我國中小學(xué)數(shù)學(xué)可視化研究的回顧與展望

張治才

摘? 要：數(shù)學(xué)可視化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中師生思維的可視化，即通過某種方式將內(nèi)隱在師生頭腦中的數(shù)學(xué)思維過程外顯出來. 通過對(duì)中國知網(wǎng)2011—2021年論文的分析，從數(shù)學(xué)可視化的本質(zhì)、數(shù)學(xué)可視化的方式、數(shù)學(xué)可視化的應(yīng)用三個(gè)維度對(duì)我國中小學(xué)數(shù)學(xué)可視化的研究進(jìn)行了梳理，并剖析了目前我國中小學(xué)數(shù)學(xué)可視化研究存在的問題，在此基礎(chǔ)上提出未來可能的研究方向.

關(guān)鍵詞：中小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)可視化;思維可視化

數(shù)學(xué)具有抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和廣泛的應(yīng)用性等特征，數(shù)學(xué)的抽象性使得數(shù)學(xué)教學(xué)過程中教師和學(xué)生的思維過程難以有效外顯，從而不能快速將教師的“言傳”轉(zhuǎn)化為學(xué)生的“意會(huì)”，形成教學(xué)難點(diǎn). 若能將內(nèi)隱在師生頭腦中的思維過程以適當(dāng)?shù)男问酵怙@，將有助于教師的教和學(xué)生的學(xué). 數(shù)學(xué)可視化是將思維過程外顯的重要途徑. 本文從數(shù)學(xué)可視化的本質(zhì)、方式、應(yīng)用等角度，透析我國中小學(xué)數(shù)學(xué)可視化的研究現(xiàn)狀，并對(duì)研究前景進(jìn)行展望，希望對(duì)數(shù)學(xué)可視化領(lǐng)域的研究提供參考和借鑒.

一、研究現(xiàn)狀透析

在中國知網(wǎng)上，以“數(shù)學(xué)可視化”為主題，共檢索到60篇文獻(xiàn). 再使用高級(jí)檢索，以“思維可視化”并含“數(shù)學(xué)”為主題，共檢索到224篇文獻(xiàn). 從上述文獻(xiàn)中，選擇學(xué)位論文、中小學(xué)教育教學(xué)核心期刊和人大復(fù)印報(bào)刊資料全文轉(zhuǎn)載排名靠前的普通期刊刊發(fā)的共71篇論文進(jìn)行重點(diǎn)研究. 其中，學(xué)位論文5篇，占比7%;核心期刊論文34篇，占比48%;普通期刊論文32篇，占比45%. 對(duì)71篇文獻(xiàn)分析梳理發(fā)現(xiàn)，我國學(xué)者主要從數(shù)學(xué)可視化的本質(zhì)、數(shù)學(xué)可視化的方式和數(shù)學(xué)可視化在教學(xué)中的應(yīng)用等角度對(duì)數(shù)學(xué)可視化進(jìn)行了研究.

1. 數(shù)學(xué)可視化的本質(zhì)

（1）數(shù)學(xué)可視化的內(nèi)涵——內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維外顯化.

數(shù)學(xué)可視化的核心是數(shù)學(xué)思維的可視化. 關(guān)于思維可視化的內(nèi)涵，不同的學(xué)者有不同的認(rèn)識(shí). 劉濯源教授認(rèn)為，思維可視化是以圖式或圖式組合的方式把原本看不見的思維路徑、結(jié)構(gòu)、方法及策略呈現(xiàn)出來，使其清晰可見的過程. 張衛(wèi)星認(rèn)為，可視化即讓抽象的數(shù)學(xué)道理、數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)思維顯性化，可以通過動(dòng)手操作、語言表達(dá)、直觀表征讓內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維顯性化. 左曉明等人認(rèn)為，數(shù)學(xué)可視化就是將抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象用可以看見的表征形式清楚、直白地呈現(xiàn)出來.

很多學(xué)者認(rèn)為，可視化需要借助一定的媒介與技術(shù). 張齊華認(rèn)為，思維可視化是通過一系列圖示技術(shù)，實(shí)現(xiàn)不可見思維的具現(xiàn)化. 張志勇認(rèn)為，可以通過GeoGebra軟件建立“可見的事物”與“抽象的思維”之間的直接聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)“看見不可見”. 張加紅借助圖形計(jì)算器，用數(shù)學(xué)對(duì)象的外部表征形式（圖形、現(xiàn)實(shí)情境）呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性.

綜上所述，數(shù)學(xué)可視化就是數(shù)學(xué)教學(xué)中師生思維的可視化，即在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過某種方式，將內(nèi)隱在師生頭腦中的思維過程外顯出來，使得抽象的知識(shí)圖象化、知識(shí)建構(gòu)直觀化、隱性知識(shí)顯性化、解題規(guī)律模型化、零散知識(shí)系統(tǒng)化、核心知識(shí)發(fā)散化.

（2）數(shù)學(xué)可視化的作用——促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與思維發(fā)展.

數(shù)學(xué)可視化對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和學(xué)生的思維發(fā)展都具有重要作用. 文獻(xiàn)分析顯示，數(shù)學(xué)可視化的具體作用如下.

① 有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，采用思維可視化手段，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，活躍課堂氛圍，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能得以激發(fā). 在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助GeoGebra軟件創(chuàng)設(shè)可視化教學(xué)情境，建構(gòu)數(shù)學(xué)探究場，讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，把“看不透”“說不清”的性質(zhì)展現(xiàn)出來，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高課堂教學(xué)的參與度.

② 有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué).

當(dāng)前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)存在學(xué)生理解流于表面，理解片面化、淺表化、碎片化等問題. 數(shù)學(xué)可視化可以化數(shù)學(xué)抽象為直觀具體，幫助學(xué)生直觀觀察和視覺感知，降低理解的難度 ，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解從經(jīng)驗(yàn)性理解走向衍生性理解、結(jié)構(gòu)化理解和抽象性理解，進(jìn)而促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化.

③ 有利于提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

借助信息技術(shù)將函數(shù)的動(dòng)態(tài)變化過程直觀呈現(xiàn)，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)與形的聯(lián)系的認(rèn)知. 利用可視化軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，具有信息技術(shù)的表征優(yōu)勢，可以將靜態(tài)的概念進(jìn)行動(dòng)態(tài)的演示，豐富幾何直觀的體驗(yàn)，提升直觀想象的悟性，讓學(xué)生在“數(shù)”與“形”的感悟中，逐步提升直觀想象素養(yǎng).

④ 有助于發(fā)展學(xué)生的思維能力.

表格、流程圖等可視化工具，有助于學(xué)生思維過程的顯性化，便于學(xué)生提煉、歸納、概括，幫助學(xué)生搭建從情境到數(shù)學(xué)符號(hào)和模型的橋梁. 學(xué)生以圖為工具，進(jìn)行判斷和推理，并不斷自我優(yōu)化，在此過程中，促進(jìn)零散的思維結(jié)構(gòu)化、具象思維抽象化，實(shí)現(xiàn)思維的自然生長和不斷進(jìn)階.

（3）數(shù)學(xué)可視化的關(guān)鍵——把握直觀與抽象的平衡.

數(shù)學(xué)可視化需要把握數(shù)學(xué)直觀與數(shù)學(xué)抽象之間的平衡. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，直觀是手段，抽象是歸宿. 數(shù)學(xué)可視化側(cè)重用圖示等形式直觀反映數(shù)學(xué)內(nèi)容，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要抽象思維，如何處理抽象與直觀的關(guān)系是數(shù)學(xué)可視化應(yīng)該關(guān)注的重點(diǎn). 在數(shù)學(xué)可視化過程中，要處理好以下問題.

第一，正確理解技術(shù). 章建躍博士指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要懂得如何有效利用信息技術(shù)幫助學(xué)生的學(xué)和教師的教. 由于數(shù)學(xué)內(nèi)容的復(fù)雜性使得單一表征不能有效反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)，可視化側(cè)重“形”的表征，而“形”的表征應(yīng)該以形的直觀性助推對(duì)“數(shù)”的理解為首要目的. 因此，可視化只是一種促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的表征手段，要將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合，真正發(fā)揮技術(shù)的力量.

第二，避免過度使用可視化教學(xué). 數(shù)學(xué)的抽象概括性和形式化表達(dá)，僅僅依靠可視化很難達(dá)成. 教師應(yīng)該清楚可視化的目的和作用，把握數(shù)學(xué)可視化呈現(xiàn)的時(shí)機(jī)和方式. 過度使用可視化教學(xué)容易造成學(xué)生對(duì)圖象的依賴，形成思維惰性，阻礙學(xué)生的思維層次從直觀向抽象的過渡. 因此，需要把握形式化的演繹推理和可視化的直觀感知之間的平衡.

第三，尋找數(shù)學(xué)可視化的著力點(diǎn). 數(shù)學(xué)可視化建立了數(shù)學(xué)直觀與數(shù)學(xué)抽象之間的紐帶，但可視化不是目的，而是策略和手段. 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以可視化為手段，幫助學(xué)生從直觀形象中探究數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系、尋找數(shù)學(xué)內(nèi)部具有普適性和本源性的方法邏輯，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、數(shù)學(xué)方法的內(nèi)涵和數(shù)學(xué)思想的內(nèi)在力量，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展. 高階思維是數(shù)學(xué)可視化的著力點(diǎn)，可視化工具幫助實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的幾何直觀，通過直觀把復(fù)雜的問題變得簡明、形象，易于學(xué)生理解，讓學(xué)生的思考更能反映問題的本質(zhì)，在順應(yīng)學(xué)生思維水平的過程中，發(fā)展學(xué)生的高階思維.

2. 數(shù)學(xué)可視化的方式

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中，如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的可視化？已有文獻(xiàn)分析顯示，研究者們從傳統(tǒng)教學(xué)的可視化嘗試、借助思維可視化工具、利用現(xiàn)代信息技術(shù)等方面進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)可視化的方式的研究.

（1）優(yōu)化傳統(tǒng)課堂教學(xué)，助推數(shù)學(xué)可視化.

對(duì)已有課堂教學(xué)進(jìn)行優(yōu)化，通過板書設(shè)計(jì)、任務(wù)設(shè)計(jì)、師生活動(dòng)設(shè)計(jì)的優(yōu)化，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的可視化.

① 優(yōu)化板書設(shè)計(jì).

板書是師生互動(dòng)的重要渠道，好的教學(xué)板書能反映整節(jié)課師生共同的思考路徑，給學(xué)生足夠的思考空間. 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助圖和文字相結(jié)合的形式進(jìn)行圖畫式板書，可以促進(jìn)學(xué)生的形象化理解;進(jìn)行導(dǎo)圖式板書能讓學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)從零散走向模塊化;簡明扼要的板書有助于反映教師教學(xué)中的深層次思考：教什么，為什么教，怎么教.

② 優(yōu)化任務(wù)設(shè)計(jì).

以問題串為載體，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)是中學(xué)數(shù)學(xué)的常用教學(xué)手段，通過對(duì)問題的優(yōu)化，以任務(wù)驅(qū)動(dòng)的形式，可以使學(xué)生在問題串的解決過程中逐步暴露思維過程. 引導(dǎo)學(xué)生畫數(shù)學(xué)，是小學(xué)課堂教學(xué)中常用的實(shí)現(xiàn)思維可視化的學(xué)習(xí)任務(wù). 通過畫算理、畫推理、畫意義、畫題意，明白算理本質(zhì)、明確運(yùn)算意義、明晰數(shù)量關(guān)系、明朗解題路徑.

③ 優(yōu)化活動(dòng)設(shè)計(jì).

設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，將學(xué)生的隱性思維外顯為圖形、符號(hào)、操作、語言等外在表征形式，并及時(shí)捕捉學(xué)生的思維困惑，為學(xué)生搭建思維的“支點(diǎn)”，將數(shù)學(xué)抽象思維變得形象可視，幫助學(xué)生在直觀形象中感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)化.

（2）借助思維可視化工具，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)可視化.

借助可視化工具進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維可視化的重要方式. 我國學(xué)者所運(yùn)用的思維可視化工具主要有：思維導(dǎo)圖、流程圖、概念圖、思維地圖、可視化表格.

① 思維導(dǎo)圖.

思維導(dǎo)圖是最常用的思維可視化工具. 思維導(dǎo)圖是由主題、節(jié)點(diǎn)、連線、圖象和色彩構(gòu)成的從多維度來表達(dá)、反映、修飾和組織相關(guān)領(lǐng)域知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖. 思維導(dǎo)圖的主要構(gòu)成要素是節(jié)點(diǎn)、連線. 繪制思維導(dǎo)圖時(shí)，從主節(jié)點(diǎn)（主題）開始，畫出下一層的子節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系用連線來反映. 在思維導(dǎo)圖中，可以清晰、直觀地讀出各節(jié)點(diǎn)之間的層次和內(nèi)在聯(lián)系. 一線數(shù)學(xué)教育工作者進(jìn)行了思維導(dǎo)圖的應(yīng)用研究. 張理科認(rèn)為，在引入新課、突破難點(diǎn)、課堂小結(jié)中，都可以借助思維導(dǎo)圖，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維可視化;王友智研究了如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用思維導(dǎo)圖;商慶平研究了如何借助思維導(dǎo)圖幫助數(shù)學(xué)概念教學(xué).

② 流程圖.

流程圖是實(shí)現(xiàn)思維可視化的工具之一. 它將思考的具體過程以一張圖的形式展現(xiàn)，在圖中可以直觀地看出對(duì)問題的思考路徑和思考要點(diǎn). 流程圖對(duì)邏輯推理的解題教學(xué)、數(shù)學(xué)知識(shí)生成過程的教學(xué)都很有幫助.

③ 概念圖.

概念圖是指利用圖示的方法把隱藏在人頭腦中的概念、思想、理論等顯性化、可視化. 概念圖通過節(jié)點(diǎn)和連線的組合來反映概念之間的內(nèi)在關(guān)系. 國內(nèi)學(xué)者對(duì)概念圖在教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了相關(guān)研究，盛朝陽和邵利利用概念圖進(jìn)行了“對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計(jì).

④ 思維地圖.

在1988年出版的 Expand Your Thinking 一書中首次公開提出思維地圖工具，它可以以圖示的形式詳細(xì)闡述某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并將多個(gè)概念放在一起分析其異同，研究各概念之間的關(guān)系. 目前常用的思維地圖包括畫圓圈、氣泡圖、數(shù)形圖.

⑤ 可視化表格.

可視化表格是一種樸素而常用的思維可視化工具. 它具有整理數(shù)據(jù)和知識(shí)點(diǎn)的功能，將兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)以表格的形式對(duì)比呈現(xiàn)，有利于學(xué)生掌握知識(shí). 此外，也可以借助可視化表格幫助教師備課，以便教師厘清上課思路.

（3）利用現(xiàn)代信息技術(shù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)可視化.

現(xiàn)代信息技術(shù)能突破傳統(tǒng)課堂教學(xué)和可視化工具的限制，為數(shù)學(xué)可視化的研究打開別樣的視角和廣闊的天地. 我國學(xué)者對(duì)現(xiàn)代信息技術(shù)幫助數(shù)學(xué)可視化的研究主要集中在可視化軟件的應(yīng)用和可視化計(jì)算器的應(yīng)用兩方面.

① 可視化軟件.

現(xiàn)有的數(shù)學(xué)可視化軟件主要包括Mindmaster、幾何畫板、GeoGebra等. Mindmaster是思維導(dǎo)圖的一種軟件形式，主要用于輔助在電腦中快速繪制思維導(dǎo)圖. 幾何畫板是一種比較古老的可視化軟件，能實(shí)現(xiàn)數(shù)和形的直觀展示. 實(shí)現(xiàn)思維可視化的軟件的研究中，更多聚焦GeoGebra軟件的應(yīng)用. GeoGebra軟件是處理代數(shù)、解析幾何、立體幾何等數(shù)學(xué)問題的開放源碼數(shù)學(xué)軟件，其功能超越幾何畫板，是數(shù)學(xué)可視化的重要“云梯”，是數(shù)學(xué)教學(xué)中的“詩意催化劑”，它可以幫助教師進(jìn)行動(dòng)態(tài)展示、幫助學(xué)生數(shù)學(xué)探究，能在數(shù)和形之間自由切換.

② 可視化計(jì)算器.

現(xiàn)有的可視化計(jì)算器是CASIO FX-CP400，它是一款集“數(shù)、形、表”于一屏的手持技術(shù)，能建立多元聯(lián)系表征的學(xué)習(xí)情境，建立符號(hào)、圖形、表格之間的聯(lián)系，它能幫助學(xué)生在直觀中理解數(shù)學(xué)，在體驗(yàn)中促進(jìn)內(nèi)化，在探究中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

3. 數(shù)學(xué)可視化的應(yīng)用

我國學(xué)者通過優(yōu)化傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)、借助可視化工具和現(xiàn)代信息技術(shù)進(jìn)行了數(shù)學(xué)思維可視化的教學(xué)實(shí)踐. 文獻(xiàn)分析顯示，研究者從思維可視化的教學(xué)路徑探索和教學(xué)模式建構(gòu)兩個(gè)角度進(jìn)行了數(shù)學(xué)可視化的應(yīng)用研究.

（1）教學(xué)路徑探索.

研究者在數(shù)學(xué)思維可視化的教學(xué)實(shí)踐中以具體案例為載體，進(jìn)行數(shù)學(xué)可視化的教學(xué)路徑探索. 蔣碧云進(jìn)行了基于“數(shù)學(xué)理解層次”的教學(xué)路徑探索，提出運(yùn)用思維可視化從橫向六個(gè)方面、縱向三個(gè)層次梯狀發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力. 張衛(wèi)星、商慶平分別研究了如何通過思維可視化進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué). 廖小琴研究了如何運(yùn)用可視化技術(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，提出情境可視化、圖形可視化、數(shù)據(jù)可視化在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的應(yīng)用及其意義. 岳峻、楊憶婷探索了如何借助數(shù)學(xué)可視化提升直觀想象素養(yǎng). 王友智、張理科分別進(jìn)行了思維導(dǎo)圖在教學(xué)中的應(yīng)用研究. 張志勇通過教學(xué)實(shí)踐，進(jìn)行了可視化情境的價(jià)值、設(shè)計(jì)原則和操作路徑研究，提出可視化情境設(shè)計(jì)應(yīng)遵循直觀形象原則、先行支架原則、知情達(dá)理原則、融通延展原則. 李婷運(yùn)用思維可視化模型進(jìn)行了“抽屜原理”的教學(xué). 莊嚴(yán)以“一次函數(shù)”的應(yīng)用為例，研究了思維可視化下三種數(shù)學(xué)語言如何轉(zhuǎn)化. 張雪娟以圓錐曲線為例，進(jìn)行了思維可視化在復(fù)習(xí)課中的教學(xué)路徑探索.

（2）教學(xué)模式建構(gòu).

一線中小學(xué)數(shù)學(xué)教師研究了以可視化為手段的教學(xué)模式重構(gòu). 廖小琴提出高中數(shù)學(xué)可視化U型教學(xué)模式. U型教學(xué)模式包括下沉、潛行、上浮三個(gè)過程，其中下沉是指知識(shí)的還原和內(nèi)化，潛行是指在數(shù)學(xué)探究中挖掘數(shù)學(xué)思想方法，上浮是指知識(shí)的外化和運(yùn)用. 張齊華提出了思維可視化視域下小學(xué)數(shù)學(xué)課堂之重構(gòu)，通過精準(zhǔn)加工、問題驅(qū)動(dòng)、深度對(duì)話，讓思維真正發(fā)生，通過動(dòng)筆畫、動(dòng)手做、動(dòng)嘴說，讓思維看得見. 葛敏輝提出以概念圖重構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂樣態(tài)，在教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)了“四圖一思”的教學(xué)模式：初學(xué)構(gòu)圖，互學(xué)論圖，合學(xué)正圖，拓學(xué)用圖，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中經(jīng)歷“構(gòu)圖、論圖、正圖、用圖”四個(gè)環(huán)節(jié).

二、研究前景展望

1. 研究現(xiàn)狀評(píng)析

基于上述研究現(xiàn)狀分析，我國現(xiàn)有關(guān)于數(shù)學(xué)可視化的研究具有如下特點(diǎn).

（1）重實(shí)踐，輕理論.

已有數(shù)學(xué)可視化的實(shí)踐研究較多，但是缺乏理論研究. 從研究者的構(gòu)成來看，目前該領(lǐng)域的研究者主要是中小學(xué)教師或碩士研究生，高校教授或?qū)Ｂ毧蒲腥藛T較少. 從研究內(nèi)容來看，已有的研究側(cè)重從教學(xué)實(shí)踐的角度研究如何運(yùn)用思維可視化工具和現(xiàn)代信息技術(shù)實(shí)現(xiàn)學(xué)生和教師數(shù)學(xué)思維的可視化，以及以某個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)為載體，探索運(yùn)用思維可視化手段改進(jìn)教學(xué)的路徑. 由此可見，數(shù)學(xué)可視化的研究主要集中在一線數(shù)學(xué)教師的教學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)提煉，缺乏必要的理論支撐.

（2）重思辨，輕實(shí)證.

關(guān)于數(shù)學(xué)可視化的作用的研究，主要基于研究者的經(jīng)驗(yàn)，從思辨的角度研究了數(shù)學(xué)可視化對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和思維能力發(fā)展的影響. 上述研究沒有用實(shí)證研究的方法，通過調(diào)查和實(shí)驗(yàn)，研究數(shù)學(xué)可視化對(duì)數(shù)學(xué)教師和學(xué)生的作用. 由此可見，已有數(shù)學(xué)可視化的作用的研究缺乏必要的信度和效度.

（3）重課堂，輕作業(yè).

已有的數(shù)學(xué)可視化的研究絕大多數(shù)聚焦課堂教學(xué)，缺乏對(duì)可視化作業(yè)的研究. 現(xiàn)有的研究多數(shù)從課堂教學(xué)出發(fā)，通過可視化手段，在課堂教學(xué)中促進(jìn)教師和學(xué)生內(nèi)隱的思維外顯化，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和方法的內(nèi)化. 作業(yè)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，如何在數(shù)學(xué)作業(yè)的設(shè)計(jì)與實(shí)施中反映師生的思維過程，并以作業(yè)為抓手促進(jìn)教學(xué)資源的整合的相關(guān)研究相對(duì)較少.

2. 進(jìn)一步研究展望

結(jié)合上述研究現(xiàn)狀的分析，后續(xù)研究可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行.

（1）建構(gòu)數(shù)學(xué)可視化的理論體系.

數(shù)學(xué)可視化的核心是數(shù)學(xué)思維的可視化，將已有的思維可視化的研究理論遷移到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，并建構(gòu)符合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的可視化的理論體系. 借助心理學(xué)原理，將腦科學(xué)、認(rèn)知發(fā)展理論、有意義學(xué)習(xí)等理論與數(shù)學(xué)可視化相結(jié)合，研究數(shù)學(xué)思維可視化的一般原則、實(shí)現(xiàn)方式和一般策略.

（2）建構(gòu)數(shù)學(xué)可視化的評(píng)價(jià)體系.

目前，關(guān)于數(shù)學(xué)可視化的價(jià)值和作用的研究偏少. 而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可視化手段對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)是否有幫助，需要建構(gòu)科學(xué)的評(píng)價(jià)體系. 在未來的研究中，研究者可以進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，通過對(duì)照組和實(shí)驗(yàn)組，以實(shí)證研究的方法，研究數(shù)學(xué)可視化對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和思維能力發(fā)展的作用.

（3）拓寬數(shù)學(xué)可視化的研究范圍.

從可視化課堂教學(xué)的研究拓展到可視化作業(yè)的研究. 研究作業(yè)設(shè)計(jì)中如何把內(nèi)隱的教師的思維過程呈現(xiàn)出來，并研究如何將學(xué)生作業(yè)中的思維過程清晰地展示出來. 從理論層面研究實(shí)現(xiàn)教師與學(xué)生思維可視化的作業(yè)設(shè)計(jì)的一般流程，并進(jìn)行可視化作業(yè)設(shè)計(jì)的實(shí)踐.

（4）重視數(shù)學(xué)可視化與核心素養(yǎng)的結(jié)合.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》要求發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 數(shù)學(xué)可視化是促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的策略之一，它應(yīng)服務(wù)于數(shù)學(xué)教學(xué)的總目標(biāo)，應(yīng)有利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展. 在未來的研究中，研究者可將數(shù)學(xué)可視化與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)相結(jié)合，研究如何通過數(shù)學(xué)可視化，更好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉濯源. 思維可視化與教育教學(xué)的有效整合[J]. 中國信息技術(shù)教育，2015（21）：5-7.

[2]張衛(wèi)星. 數(shù)形結(jié)合讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可視化[J]. 教學(xué)與管理，2020（9）：34-36.

[3]左曉明，田艷麗，贠超. 基于GeoGebra的數(shù)學(xué)教學(xué)全過程優(yōu)化研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（1）：99-102.

[4]張齊華.“思維可視化”視域下小學(xué)數(shù)學(xué)課堂之重建[J]. 江蘇教育，2017（25）：48-50.

[5]張志勇. 高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)：原則、途徑與策略——基于GeoGebra平臺(tái)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2018，57（7）：21-24，28.

[6]張加紅. 多元聯(lián)系表征視角下的高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2018（11）：15-18.

[7]蔣碧云. 基于“數(shù)學(xué)理解層次”的教學(xué)路徑探索：思維可視化的另一種打開方式[J]. 上海教育科研，2019（2）：68-71.

[8]宋宜秀. 基于“思維可視化”理論的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂重建分析[J]. 中國教育學(xué)刊，2019（S1）：49-51.

[9]翟洪亮，商再金. 利用GeoGebra軟件進(jìn)行可視化探究教學(xué)：以2020年高考數(shù)學(xué)北京卷20題為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2021（2）：52-55.

[10]葛敏輝. 以概念構(gòu)圖重構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂樣態(tài)：基于可視化學(xué)習(xí)的課堂新探索[J]. 上海教育科研，2021（11）：93-96.

[11]李大永. 淺議利用現(xiàn)代信息技術(shù)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)可視化的呈現(xiàn)方式和時(shí)機(jī)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（5）：35-37.

[12]岳峻，楊憶婷. 數(shù)學(xué)可視化：提升直觀想象素養(yǎng)的有效途徑[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2021（8）：25-27.

[13]吳春. 利用逐步形式化原則完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2020（9）：30-32.

[14]王玉潔. 利用GeoGebra軟件促進(jìn)學(xué)生的自主探究式學(xué)習(xí)：以指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題為例[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2021（10）：61-64.

[15]侯軍，袁志紅，魯楠. 高階思維是數(shù)學(xué)可視化教學(xué)的重要著力點(diǎn)[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2021（1）：5-7，42.

[16]張靜. 重塑數(shù)學(xué)教學(xué)板書的價(jià)值[J]. 教學(xué)與管理（上旬），2018（5）：32-33.

[17]夏忠. 畫數(shù)學(xué)，為學(xué)生提供可視化的思維路徑[J]. 教學(xué)與管理（中旬），2017（4）：47-49.

[18]董文彬. 基于幾何直觀的思維可視化策略[J]. 教學(xué)與管理（中旬），2019（9）：46-48.

[19]潘修鑾. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中凸顯“思維可視化”的策略[J]. 教學(xué)與管理（中旬），2021（1）：56-58.

[20]東尼·博贊. 思維導(dǎo)圖——喚醒創(chuàng)造天才的10種方法[M]. 周作宇，張學(xué)文，譯. 北京：外語教學(xué)與研究出版社，2005.

[21]張理科. 思維導(dǎo)圖在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（下旬），2019（8）：68-69.

[22]王友智. 淺析“思維導(dǎo)圖”在教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（下旬），2019（9）：21-22.

[23]商慶平. 基于思維導(dǎo)圖支架的數(shù)學(xué)概念可視化研究[J]. 教學(xué)與管理，2013（1）：63-65.

[24]吳憲芳. 中學(xué)數(shù)學(xué)教育概論[M]. 武漢：湖北教育出版社，2005.

[25]盛朝陽，邵利. 利用概念圖進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)：以“對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（下旬），2017（5）：1-2，5.

[26]沈利玲. 數(shù)學(xué)思維可視化工具的類型及其應(yīng)用[J]. 教學(xué)與管理（中旬），2021（6）：48-51.

[27]高淼. 思維可視化在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[D]. 蘇州：蘇州大學(xué)，2017.

[28]馬桂春. 淺談表格在數(shù)學(xué)教學(xué)中的四益[J]. 科技信息，2013（10）：149-150.

[29]廖小琴. 可視化技術(shù)下的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)：以一次“三角函數(shù)的簡單應(yīng)用”同課異構(gòu)活動(dòng)為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2021（4）：23-26.

[30]張志勇. 高中數(shù)學(xué)可視化情境的設(shè)計(jì)原則及實(shí)施路徑[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（3）：15-19，24.

[31]李婷. 運(yùn)用可視化思維模型探究“抽屜原理”[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2019（10）：1-4.

[32]莊嚴(yán). 思維可視化下的三種數(shù)學(xué)語言之轉(zhuǎn)化：“一次函數(shù)的應(yīng)用”之教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2021（7 / 8）：43-47.

[33]張雪娟. 思維可視化在圓錐曲線復(fù)習(xí)教學(xué)中的實(shí)驗(yàn)研究[D]. 昆明：云南師范大學(xué)，2017.

[34]孫芊芊. 小學(xué)數(shù)學(xué)思維可視化課堂教學(xué)的調(diào)查研究：以蘇州市N學(xué)校為例[D]. 南京：南京師范大學(xué)，2019.

[35]劉濯源. 思維可視化：減負(fù)增效的新支點(diǎn)[J]. 中小學(xué)管理，2014（6）：10-13.

[36]張維忠，唐慧榮. 可視化教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)的五大原則[J]. 電化教育研究，2010（10）：99-102.

[37]趙慧臣，王玥. 我國思維可視化研究的回顧與展望：基于中國知網(wǎng)2003—2013年論文的分析[J]. 中國電化教育，2014（4）：10-17.

[38]謝瑩. 思維可視化在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[D]. 武漢：華中師范大學(xué)，2017.

[39]左博文，周利君. 我國思維可視化研究回顧與展望：基于中國知網(wǎng)2014—2019年論文分析[J]. 中國教育信息化（上半月），2020（7）：14-20.

[40]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.