在實(shí)驗(yàn)中抽象 在經(jīng)驗(yàn)上推理

劉煒

摘? 要：為落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為情境，以數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)為向?qū)?，以人教A版教材中“空間向量基本定理”為例設(shè)計(jì)并實(shí)踐了“在實(shí)驗(yàn)中抽象，在經(jīng)驗(yàn)上推理”的教學(xué)思路，從而對命題教學(xué)提出了一些建議：用一般觀念引領(lǐng)探究活動，用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)問題情境，用理性精神細(xì)化學(xué)習(xí)過程.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);數(shù)學(xué)推理;命題教學(xué);教學(xué)設(shè)計(jì)

一、引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，通過“空間向量與立體幾何”的學(xué)習(xí)，運(yùn)用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，體會向量方法和綜合幾何方法的共性和差異;運(yùn)用向量方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，感悟向量是研究幾何問題的有效工具. 其主要方法就是利用空間向量將立體幾何代數(shù)化（坐標(biāo)化），用解析幾何方法論去解決立體幾何的問題.

如何才能保證代數(shù)化（坐標(biāo)化）的嚴(yán)謹(jǐn)？利用空間向量基本定理. 很多教師把空間向量基本定理當(dāng)成“橋梁”，但是并沒有把“基本”理解透徹，在教學(xué)中走過場，這是不可取的. 雖然空間向量是無窮的，但它們都可以表示成三個不共面向量所組成的基底的線性組合，這樣就可以利用這個基底表示空間圖形中的任意元素，并使這些元素之間建立起標(biāo)準(zhǔn)化的聯(lián)系，從而可以通過代數(shù)運(yùn)算解決立體幾何問題. 這個過程是程序化的，從理論上講，只要我們根據(jù)問題中幾何圖形的特征選定基底，那么任何幾何問題都可以得到解決. 這就是空間向量基本定理的“基本”之所在.

空間向量基本定理的“基本”可以進(jìn)一步從以下幾個角度來理解. 其一，知識的基本，空間中任一向量都可以表示成三個不共面向量的線性組合，這個結(jié)論是基本的;其二，方法的基本，即程序化操作，多將向量的共線比例關(guān)系改寫成基底的線性組合形式，不僅復(fù)習(xí)了向量的線性運(yùn)算，也為向量的坐標(biāo)表示做了鋪墊;其三，思想的基本，只要選定基底，任何幾何問題都可以得到解決，這種“以少表多”的轉(zhuǎn)化思想是十分重要的，同時(shí)將空間向量問題轉(zhuǎn)化為基底的運(yùn)算，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔性;其四，模型的基本，剝離代數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，從幾何角度來審視空間向量基本定理，即在平行六面體中研究面對角線、體對角線，將三維降到二維、一維，這種降維的經(jīng)驗(yàn)也十分基本.

如何充分體現(xiàn)空間向量基本定理的“基本”？這是值得一線教師思考與研究的話題. 在蘇州市拔尖創(chuàng)新聯(lián)盟活動中，筆者設(shè)計(jì)并實(shí)踐了這一課題，確定了“在實(shí)驗(yàn)中抽象，在經(jīng)驗(yàn)上推理”的教學(xué)思路，試圖將“基本”兩個字凸顯出來，落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》的精神.

二、教學(xué)實(shí)踐

1. 學(xué)情分析

本節(jié)課使用的教材是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”），授課對象是江蘇省震澤中學(xué)高二某班學(xué)生，筆者是借班上課. 通過課前交流，筆者發(fā)現(xiàn)該班學(xué)生思維比較活躍，基礎(chǔ)比較扎實(shí)，對平面向量有較好的理解，為開展“類比、聯(lián)系、推廣”的教學(xué)實(shí)踐活動提供了較好的前期活動經(jīng)驗(yàn).

由于空間向量與平面向量同構(gòu)，因此可以采用類比的方法讓學(xué)生體會兩者的共性與差異. 空間向量基本定理揭示了空間中三個不共面向量構(gòu)成三維空間的一個基底，其承接空間向量的線性運(yùn)算，也開啟了基底法的使用，學(xué)生可以在邊學(xué)邊用中了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量正交分解及其坐標(biāo)表示. 恰如引言所論述，這個基本定理不僅在知識結(jié)構(gòu)上起著承前啟后的作用，也在思想方法上有著光前裕后的影響.

2. 教學(xué)實(shí)錄

（1）課堂引入.

PPT展示：如果代數(shù)與幾何各自分開發(fā)展，那么它們的進(jìn)步將十分緩慢，而且應(yīng)用范圍也很有限. 但若兩者相互結(jié)合共同發(fā)展，就會相互加強(qiáng)，并以快速的步伐向著完美化的方向猛進(jìn).（拉格朗日語）

師：代數(shù)與幾何是數(shù)學(xué)研究中兩個重要的主題，它們相互溝通可以摩擦出新的火花. 在以往的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，你覺得什么可以稱為溝通代數(shù)與幾何的精靈？

生1：向量.

師：從平面向量拓展到空間向量，發(fā)現(xiàn)向量的定義、運(yùn)算都沒有大的變化. 按照平面向量的研究路徑，如何將向量坐標(biāo)化？用什么定理加以保證？

學(xué)生交流后得到定理的名稱，即平面向量基本定理.

師：這個定理的作用是什么？

生2：用兩個向量來表示平面內(nèi)的任一向量.

師：你說得很好. 也就是用最少的向量線性表示所有的向量，這就是“以少表多”的典型. 現(xiàn)在，我們已經(jīng)把向量從平面推廣到空間了，若要坐標(biāo)化，理論上就需要空間向量基本定理. 這就是今天要研究的課題.

【評析】借鑒平面向量的研究路徑，在一般觀念的基礎(chǔ)上，用基本活動經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)整個課堂的走向，從而真正做到讓學(xué)生提出問題、解決問題. 事實(shí)上，此舉也交代了本節(jié)課的主旨，即為什么要研究這個課題.

（2）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).

實(shí)驗(yàn)（復(fù)制向量）：泡沫板上插著一支竹簽（有向線段），不通過平移，能否在另一個泡沫板上插上一支竹簽（有向線段），使得兩者是相等的向量？

教師幫助每個小組準(zhǔn)備直尺1把、泡沫板1個、竹簽若干，引導(dǎo)學(xué)生在合作交流的基礎(chǔ)上實(shí)施操作，希望學(xué)生在3分鐘內(nèi)完成探究.

師生活動：學(xué)生討論，也有學(xué)生到講臺上觀測;教師巡視，與部分學(xué)生交流想法.

師：時(shí)間到，請展示作品.

通過比對，發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)了測量誤差，與預(yù)期不一致.

師：很遺憾發(fā)生了誤差，你能談?wù)勀愕膶?shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)嗎？

生3：先向下作垂線，測量高度，然后將斜足與垂足連接起來，再過斜足、垂足作泡沫板邊沿的平行線，測量長度，確定垂足與斜足的相對位置.

師：設(shè)計(jì)很合理. 那么就是操作中產(chǎn)生了誤差，所以在實(shí)踐中還要思考如何才能減小誤差. 事實(shí)上，古人就有這樣的方位感. 例如，著名詩人白居易在《錢塘湖春行》中寫道“孤山寺北賈亭西，水面初平云腳低”，就很好地刻畫了方位.

接下來，筆者引導(dǎo)學(xué)生將這種立體位置關(guān)系抽象出來，如圖1所示. 同時(shí)，用表1表示主要教學(xué)過程.

【評析】筆者不想采用“是否用兩個向量表示任意向量”所制造的矛盾沖突，因?yàn)樵摏_突與平面向量基本定理幾乎等價(jià)，比較抽象. 由此設(shè)計(jì)讓學(xué)生探究如何表示一個空間向量，需要學(xué)生從三個維度上確認(rèn)向量的同一性，也為后續(xù)的正交分解奠定基礎(chǔ). 事實(shí)上，正交分解是物理中學(xué)習(xí)矢量的十分重要的方法，也是人們研究問題比較常見的思維，這與教材先特殊后一般的思路是契合的，也符合學(xué)生的認(rèn)知過程.

師：不難發(fā)現(xiàn)，可以用空間中的這樣一組特殊的向量來表示空間中的任一向量，而且不能減少任何一個向量，否則就落在平面內(nèi)了. 只有代數(shù)表示與幾何形式具有一致性時(shí)，數(shù)組才能表示向量，請大家考慮一下，這樣的表示唯一嗎？

生4：由共線定理與平面向量基本定理（共面定理）保證唯一性.

師：你理解得很好！如何證明呢？以往有什么證明唯一性的經(jīng)驗(yàn)嗎？在初中是如何證明垂足的唯一性的？

生5：用反證法.

學(xué)生口述，教師板書：設(shè)另外一組數(shù)[x′，y′，z′∈R]，使得[OP=x′i+y′j+z′k]，從而[xi+yj+zk=x′i+y′j+z′k]，整理，得[x-x′i+y-yj+z-z′k=0]，因此就有[x=][x′]，[y=y]，[z=z′].

師：理由是什么？

生6：零向量在三個分量上都是零向量，所以各自相等.

師：如果這樣可以的話，那么直接分解也是唯一的. 再想想，如何從空間向平面轉(zhuǎn)化？如何說明兩者相等（也就是兩者之差是0）？

生7：還用反證法.

學(xué)生口述，教師板書：設(shè)[z=z′≠0]，則有[k=][-1z-z′x-x′i+y-yj]，說明[k]與[i，j]共面，矛盾. 因此[z=z′]. 同理，[x=x′]，[y=y].

師：由此唯一性得以證明，從而獲得下面的結(jié)論，進(jìn)而將有序數(shù)組與向量一一對應(yīng).

結(jié)論：設(shè)[i，j，k]是空間中三個兩兩垂直的向量，對于任意一個空間向量[p]，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組[x，y，z]，使得[p=xi+yj+zk].

【評析】事實(shí)上，空間向量的大小是確定的、可測量的，但是空間向量的方向需要參照系，即可以用一組數(shù)來表示. 唯一性可以保證數(shù)組與向量的一致性，真正實(shí)現(xiàn)空間向量的代數(shù)化. 因此，論證唯一性的工作是十分重要的，不僅為后續(xù)知識的學(xué)習(xí)提供了理論基礎(chǔ)，也為嚴(yán)格論證提供了可靠經(jīng)驗(yàn)，是培育學(xué)生理性思維的重要契機(jī).

（3）數(shù)學(xué)抽象.

師：從剛才的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)到數(shù)學(xué)結(jié)論，在空間中可以找到三個向量，任意向量可以用它們唯一地線性表示. 這三個向量是特殊的，能否一般化呢？請大家看看我的這個操作.

教師將竹簽放在長方體（吸管為棱，用棉線串聯(lián)）的體對角線位置，表示這一向量可以用互相垂直的三個向量線性表示;然后將長方體擠壓變成平行六面體，竹簽依舊放置在體對角線的位置;最后將長方體“拍扁”在講臺上，使得所有向量皆在講臺平面內(nèi)（包括竹簽）.

師：可以線性表示空間中任意向量的三個向量應(yīng)該是什么關(guān)系？

生8：不共面.

師：很好，由此可以抽象出空間向量基本定理，它與平面向量基本定理比較類似. 請同學(xué)們類比敘述.

教師用PPT呈現(xiàn)平面向量基本定理，學(xué)生類比平面向量基本定理說出空間向量基本定理.

平面向量基本定理：如果[a，b]是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量[p]，有且僅有一對實(shí)數(shù)[x，y]，使得[p=xa+yb]. 我們把[a，b]叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.

空間向量基本定理：如果三個向量[a，b，c]不共面，那么對于任意一個空間向量[p]，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組[x，y，z]，使得[p=xa+yb+zc]. 我們把[a，b，c]叫做空間的一個基底（base），[a，b，c]都叫做基向量（base vectors）.

師：如果有四維空間，或者說[n]維空間，需要多少個向量構(gòu)成基向量？

生9：四維空間需要四個向量構(gòu)成基向量.

【評析】“拍扁實(shí)驗(yàn)”可以幫助學(xué)生十分自然地將正交基底推廣成一般基底，但語言敘述的準(zhǔn)確性是學(xué)生的難點(diǎn)，因此在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，指導(dǎo)學(xué)生類比平面向量基本定理的語言加以描述，真正體現(xiàn)一般觀念的照搬. 在此基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)從一維到三維具有一致性，還可以推廣到一般的線性空間.

（4）數(shù)學(xué)理解.

師：空間中可以選擇不同的基底，其要求就是不共面.

例1 （教材第15頁習(xí)題1.2第2題）若[a，b，c]構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（? ? ）.

（A）[b+c，b，b-c]

（B）[a，a+b，a-b]

（C）[a+b，a-b，c]

（D）[a+b，a+b+c，c]

學(xué)生研究發(fā)現(xiàn)選項(xiàng)A、選項(xiàng)B和選項(xiàng)D都是共面的，所以選擇選項(xiàng)C.

師：好. 我們再來驗(yàn)證一下.

設(shè)向量[p=a+b，q=a-b，r=c]，若向量[c]與向量[p，q]共面，即存在[λ，μ]，使得[c=λp+μq=λa+b+][μa-b=λ+μa+λ-μb]，說明向量[c]與向量[a，b]共面，這與[a，b，c]是空間的一個基底矛盾，說明[p，q，r]是空間的一個基底.

師：同時(shí)發(fā)現(xiàn)，[a=12p+q，b=12p-q，c=r]. 是否意味著一個基底可以用另一個基底線性表示？的確. 證明留給大家課后做.

練習(xí)：（教材第15頁習(xí)題1.2第1題）如果向量[a，b]與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，那么[a，b]間應(yīng)有什么關(guān)系？

生10：共線.

師：的確. 極端的情況就是其中存在零向量. 事實(shí)上，這也隱含了基底都是非零向量.

【評析】一般來說，空間向量基本定理可以在坐標(biāo)化之后“功成身退”，但是對其本身的理解是十分重要的. 本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的定理的理解基于兩個方面的考慮：其一，理解向量不共面是選擇基底的唯一標(biāo)準(zhǔn)，也隱含了基底都是非零向量;其二，不同的基底之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，這樣才可能并需要選擇“好的”基底，即為“單位正交基”的選取提供了理論基礎(chǔ).

（5）數(shù)學(xué)應(yīng)用.

師：空間向量基本定理就是用基底來線性表示空間中的向量. 下面我們來看看如何用基底來線性表示空間中的向量.

例2 （教材第12頁例1）如圖2，[M]是四面體[OABC]的棱[BC]的中點(diǎn)，點(diǎn)[N]在線段[OM]上，點(diǎn)[P]在線段[AN]上，且[MN=12ON，AP=34AN]，用向量[OA， OB， OC]表示[OP].

生11給出解法：[OP=OA+AP=OA+34AN=OA+][34ON-OA=14OA+34ON=14OA+3413OB+13OC=14OA+][14OB+14OC].

師：做得很好. 利用物理中位移的觀點(diǎn)，用加法運(yùn)算將所求向量逐步向基向量的方向轉(zhuǎn)化. 借用平面向量的經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)該也可以將向量的共線比例關(guān)系寫成基底形式. 由[AP=34AN]，得[AO+OP=34AO+ON]，即[OP=][14OA+34ON]. 因?yàn)閇NM=12ON]，所以[NO+OM=][12ON]，即[ON=23OM]. 因?yàn)閇OM=12OB+OC]，所以[OP=][14OA+OB+OC].

由此，用基底來表示空間向量，主要做的工作就是線性運(yùn)算，可以將向量的共線比例關(guān)系加以分解，也可以借助幾何直觀進(jìn)行分解. 我們知道，點(diǎn)[M]是線段[BC]的中點(diǎn)，點(diǎn)[N]應(yīng)該是[△OBC]的重心，那么大家覺得點(diǎn)[P]是四面體的什么呢？

生12：物理重心.

師：的確，四面體的重心在線段[AN]的四等分點(diǎn)處，可以用物理的觀點(diǎn)來解讀. 分解完畢，就可以思考如下問題，以下哪種基底更便于計(jì)算？

問題1：如果[OA， OB， OC]兩兩所成角為60°，且模長為2，求[OP]的模.

問題2：如果[OA， OB， OC]兩兩所成角為90°，且模長為2，求[OP]的模.

問題3：如果[OA， OB， OC]兩兩所成角為90°，且模長為1，求[OP]的模.

通過現(xiàn)場調(diào)查，個別學(xué)生選擇了問題1，幾名學(xué)生選擇了問題2，多數(shù)學(xué)生選擇了問題3. 因此，教師讓選擇問題1和問題2的學(xué)生來陳述理由.

學(xué)生給出理由：問題1的幾何體很好，是正四面體. 問題2中所給向量的模長為2，取各線段的中點(diǎn)后所得線段的長度依舊是整數(shù).

師：喜歡是感性的，無須理由;但是數(shù)學(xué)是理性的. 應(yīng)該從什么角度來考慮呢？

師生一起給出下面的推理：假設(shè)[p=xa+yb+zc]，那么[p2=x2a2+y2b2+z2c2+2xya · b+2yzb · c+2zxc · a]. 不難發(fā)現(xiàn)，如果向量[a，b，c]互相垂直，那么[a · b]，[b · c]和[c · a]都等于0，則有[p2=x2a2+y2b2+z2c2]，如果向量[a，b，c]的模長為1，那么向量[p]的長度的平方就可以表示為[p2=x2+y2+z2]，此時(shí)只與系數(shù)有關(guān).

因此，互相垂直且長度為1的基向量就是“好基”. 特別地，如果空間的一個基底中三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用[i，j，k]表示. 由空間向量基本定理可知，空間中的任意向量[a]均可以分解為三個向量[xi，yj，zk]，使得[a=xi+yj+zk]. 像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.

【評析】常見的線性表示是空間向量基本定理的一種呈現(xiàn). 類比平面中三角形的重心，提出空間四面體的重心，將平面問題類比到空間. 思考的幾個問題，試圖逐層遞進(jìn)，最終推向呼喚“好基”，也就是獲得“單位正交基”. 該內(nèi)容既為向量的坐標(biāo)表示埋下伏筆，也拓展了課堂的時(shí)空.

三、教學(xué)建議

在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，筆者根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》所提倡的理念，研究教材內(nèi)容、整合教材資源組織教學(xué). 通過教學(xué)實(shí)踐，對以實(shí)驗(yàn)為引導(dǎo)、經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)命題教學(xué)又有了新的認(rèn)識，特給出如下建議.

1. 用一般觀念引領(lǐng)探究活動

章建躍博士早在2014年就指出，數(shù)學(xué)教學(xué)中的講“理”關(guān)鍵是要有一般觀念的引領(lǐng). 從教材邏輯體系來說，通常是按照“背景（實(shí)際背景、數(shù)學(xué)背景）—定義（內(nèi)涵，表示）—分類（以要素為標(biāo)準(zhǔn)）—性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系）—特例（性質(zhì)和判定）—聯(lián)系（應(yīng)用）”的邏輯展開的，是科學(xué)研究的思路和方法，為學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)提供了一般觀念，從而形成富有數(shù)學(xué)思想的知識經(jīng)驗(yàn). 教材的章首語也是通過回顧平面向量及其應(yīng)用的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生類比思考空間向量的探究，即不斷強(qiáng)化一般觀念在大單元主題教學(xué)中的作用.

針對本節(jié)課，可以類比平面向量基本定理，探究空間向量基本定理的作用與價(jià)值，研究空間向量基本定理的方法與思想. 因此，平面向量研究中的活動經(jīng)驗(yàn)對于空間向量的研究起著重要的支撐作用. 雖然一切都是類比平面向量，但是將二維平面類比到了三維空間，這對于學(xué)生來說就是創(chuàng)新. 在教學(xué)過程中，如果能夠堅(jiān)持用這種類比的思想，那么可以讓學(xué)生積累很多創(chuàng)新的經(jīng)驗(yàn)，在遇到具體問題時(shí)能夠有足夠多的想法去解決問題. 同時(shí)，在類比的過程中，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)一維、二維和三維具有高度的一致性，也就是章建躍博士提出的“研究對象在變，研究套路不變，思想方法不變”. 這是體現(xiàn)一般觀念的具體案例，從而可以讓學(xué)生感受一般觀念，落實(shí)大單元的主題教學(xué)，提升教學(xué)的深度與厚度.

2. 用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)問題情境

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指通過動手、動腦“做”數(shù)學(xué)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，是學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具及計(jì)算機(jī)等）在數(shù)學(xué)思維活動的參與下進(jìn)行的一種以人人參與的實(shí)際操作為特征的數(shù)學(xué)驗(yàn)證或探究活動. 事實(shí)上，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)契合了杜威“從做中學(xué)”的教學(xué)理念，即從活動中學(xué)，在經(jīng)驗(yàn)中學(xué)，在情境中學(xué). 這與《標(biāo)準(zhǔn)》是契合的.《標(biāo)準(zhǔn)》中提到“情境”一詞158次，可見“情境”是落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》十分重要的指針.

為順應(yīng)學(xué)生先特殊再一般的思維，契合教材從具體到抽象的思路，在探究“用較少向量線性表示平面內(nèi)所有向量”這一問題時(shí)，設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——復(fù)制向量. 該實(shí)驗(yàn)的目的在于讓學(xué)生在確定向量的過程中，感知確定向量的兩個要素，感悟確定方向的三個維度，從而通過橫、縱、豎三個方向的測量，實(shí)現(xiàn)復(fù)制向量的目標(biāo)，建立空間向量基本定理的雛形. 如此設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，其實(shí)就是創(chuàng)設(shè)一種問題情境，由情境引發(fā)學(xué)生思考，從文化催生學(xué)生想象，通過環(huán)環(huán)相扣的問題和貫穿始終的活動，幫助學(xué)生理解空間向量基本定理，落實(shí)學(xué)生“做中學(xué)”的理念.

筆者認(rèn)為，情境是思維和認(rèn)知的起點(diǎn). 思維和認(rèn)知只有在特定的情境中才有意義，不存在非情境化的學(xué)習(xí). 戴維·H.喬納森認(rèn)為，個體認(rèn)知心理常常產(chǎn)生于構(gòu)成、指導(dǎo)和支持認(rèn)知過程的環(huán)境中，認(rèn)知過程的本質(zhì)由情境決定，情境是一切認(rèn)知活動的基礎(chǔ);知識存在于個體和群體的行動中，是隨著個人參與到新的情境中并在基于新情境的協(xié)商中產(chǎn)生的. 由此可見，理想的數(shù)學(xué)教學(xué)就應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)設(shè)“足夠好”的情境. 其中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是一種“好”的形式，能夠很好地調(diào)動學(xué)生眼、手、腦的協(xié)作與配合，著眼于學(xué)生能主動地探索與建構(gòu). 在完成實(shí)驗(yàn)的過程中，掌握數(shù)學(xué)知識，積累活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》的理念.

3. 用理性精神細(xì)化學(xué)習(xí)過程

數(shù)學(xué)教學(xué)中如何做到立德樹人？進(jìn)行德育滲透才是立德樹人嗎？筆者認(rèn)為，德育滲透是立德樹人的顯性形式，而理性精神才是立德樹人的內(nèi)隱形式. 何謂理性精神？理性精神包括了對真理的追求，以及對人們必然能認(rèn)識世界的堅(jiān)定信念及理智判斷是非的標(biāo)準(zhǔn). 如此，才能讓學(xué)生形成積極向上的性格、追求卓越的品格和獨(dú)立自主的人格.

在本節(jié)課中，學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)抽象出空間向量正交分解的存在性，通過思辨確定了正交分解的唯一性，這種抽象意識與嚴(yán)謹(jǐn)思維就是培養(yǎng)理性精神十分重要的載體與形式. 特別地，唯一性的判斷為坐標(biāo)系的建立奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，為代數(shù)化的使用注入了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S;唯一性的證明是降維轉(zhuǎn)化思想的典型案例，是邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)路徑. 基于此，學(xué)生不僅學(xué)到了單個的知識和方法，更重要的是提升了獲取知識和判斷是非的能力，實(shí)現(xiàn)了“從知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.

M.克萊因在他的名著《西方文化中的數(shù)學(xué)》中指出：數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神. 這種精神非“言傳”所能達(dá)成，而是要通過“身教”，要在學(xué)習(xí)過程中體會數(shù)學(xué)的理性精神. 具體而言，在教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施的過程中，要充分重視數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)學(xué)生深度思考的能力;要重視數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性，培養(yǎng)學(xué)生整體建構(gòu)的能力;要重視數(shù)學(xué)的生長性，培養(yǎng)學(xué)生合作創(chuàng)新的能力. 由此，通過細(xì)化的學(xué)習(xí)過程，充分培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)立德樹人.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]章建躍. 利用幾何圖形建立直觀通過代數(shù)運(yùn)算刻畫規(guī)律：“空間向量與立體幾何”內(nèi)容分析與教學(xué)思考[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2021，60（6）：1-6.

[3]章建躍. 一般觀念的思維引領(lǐng)作用[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2014（3）：66.

[4]喻平，董林偉，魏玉華. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)：靜態(tài)數(shù)學(xué)觀與動態(tài)數(shù)學(xué)觀的融通[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（1）：26-28.

[5]戴維·H.喬納森. 學(xué)習(xí)環(huán)境的理論基礎(chǔ)[M]. 鄭太年，任友群，譯. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2002.

[6]于道洋，寧連華. 試論墨家的理性精神及其對數(shù)學(xué)教育的啟示[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（5）：87-91.