落實高考評價體系 引領數(shù)學教學改革

張曉斌 李繼權(quán) 吉士欽

摘? 要：以2021年八省市適應性測試題第20題為例，從試題難點、試題解析、錯誤分析、試題評價等幾個方面進行研究. 試題體現(xiàn)新高考“立德樹人、服務選才、引導教學”的理念;試題注重對數(shù)學核心素養(yǎng)和數(shù)學文化的考查;嫁接真實問題背景情境，貫徹全面育人的要求;試題堅持高考數(shù)學命題的基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性要求，充分體現(xiàn)了數(shù)學學科考試的選拔功能和正確導向作用.

關(guān)鍵詞：適應性測試;數(shù)學試題;深度分析;科學評價

由教育部考試中心統(tǒng)一命制的八省市適應性測試數(shù)學試卷第20題，以大興機場建設成就為實際應用背景命題，僅考查立體幾何初步知識，而不涉及空間向量和常見的平行、垂直等論證與計算，頗為異常，也倍感構(gòu)思設計精巧創(chuàng)新. 該題的具體背景是微分幾何中的[Gauss-Bonnet]公式在簡單多面體中的特殊情形，世界著名數(shù)學家陳省身先生平生最得意的工作即是此公式的內(nèi)蘊證明. 該題的證明與簡單多面體的歐拉示性數(shù)[V+F-E=2]的證明思路相似. 而多面體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)與證明在《全日制普通高級中學教科書·數(shù)學（試驗修訂本）》必修第二冊（下A）和人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學》（選修3—3）“球面上的幾何”中都有深入的介紹.

一、情境再現(xiàn)，感悟真題

2021年八省市適應性測試卷第20題如下.

題目? 北京大興國際機場（如圖1）的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用. 刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容. 用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于[2π]與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和. 例如，正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是[π3]，所以正四面體在各頂點的曲率為[2π-3×π3=π]，故其總曲率為[4π].

（1）求四棱錐的總曲率;

（2）若多面體滿足：頂點數(shù) - 棱數(shù) + 面數(shù) = 2，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù).

該題學生實際得分不高，在解決第（2）小題時，最難的就是需要學生在考場上根據(jù)問題情境學習新知識之后進行數(shù)學建模，將空間問題平面化，建立頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)與總曲率的關(guān)系. 該題對學生的閱讀理解能力和空間想象能力提出了較高要求，對培養(yǎng)學生的應用意識、創(chuàng)新意識也起到了積極的引導作用，是對新高考下高中數(shù)學教學改革的引領示范.

二、多維探究，深度思考

下面主要給出解決第（2）小題的四種解法.

解：（1）四棱錐共有5個頂點，5個面. 四棱錐所有面角之和等于4個三角形內(nèi)角之和再加上1個四邊形內(nèi)角之和，所以四棱錐的總曲率為[5×2π-4×π-2π=4π].

（2）設多面體的頂點數(shù)為[V]，棱數(shù)為[E]，面數(shù)為[F].

多面體的總曲率[=V×2π-]多面體所有面角之和[=][V×2π-]多面體所有面的內(nèi)角之和.

（方法1）多面體的面均為多邊形，每個面分別記為[ni i∈N，1≤i≤F]邊形，[ni]邊形的內(nèi)角和為[ni-2π]，且[i=1Fni=2E]（在所有多邊形的邊數(shù)總和的計算過程中，每條棱都計算了兩次），則所有面的內(nèi)角和為[i=1Fni-2π=][πi=1Fni-2πF=2πE-F]. 所以多面體的總曲率[=V×][2π-2πE-F=2πV-E+F=4π]. 故這類多面體的總曲率是常數(shù).

（方法2）設多面體的所有面中，有[a3]個三角形，[a4]個四邊形，…，[an]個[n]邊形（[ai∈N，i=3，4，…，n]），則有[i=3niai=2E， i=3nai=F]，所以多面體的總曲率為[V×2π-i=3ni-2πai=V×2π-πi=3niai+2πi=3nai=V×2π-][2πE-F=2πV-E+F=4π].

（方法3）在多面體每個面內(nèi)作出只從同一頂點出發(fā)的所有面對角線（若面是三角形則不需要進行此項工作），則每個面被切割成了幾個互不交叉的三角形. 設現(xiàn)有三角形的個數(shù)為[F]，原多面體的棱數(shù)與上述作出的對角線條數(shù)總和為[E]. 在作輔助線的過程中，多一條上述作出的對角線就多一個三角形，而頂點數(shù)不變. 所以由歐拉公式知，[V，E，F(xiàn)]仍滿足關(guān)系式[V+F-E=2]. 而每個三角形的每一條邊都是相鄰兩個三角形的公共邊，則[E=3F2，F(xiàn)=2V-4=2V-2]，多面體所有面的內(nèi)角之和為[Fπ=2V-2π]，則多面體的總曲率為[V×2π-][π2E-2F=2πV-E+F=4π].

（方法4）假設多面體的表面由橡皮膜制成，以多面體的一個面為底，將其適當擴大使其余[F-1]個面的頂點向底面的正投影全部落在該底面內(nèi)，剪去該底面多邊形，將多面體壓成平面圖形（可以認為將該多面體垂直壓向底面，也可以認為將其余各面拉開鋪平）. 如圖2，正十二面體剪去它的一個面[ABCDE]后，投影到面[ABCDE]上得到的平面圖形，如圖3所示.

多面體的頂點、棱和面分別與平面圖形中的頂點、棱和面一一對應，即將多面體壓縮成平面圖形后，其頂點數(shù)、棱數(shù)與面數(shù)均未發(fā)生改變，則所有面的內(nèi)角之和也不變. 這樣，多面體所有面的內(nèi)角之和可以轉(zhuǎn)化到平面圖形中進行研究. 在平面圖形所有[V]個頂點中，設剪去的最大多邊形（底面）有[n]個頂點，其內(nèi)角和為[n-2π]，它的內(nèi)部含有[V-n]個頂點. 其他多邊形的內(nèi)角總和可以看成由兩部分組成：一部分為[V-n]個周角（每個頂點處內(nèi)角和為[2π]）;另一部分為剪掉的那個多邊形的內(nèi)角和. 因此，多面體的總曲率為[V×2π-n-2π+n-2π+V-n · 2π=4π].

三、執(zhí)果索因，反思錯解

在解答該題的過程中，很多學生存在許多錯誤想法和思維障礙.

在解決第（1）小題時，主要有如下錯誤. ① 認為四棱錐為四面體. ② 利用特殊四棱錐得到結(jié)果. 例如，對于各棱長均相等的正四棱錐，計算得到其總曲率為[4×2π-π3×2-π2+2π-π3×4=4π]. ③ 對四棱錐的結(jié)構(gòu)特征認識不到位，對新定義“多面體的面角”理解不到位，類比方法運用不合理. 例如，四棱錐每個頂點有四個面角，每個面角為[π4]，所求四棱錐的總曲率為[5×2π-π4×4=5π]或者[2π-π3×4×4=83π]或者[2π-π4-π4-π2×4=4π]，等等.

在解決第（2）小題時，主要有如下錯誤. ① 認為符合題意的簡單多面體只有棱錐與棱柱，只是研究了某一類多面體的曲率，結(jié)論不具有一般性. ② 對于“多面體所有面角之和[=]多面體所有面的內(nèi)角之和”的條件閱讀理解不到位. ③ 把多邊形內(nèi)角和為[n-2π]遺忘了. ④ 頂點數(shù)、棱數(shù)、多邊形的邊數(shù)、面數(shù)、多邊形的個數(shù)，這些量比較多，數(shù)量關(guān)系梳理不清，所有面角和[2πE-F]推理論證不充分、不嚴謹，字母代數(shù)運算也不過關(guān). ⑤ 歸納猜想能力不足.

該題設計富有特色，由特殊幾何體正四面體、四棱錐的總曲率可以猜想簡單多面體的總曲率，由特殊幾何體正四面體、四棱錐的總曲率計算方法讓學生歸納猜想，聯(lián)想多邊形內(nèi)角和，翻譯出“多面體所有面角之和[=]多面體所有面的內(nèi)角之和”的意義. 但是學生“由特殊到一般”的猜想論證能力不足，而運算中“棱”參與了兩次運算又加大了難度.

立體幾何主要承載了六大數(shù)學核心素養(yǎng)中的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng)的要求. 現(xiàn)行教材立體幾何內(nèi)容是采用“三條腿”（即綜合法、向量法、坐標法）走路的，但是很多學生在學習中都采用綜合法證明平行與垂直、采用坐標法求角，甚至有的學生只會用長方體建立坐標系計算. 源自對身邊三維世界的觀察而抽象出來的立體幾何，結(jié)果在實際運用中學生的空間觀念未能很好地建立起來，學生的空間想象能力未能形成，缺少了對形象直觀的想象. 學生對立體幾何中的定義的理解與運用能力較弱，不能較好地運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認識和探索圖形的性質(zhì). 同時，學生的形象思維和邏輯思維能力有待提高，學生的空間想象能力較弱，容易受到其他條件的干擾，無法從整體角度分析題目的條件逐步進行推導證明，沒有形成綜合分析問題的概括能力，導致無法解答該題.

四、育人導向，科學評價

中國高考評價體系的科學構(gòu)建是從根本上解決教育評價中指揮棒問題的重大舉措，也是健全立德樹人落實機制、實現(xiàn)德智體美勞全面發(fā)展育人目標的必經(jīng)之路. 在具體設計試題時，要突出理性思維，考查關(guān)鍵能力，反映基礎性、綜合性、應用性與創(chuàng)新性的“四翼”要求. 下面結(jié)合該試題，分析《中國高考評價體系》中的這些新理念、新要求是如何滲透在高考試題之中的.

1. 堅持立德樹人導向，創(chuàng)新命題改革方向

該題在考試內(nèi)容改革、題型創(chuàng)新、試卷結(jié)構(gòu)改革及科學調(diào)控難度等方面進行了積極探索. 試題內(nèi)容體現(xiàn)了中學數(shù)學與高等數(shù)學相銜接的教材內(nèi)容，題型是新定義的解答題，是把緊扣新定義的計算與證明相結(jié)合的有難度層次的問題，正確把握試題與《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）的關(guān)系，體現(xiàn)了對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查，發(fā)揮了試題對中學數(shù)學教育的導向作用.

該題背景深刻、立意深遠，源于生活的真實情境新穎而不落窠臼，陌生卻似曾相識. 題目體現(xiàn)了數(shù)學的科學價值和理性價值，滲透了與大學數(shù)學內(nèi)容相鏈接的概念及思想方法，既考查了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，又考查了學生的學習潛能. 有助于學生關(guān)注現(xiàn)實生活、領會創(chuàng)新精神，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣，以及在社會實踐活動中應用數(shù)學工具和方法解決重大問題的熱情，落實了立德樹人的教育理念. 試題進一步發(fā)揮了高考數(shù)學的選拔性和導向性功能，以高校人才選拔的要求為依據(jù)，強化高考數(shù)學的思想教育和價值引領. 由此可見，高考數(shù)學試題今后將更加注重考查學生的綜合素養(yǎng)和創(chuàng)新意識，體現(xiàn)數(shù)學問題的育人功能.

2. 立足“四翼”要求，提升數(shù)學核心素養(yǎng)

該題知識性的考點有兩個：一是空間幾何體的空間結(jié)構(gòu)，簡單多面體的概念，多面體的頂點、棱、面之間的數(shù)量關(guān)系，如每一條棱被兩個面共用等;二是平面多邊形的內(nèi)角和，即[n]邊形的內(nèi)角和為[n-2π]. 該題對即將進入高校的高三學生應該掌握的立體幾何中的基本概念、原理、技能和思維方法等進行了較好的測量與評價，較好地檢測了學生是否具備立體幾何中的“四基”，是否具有應對生活實踐和數(shù)學探究問題的基礎知識、基本能力和核心素養(yǎng)，是否具有今后進入大學學習和終身發(fā)展所需要的必備知識和關(guān)鍵能力.

該題圍繞直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析這五個數(shù)學核心素養(yǎng)，在知識網(wǎng)絡的聯(lián)結(jié)處著眼，著重考查學生將已有知識和方法綜合應用到新情境中去分析問題和解決問題的能力，科學評價和合理區(qū)分學生數(shù)學學科學業(yè)質(zhì)量水平和數(shù)學核心素養(yǎng)水平的達成情況.

數(shù)學源于現(xiàn)實世界，又要回到現(xiàn)實世界中去解決有關(guān)的實際問題. 新高考對數(shù)學應用性關(guān)注度明顯提高，《標準》對數(shù)學建模和數(shù)學應用都有一定的要求. 因此，該題考查了學生的閱讀理解能力和獲取新信息的能力，增強了學生的數(shù)學應用意識，充分體現(xiàn)了對學生解決實際問題能力的要求，從而引導學生關(guān)注現(xiàn)實生活和時事新聞，從生活中提取數(shù)學問題，進一步落實立德樹人的根本任務.

該題的創(chuàng)新性體現(xiàn)在題目的呈現(xiàn)形式和閱讀理解上. 讀題、審題是解決該題的基礎，讀懂題意是解決該題的關(guān)鍵. 閱讀理解是基于思維活動的一種重要認識能力，是直接影響解決問題效果的前奏和序曲. 該題看似閱讀量不大，但閱讀題目中“規(guī)定”的難度并未降低，對學生的閱讀、思考和創(chuàng)新思維要求較高. 該題設計的背景和知識考點與歷年高考數(shù)學立體幾何解答題完全不同，面貌煥然一新. 以北京大興機場的建筑設計、微分幾何中的曲率為背景，用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定了多面體頂點的曲率和多面體總曲率. 這種試題設計的呈現(xiàn)方式和設問方式與眾不同，要求即將進入高校的學生在新穎或陌生的情境中主動思考，完成數(shù)學探究性任務，測試與評價了學生發(fā)現(xiàn)新問題、找到新規(guī)律、得出新結(jié)論的水平. 該題的設計意在引導教師在教學中重視提高學生的思維品質(zhì)，為適應新時代發(fā)展打下良好的基礎.

3. 貫徹科學探索精神，體現(xiàn)以文化人理念

該題從正四面體的曲率出發(fā)，探索一般多面體的曲率問題，滲透了由特殊到一般的思想方法，有助于培養(yǎng)學生用更長遠的眼光尋找該題的規(guī)律與本質(zhì). 我國著名數(shù)學家華羅庚教授曾說，對于復雜的問題要善于“退”，先足夠地“退”到我們最容易看清楚問題的地方，認透了、鉆深了，然后再上去. 事實上，就是將復雜問題簡單化、特殊化，通過特殊情況將問題認識透徹，再探索一般的方法來解決原問題. 該題的探索和解決需要學生能夠在數(shù)學學科一般觀念的指導下，科學合理地運用數(shù)學通性、通法和解決數(shù)學問題的思維策略，統(tǒng)攝數(shù)學學科相關(guān)知識，運用數(shù)學學科關(guān)鍵能力，高質(zhì)量、高水平地理解問題、分析問題、解決問題和反思問題，使高三學生適應新時代要求并獲得支撐終身發(fā)展的能力.

源于具體的實際問題，需要學生進行審題分析、提煉、翻譯，挖掘問題的數(shù)學本質(zhì)，突出對學生的數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學建模等素養(yǎng)的考查，滲透解決數(shù)學問題的統(tǒng)攝性思想——普遍性寓于特殊性之中. 抽象并進行數(shù)學建模，讓問題數(shù)學化，使錯綜復雜的實際應用問題更加直觀化和邏輯化.

數(shù)學文化是學生數(shù)學學習過程中的重要組成部分. 在今后的數(shù)學教學和高考數(shù)學命題中，應堅持文理互補的數(shù)學教育理念，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)、精神品質(zhì)和正確價值觀的形成. 該題在考查相關(guān)知識的同時弘揚了科學精神，在展現(xiàn)社會主義建設成就的同時增強了學生的文化自信與民族自豪感，將數(shù)學知識、思想方法和文化精神等融為一“題”，促進了學生的全面發(fā)展，貫徹了全面育人的要求.

從近幾年全國卷的高考數(shù)學試題可以看出，教育部考試中心已經(jīng)把在高考試題中滲透數(shù)學文化作為高考試題改革的一個重要方面. 而這類試題閱讀量較大，突出考查學生的數(shù)學學科綜合素養(yǎng). 以社會生活實際情境為載體，注重跨學科融合試題的命制，在考查“四基”的同時，著力考查學生的“四能”及數(shù)學學科關(guān)鍵能力、創(chuàng)新意識和應用意識，把“五育并舉”的價值觀融入試題內(nèi)容中，讓學生切身體會數(shù)學學科的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值. 發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)需要建立在數(shù)學文化的基礎上，而數(shù)學文化教育需要教師在教學過程中傳承、滲透數(shù)學文化，通過數(shù)學教學活動實現(xiàn)數(shù)學文化的育人功能，培養(yǎng)學生的綜合素養(yǎng). 在數(shù)學課堂教學中研究一些經(jīng)典數(shù)學問題，如“哥尼斯堡七橋問題”“多面體的歐拉定理”等來領略數(shù)學家解題時的辯證思維，感受數(shù)學家的哲學智慧，有助于學生突破固定的形式邏輯思維，自覺運用多元、變化和發(fā)展的眼光看問題，提升學生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學生的理性精神.

總之，該題堅持高考的核心價值，考點新、命題新，突出數(shù)學學科特色，注重考查學生的獨立思考能力、閱讀理解能力、提取信息能力、分析問題與解決問題的能力，注重數(shù)學建模、直觀想象和邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)的考查，命題理念從原來的“知識立意、能力立意”向“價值引領、素養(yǎng)導向、能力為重、知識為基”轉(zhuǎn)變. 新高考數(shù)學試卷在縱橫交錯考查數(shù)學學科基礎知識的同時，注重了對數(shù)學思想方法、關(guān)鍵能力及核心素養(yǎng)的考查，展示了數(shù)學學科的科學價值和人文價值，同時兼顧了數(shù)學試題的基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性，體現(xiàn)了思維的流暢性、深刻性，以及方法的綜合性、探究性和創(chuàng)造性. 試題設問間有層次性，合理調(diào)控綜合程度，很好地把握了穩(wěn)定與創(chuàng)新的關(guān)系，體現(xiàn)了課程改革的精神，充分發(fā)揮了數(shù)學學科作為基礎學科的作用. 同時，注重考查大多數(shù)學生進入高校繼續(xù)學習的潛能，對探索新高考的模式、推進高考綜合改革、引導中學數(shù)學教學都將會發(fā)揮積極的作用.

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