多法探求坐標(biāo)系內(nèi)平行四邊形存在性問(wèn)題

盧宗凱

遼寧省實(shí)驗(yàn)學(xué)校赤山校區(qū)何曉明老師的直播課《平行四邊形存在性》，選自遼寧教育學(xué)院“學(xué)到匯”公眾服務(wù)平臺(tái)“遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科教研核心團(tuán)隊(duì)名師公益學(xué)堂”，旨在引領(lǐng)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展，服務(wù)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。

轉(zhuǎn)化思想與分類(lèi)討論思想在何曉明老師的直播課《平行四邊形存在性問(wèn)題》中體現(xiàn)得淋漓盡致，一題多法使課堂充滿(mǎn)智慧. 平行四邊形既是矩形、菱形、正方形的基礎(chǔ)，又是全等三角形的延伸.

模型構(gòu)建

如圖1，AM = CN，DM = BN，則xD - xA = xC - xB， yD - yA = yC - yB.

如圖2，AM = CN，BM = DN，則xD - xA = xC - xB， yD - yA = yC - yB.

如圖3，AM = BN，CN = DM，則xD - xA = xC - xB， yD - yA = yC - yB.

如圖4， 在?ABCD中，xE = [ xA+xC2 ] = [ xB+xD2]， [yE] = [ yA+yC2 ] = [ yB+yD2]，

[xA+xC=xB+xD]，[ yA+yC=yB+yD].

很多有關(guān)平行四邊形的問(wèn)題都可以構(gòu)造全等三角形解決.

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)過(guò)平行四邊形的頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線，“化斜為直”是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

在分類(lèi)討論的基礎(chǔ)上，通過(guò)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)尋找橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的差相等進(jìn)行解題. 此外，還可以根據(jù)“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”的性質(zhì)，利用中點(diǎn)公式進(jìn)行無(wú)作圖的“盲求”.

解決平面直角坐標(biāo)系內(nèi)平行四邊形存在性問(wèn)題，無(wú)論“三定一動(dòng)”還是“兩定兩動(dòng)”，常通過(guò)對(duì)角線分類(lèi).

方法一：通過(guò)畫(huà)圖構(gòu)造全等，利用橫、縱坐標(biāo)差的關(guān)系解決問(wèn)題;

方法二：利用中點(diǎn)公式，建立二元一次方程組，從而解決問(wèn)題.

真題呈現(xiàn)

例1 如圖5，直線[y=3x-63]與y軸和x軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在直線AB上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)D在直線[y=3x]上，如果以點(diǎn)O，P，B，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

解析：易得B（6，0），P（4，[-23]）.

由于O，P，B是定點(diǎn)，D為動(dòng)點(diǎn)，OD[?]BP，

則OD和BP是一組對(duì)邊.

方法一：選擇對(duì)角線為標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi).

當(dāng)OB為對(duì)角線時(shí)，如圖6，

連接OP，過(guò)B作OP的平行線，構(gòu)造三角形全等，

由xD - xO = xB - xP，得xD - 0 = 6 - 4， 解得xD = 2;

由yD - yO = yB - yP，得yD - 0 = 0 - （[-23]），解得yD = [23].

當(dāng)OP為對(duì)角線時(shí)，如圖7，連接OP，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，

由xO - xD = xB - xP，得0 - xD = 6 - 4，解得xD = -2;

由yO - yD = yB - yP，得0 - yD = 0 - （[-23]），解得yD = [-23].

因此，點(diǎn)D的位置有兩種情況，D（2，[23]）或D（-2，[-23]）.

方法二：由于對(duì)邊確定，即OD = BP，則OD2 = BP2.

設(shè)D（m， [3m]），∴m2 + [（3m）]2 = 42，解得m = ±2，從而可求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

y = [3]x - 6[3]][y = [3]x][y][x][y][y = [3]x][y = [3]x - 6[3]][x]

變式延伸

例2 如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，1）. 點(diǎn)M為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為直線y = [-12x]上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)O，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

解析： 由題意可知直線AB的函數(shù)解析式為y = - [12]x + 1，

由條件可知BM[?]ON.

OB是定線段，可為菱形的邊，也可為菱形的對(duì)角線.

方法一：當(dāng)OB為邊時(shí)，如圖9，在直線AB上作BM = OB = 1，

可根據(jù)題意作四邊形OBMN為菱形，

過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，設(shè)點(diǎn)M為[m，-12m+1]，

由勾股定理得m2 + [1--12m+12] =1，解得m = [±255]，

則M [255，- 55+1]，M' [-255，55+1].

當(dāng)OB為對(duì)角線時(shí)，如圖10，MN也為對(duì)角線，

由“菱形的對(duì)角線互相垂直平分”得OB的中點(diǎn)為[0，12]，

所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為[12]，

將y = [12]代入y = - [12]x + 1，得M [1，12].

方法二：不畫(huà)圖即可得B（0，1），O（0，0），

設(shè)M [m，-12m+1]，N [n，-12n]，

用中點(diǎn)公式建立二元一次方程組求解.

（作者單位：遼寧省實(shí)驗(yàn)學(xué)校）