一堂新授課的教學(xué)設(shè)計(jì)探究

徐紅峰

摘要：教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣對(duì)教學(xué)質(zhì)量的提高、學(xué)生思維能力的培養(yǎng)、學(xué)生積極性的調(diào)動(dòng)具有重要意義.情景導(dǎo)入，精選例題，立足教材是教學(xué)設(shè)計(jì)思考重要的三方面.

關(guān)鍵詞：教學(xué)設(shè)計(jì);方案對(duì)比;反思

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）21-0035-03

在我們學(xué)校的“成才杯”教學(xué)大賽中，通過(guò)課題《直線與圓的位置關(guān)系》第一課時(shí)，兩位骨干教師展示了自己的教學(xué)風(fēng)采.教學(xué)設(shè)計(jì)各有自身的特點(diǎn)，但也存在一些差異.教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣對(duì)教學(xué)質(zhì)量的提高、學(xué)生思維能力的培養(yǎng)、學(xué)生積極性的調(diào)動(dòng)具有重要意義.在新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施的今天，如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)？本文主要從教學(xué)設(shè)計(jì)的角度進(jìn)行了一些探索.

1本課內(nèi)容解讀及教學(xué)目標(biāo)制定

由于我們學(xué)校是江蘇省重點(diǎn)中學(xué)，是全縣最好的生源，學(xué)生基本具有處理簡(jiǎn)單數(shù)形結(jié)合問題的能力.本節(jié)課的核心內(nèi)容是如何借助直線方程和圓的方程判斷直線和圓之間的位置關(guān)系，如何考慮由形變到數(shù)？事實(shí)上，這也是本節(jié)課的難點(diǎn).直線與圓的位置關(guān)系的內(nèi)容也包含了豐富的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生能夠感受分析研究的一般過(guò)程，反映坐標(biāo)思維，深刻理解代數(shù)的重要性，進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想，從數(shù)與形的角度分析解題的思維過(guò)程.依據(jù)上面的解讀制定如下教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重難點(diǎn).

（1）知識(shí)目標(biāo)：理解直線與圓的三種位置關(guān)系;掌握用圓心到直線的距離d與圓的半徑r比較，以及通過(guò)方程組解的個(gè)數(shù)判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法.

（2）能力目標(biāo)：通過(guò)對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的探究活動(dòng)，經(jīng)歷知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究、手動(dòng)實(shí)踐、合作交流的學(xué)習(xí)方式;強(qiáng)化學(xué)生用坐標(biāo)法解決幾何問題的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和靈活解決問題的能力.

（3）素養(yǎng)目標(biāo)：通過(guò)對(duì)本節(jié)課知識(shí)的探究活動(dòng)，加深學(xué)生對(duì)坐標(biāo)法解決幾何問題的認(rèn)識(shí)，從而領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)探索中成功的喜悅，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神.

（4）教學(xué)重點(diǎn)：直線與圓的三種位置關(guān)系及其判定方法.

（5）教學(xué)難點(diǎn)：用代數(shù)方法探求直線與圓的位置關(guān)系的過(guò)程.

2教學(xué)環(huán)節(jié)

2.1方案一

2.1.1創(chuàng)設(shè)情境

【情景導(dǎo)入】（展示日出的動(dòng)圖）白居易在詩(shī)中描寫道：“日出江花紅勝火，春來(lái)江水綠如藍(lán)”，它生動(dòng)地描繪了日出的絢麗景象.大家有沒有想過(guò)，在日出的過(guò)程中，其實(shí)也蘊(yùn)含了有趣的數(shù)學(xué)知識(shí).

問題1如果我們把太陽(yáng)近似看作一個(gè)圓，海天交線看做一條直線，請(qǐng)大家觀察一下，在日出的過(guò)程中，體現(xiàn)了直線與圓的哪些位置關(guān)系？

2.1.2知識(shí)回顧

問題2（呈現(xiàn)直線與圓的三種位置關(guān)系的圖象）對(duì)于這三種位置關(guān)系，圖象呈現(xiàn)出什么樣的幾何特征呢？在初中，我們是怎么判斷直線與圓的位置關(guān)系的？

問題3除了公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的不同，我們還能直觀地看到，從相交到相離，圓和直線的“距離”在“變遠(yuǎn)”，如何從這個(gè)角度來(lái)刻畫直線與圓的位置關(guān)系呢？

問題4這兩種判定方法都是從幾何特征來(lái)認(rèn)識(shí)直線與圓的位置關(guān)系，前面我們學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，已知直線和圓的方程，如何判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？下面，我們將通過(guò)具體例子來(lái)進(jìn)行研究.

2.1.3探究典例

例1已知直線l：3x+y-6=0和圓心為C的圓：x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系;如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng).

方法總結(jié)

直線與圓位置關(guān)系的判定：

求直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的兩種方法：

（1）幾何法：如圖1，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為|AB|，則有（|AB|2）2+d2=r2，即|AB|=2r2-d2.

（2）代數(shù)法：如圖2所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2.

例2過(guò)點(diǎn)P（2，1）作圓O：x2+y2=1的切線l，求切線l的方程.

2.1.4課堂練習(xí)

已知圓C：（x-2）2+（y-3）2=4外有一點(diǎn)

P（4，-1），過(guò)點(diǎn)P作直線l.

（1）當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，求直線l的方程;

（2）當(dāng)直線l的傾斜角為135°時(shí)，求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng).

2.1.5課堂小結(jié)

（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系.（幾何法、代數(shù)法）

（2）求直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng).（幾何法、代數(shù)法）

（3）求過(guò)某一點(diǎn)的圓的切線方程.（點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外）

2.2方案二

2.2.1創(chuàng)設(shè)情境

問題1一艘輪船正沿著南偏西30°的方向直線航行時(shí)，接到氣象預(yù)報(bào)：就在此刻位于輪船的正南方100m處有個(gè)旋渦，它的影響范圍是半徑為20m的圓形區(qū)域，問如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會(huì)受到旋渦的影響？（假設(shè)旋渦沒有移動(dòng)）

2.2.2概念深化

問題2請(qǐng)你回憶初中平面幾何知識(shí)，直線與圓的位置關(guān)系有哪些？

（課件）

2.2.3小試牛刀

例1試確定下列直線與圓的位置關(guān)系：

（1）直線m：x=2;圓C：x2+y2=4;

（2）直線m：x=-1;圓C：x2+y2=4;

（3）直線m：y=4;圓C：x2+y2=4.

例2判斷直線l：x+y=2與圓C：x2+y2=1的位置關(guān)系.

問題3怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系？這個(gè)過(guò)程中蘊(yùn)含著哪些數(shù)學(xué)思想方法？

問題4回到剛上課時(shí)的例題，解決引例提出的問題.

2.2.4變式引申

例3已知直線l：y=x+b與圓C：x2+y2=4，求當(dāng)b為何值時(shí)，圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)？只有一個(gè)公共點(diǎn)？沒有公共點(diǎn)？

變式1：將圓C：x2+y2=4加條件x≥0;

變式2：將圓C：x2+y2=4加條件y≤0;

變式3：將變式2中的直線l改為y=b（x+4）;

變式4：將變式3中的直線l改為y=b（x+4）+4

2.2.5方法鞏固

例4已知直線l：3x+y-6=0，圓C：x2+y2-2y-4=0.

（1）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系;若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo).

（2）如果直線l與圓C相交，試求出弦長(zhǎng).

問題5上述例題每個(gè)問題能找到幾種方法求解？每種方法的依據(jù)是什么？體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法？2.2.6總結(jié)歸納

問題6請(qǐng)梳理一下本節(jié)課的內(nèi)容，可以從知識(shí)、技能、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)等方面進(jìn)行？此外你從其他同學(xué)那里又學(xué)到了什么，以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中需要注意什么？

2.2.7拓展思考

直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）的相交弦長(zhǎng)公式？

3方案的對(duì)比研究

方案一中問題1的設(shè)計(jì)主要讓學(xué)生知道，直線與圓的位置關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中有非常多的實(shí)例，通過(guò)日出的圖象來(lái)引入本節(jié)課的內(nèi)容，直觀且自然，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是源于實(shí)際生活的.通過(guò)回顧初中時(shí)判定直線與圓位置關(guān)系的方法，調(diào)動(dòng)學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在定性描述的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考如何定量刻畫，從而引出本節(jié)課的主要內(nèi)容.通過(guò)對(duì)例2的探究，掌握求過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線方程的兩種方法，再通過(guò)變式將問題進(jìn)行拓展，總結(jié)出點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上和點(diǎn)在圓內(nèi)的情況.通過(guò)課堂練習(xí)，運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)知識(shí)來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的與直線與圓位置關(guān)系相關(guān)的問題（求切線方程、求弦長(zhǎng)），檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，鞏固所學(xué)內(nèi)容.總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生形成自己的知識(shí)框架和結(jié)構(gòu).方案二的情境創(chuàng)設(shè)，說(shuō)明數(shù)學(xué)源于生活，可以建模轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來(lái)解，引出今天所學(xué)知識(shí)解決這個(gè)問題的必要性.問題2使學(xué)生回憶初中的數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)抽象概括能力.例題1訓(xùn)練意圖是在形成方法前，先讓學(xué)生初步體會(huì)如何判斷直線與圓位置關(guān)系，為形成方法做準(zhǔn)備.例題2從“形”和“方程”的角度，類比求交點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)到直線距離公式.例題3讓學(xué)生體會(huì)兩種解決直線與圓的位置關(guān)系方法的利弊，在做題中進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪x擇.通過(guò)變式再一次感受數(shù)形結(jié)合的解題技巧和魅力所在，進(jìn)一步深化“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.例題4體會(huì)判斷直線與圓的位置關(guān)系的思想方法，關(guān)注量與量之間的關(guān)系.使學(xué)生再一次熟悉判斷直線與圓的位置關(guān)系的基本步驟.提高對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和運(yùn)用.最后回顧、反思、總結(jié)形成知識(shí)體系.

學(xué)校通過(guò)教學(xué)大賽，主要讓教師要明確，教學(xué)的設(shè)計(jì)要充分體現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)分層設(shè)計(jì)、教學(xué)環(huán)節(jié)要分步遞進(jìn).基于新的課程標(biāo)準(zhǔn)，新教材內(nèi)容、新的學(xué)情基礎(chǔ)上精準(zhǔn)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)，并用問題串的形式層層遞進(jìn)，讓所有學(xué)生積極參與到課堂中來(lái)，師生一同勾勒出有靈魂的知識(shí)體系.大賽落下帷幕，大賽引發(fā)思考還在繼續(xù)，只有不斷反思和總結(jié)并改進(jìn)，才能真正把優(yōu)秀的教學(xué)設(shè)計(jì)落實(shí)到實(shí)處，學(xué)生在課堂有真收獲，教師在教學(xué)中有真長(zhǎng)進(jìn)，師生共同提高.

參考文獻(xiàn)：

[1]鄒蓓蓓.新課改對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的影響分析[J].高考，2021（33）：65-66.

[責(zé)任編輯：李璟]