gè)因數(shù)，一舉兩得。

生14：除到36的一半時(shí)，就可以終止嘗試。

師：你的言下之意，就是要有序查找。只有有序思考和查找，才能做到不重復(fù)、不遺漏。請(qǐng)同學(xué)們據(jù)此結(jié)論，把12、14、36的因數(shù)找全。

③學(xué)生先獨(dú)立嘗試，然后全班展示匯報(bào)

④總結(jié)特點(diǎn)

師：觀察12、14、36、24、23的因數(shù)，發(fā)現(xiàn)什么特別的沒有？

生15：都有1這個(gè)因數(shù)，每個(gè)數(shù)都有它本身這個(gè)最大因數(shù)。

師生（小結(jié)）：任何一個(gè)數(shù)，至少有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，前者最小，后者最大。

3.查找倍數(shù)

（1）請(qǐng)嘗試找出6、8、5的倍數(shù)

（學(xué)生先嘗試尋找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，然后全班展示匯報(bào)）

師：你是如何查找的？觀察你查找的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)什么特點(diǎn)沒有？

生16：依次乘以1、2、3……各個(gè)自然數(shù)，這樣查找倍數(shù)就不會(huì)有遺漏了。

生17：我發(fā)現(xiàn)，任何數(shù)都有自身這個(gè)最小的倍數(shù)，最大的倍數(shù)不存在，可以無限大。

生18：一個(gè)數(shù)存在無數(shù)個(gè)倍數(shù)，倍數(shù)可以無限大。

（2）試一試（練習(xí)反饋略）

……

三、訓(xùn)練反思，凝練整體性經(jīng)驗(yàn)

“聚沙成塔，集腋成裘”，這是古人在勸學(xué)方面的經(jīng)典話語，也揭示了要注重發(fā)展學(xué)生的整體性學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。因此，數(shù)學(xué)課堂中，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生回顧、反思學(xué)習(xí)過程，實(shí)現(xiàn)去粗存精的目標(biāo)，讓有效的經(jīng)驗(yàn)、可靠的方法、正確的數(shù)學(xué)思想方法得到較好地保留下來，并與學(xué)生自身已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行融合，從而讓經(jīng)驗(yàn)不斷得到拓展、積累，逐漸形成整體性的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，成為學(xué)生終身學(xué)習(xí)的財(cái)富。

師：屏幕上的光頭強(qiáng)也在做著倍數(shù)和因數(shù)的練習(xí)，有沒有興趣同他比一比、賽一賽？（學(xué)生較為興奮，積極地投入到練習(xí)之中）

生1：光頭強(qiáng)真笨！20的因數(shù)不是很容易找到嗎？從1開始找，1乘20等于20，就找到2個(gè)因數(shù)了;接著，從2繼續(xù)找下去……所以，20的因數(shù)有1、2、4、5、10、20，一共有6個(gè)因數(shù)。

生2：光頭強(qiáng)也找出來了，不過好像有點(diǎn)問題。他說，20是倍數(shù)，1、2、4、5、10、20是因數(shù)。

生3：這樣說是有問題的，因?yàn)楸稊?shù)和因數(shù)是相互依存的關(guān)系，不能單一地說倍數(shù)和因數(shù)。應(yīng)該說，1、2、4、5、10、20都是20的因數(shù)，20是1、2、4、5、10、20的倍數(shù)。

生4：“20是20的倍數(shù)，20是20的因數(shù)”，這個(gè)說法還真的需要注意，有點(diǎn)兒別扭。

生5：還有個(gè)問題。一個(gè)自然數(shù)的最小倍數(shù)是30，那它的最大因數(shù)是什么？

生6：一個(gè)自然數(shù)的最小倍數(shù)是30，說明這個(gè)自然數(shù)是30，那么它的最大因數(shù)是它本身，也是30。

生7：看來，不能只憑感覺解決問題。

……

實(shí)踐表明，要幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，就得為他們搭建一個(gè)個(gè)親身體驗(yàn)的學(xué)習(xí)平臺(tái)，讓他們在親歷中思考、在探究中反思、在反思中提煉經(jīng)驗(yàn)。審視上述教學(xué)，從中能夠看出，經(jīng)驗(yàn)需學(xué)生親身經(jīng)歷后積累，這樣沉積下來的經(jīng)驗(yàn)才會(huì)融入相關(guān)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中，使經(jīng)驗(yàn)逐漸豐富起來。當(dāng)然，教師在教學(xué)中還需要引導(dǎo)學(xué)生開展互動(dòng)交流、思考辨析等活動(dòng)，這樣他們積累的經(jīng)驗(yàn)才會(huì)成為深入學(xué)習(xí)、深入探究的資本。

四、整體反思，形成高層次經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，除了習(xí)得知識(shí)和技能，還有長期形成的思維模式，這才是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的要訣。那么，如何才能做到讓活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)促進(jìn)思維模式形成，使之沉淀為一種本能經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？這就需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)獲得的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行修正、加工、提煉，讓學(xué)生的初始經(jīng)驗(yàn)不斷得到成熟、豐盈，形成高層次的拓展性經(jīng)驗(yàn)。

為此，在本節(jié)課上，教師不斷引導(dǎo)學(xué)生對(duì)獲得的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行修訂、提煉。

師：學(xué)習(xí)這節(jié)課后，你們有什么收獲？

生1：明確了倍數(shù)、因數(shù)的概念，學(xué)會(huì)如何尋找因數(shù)、倍數(shù)，了解了因數(shù)、倍數(shù)的特征。

師：這些知識(shí)是如何獲得的？

生2：我們先嘗試探究，發(fā)現(xiàn)問題，然后按圖索驥，探究倍數(shù)和因數(shù)的所有知識(shí)。

生3：開始查找因數(shù)時(shí)容易遺漏，后來學(xué)會(huì)了有序思考，這樣才能做到不重復(fù)、不遺漏。

生4：我們是在發(fā)現(xiàn)問題后，才慢慢探究出這些知識(shí)的。

……

上述教學(xué)，教師先組織學(xué)生通過實(shí)踐驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)與預(yù)測的結(jié)果不同，激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，把倍數(shù)、因數(shù)與乘除法聯(lián)系起來進(jìn)行探究，為后續(xù)教學(xué)打下了基礎(chǔ);然后讓學(xué)生探究尋找倍數(shù)、因數(shù)的方法，通過觀察對(duì)比，深入探究因數(shù)、倍數(shù)的特征。在此過程中，學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)不斷得到發(fā)展，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累。這樣教學(xué)充分激活了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，并使已有經(jīng)驗(yàn)不斷得到再生。只有這樣，學(xué)生獲得的經(jīng)驗(yàn)才能逐步得到積累和豐富。

總之，任何知識(shí)的學(xué)習(xí)，都必須以原始經(jīng)驗(yàn)為依托，然后在進(jìn)一步的學(xué)習(xí)中豐富與完善經(jīng)驗(yàn)，在不斷深入探究中發(fā)展經(jīng)驗(yàn)，逐漸沉淀成一種思維模式，形成一種數(shù)學(xué)觀念。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要制造認(rèn)知沖突，激活學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，讓經(jīng)驗(yàn)得到再生，再通過反思，幫助學(xué)生形成高層次經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)朝著理想的目標(biāo)前行。

（責(zé)編 杜 華）