立足構(gòu)圖 分類突破

邵樂(lè)華

[摘 ?要] 剛復(fù)習(xí)完某知識(shí)，學(xué)生面對(duì)考查此知識(shí)的復(fù)雜問(wèn)題時(shí)卻無(wú)從下手，這種現(xiàn)象經(jīng)常出現(xiàn). 文章以一道期末試卷壓軸題為例，采用一定的教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生走出解題困境，并從中積累解題經(jīng)驗(yàn)，促使他們提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 壓軸題;初中;教學(xué);反思

在一次期末考試中，有一道壓軸題，許多學(xué)生感到棘手，能全做對(duì)的學(xué)生少之又少. 剛復(fù)習(xí)完與此題相關(guān)的知識(shí)，為什么學(xué)生會(huì)一籌莫展呢？筆者對(duì)此題進(jìn)行了認(rèn)真研究，并思考了如下問(wèn)題：如何引導(dǎo)學(xué)生走出解題困境？如何從中抽出基本幾何模型？如何從中提煉基本數(shù)學(xué)思想方法？如何讓學(xué)生從中積累解題經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升？

原題再現(xiàn)

原題如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，4），點(diǎn)B是x軸正半軸上一點(diǎn)，連接AB，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥AB，交x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，連接AD，BD，以AD為直徑作☉Q交BD于點(diǎn)E，連接AE并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F，連接DF.

（1）求證：AE=AO;

（2）若AB-BO=2，求tan∠AFC的值;

（3）若△DEF與△AEB相似，求EF的值.

此題以平面直角坐標(biāo)系為背景，把圓與三角形進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理等數(shù)學(xué)主干知識(shí). 同時(shí)，要求學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類討論思想、模型思想解決問(wèn)題. 其中第（2）題求tan∠AFC的值思維含量比較高，學(xué)生需要利用相似三角形的性質(zhì)，逐步轉(zhuǎn)化線段的比;第（3）題求EF的長(zhǎng)，需要分類討論，且每一種情況都需要找到與線段EF相等的線段. 那么解決此題，應(yīng)如何構(gòu)圖、如何轉(zhuǎn)化呢？有何規(guī)律？

解題教學(xué)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出，解題退到最原始的狀態(tài)，是解決問(wèn)題的一個(gè)訣竅. 最原始的狀態(tài)是什么呢？就是原題中的關(guān)鍵詞，包括圖形中的點(diǎn)與線段，圖形的相對(duì)位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，代數(shù)的特征與圖形的對(duì)稱性等，這些是數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)，既能促使解題思路自然形成，又揭示了解題方案的形成過(guò)程. 如“AC⊥AB”“點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)”“以AD為直徑作☉Q”都是試題的重要信息，是思維的起點(diǎn).

1. 審題

審題是解題的首要環(huán)節(jié). 教學(xué)中，教師應(yīng)重視審題環(huán)節(jié)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)審題. 問(wèn)題的結(jié)構(gòu)形式可以分為兩種，一是并列式問(wèn)題結(jié)構(gòu)，即從原始題干出發(fā)，提出兩個(gè)或多個(gè)并列的問(wèn)題;二是遞進(jìn)式問(wèn)題結(jié)構(gòu)，即從原始題干出發(fā)，所提問(wèn)題的難度不斷增加，解決前一個(gè)問(wèn)題能為解決后一個(gè)問(wèn)題奠定基礎(chǔ).

2. 追本溯源

仔細(xì)品味這道題，會(huì)發(fā)現(xiàn)其基本素材源于教材的下面幾個(gè)內(nèi)容：

①如圖2所示，AB是☉O的直徑，∠ABT=45°，且AT=AB，求證：AT是☉O的切線;

②如圖3所示，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，求證：△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC;

③如圖4所示，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，求∠DBC的度數(shù).

命題人將教材的例、習(xí)題進(jìn)行組合，把這些圖形放在同一個(gè)圖形中，并以平面直角坐標(biāo)系為背景，將三角形、銳角三角函數(shù)與圓融合在一起. 對(duì)于原題的第（3）題，由于兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，直角必須對(duì)應(yīng)相等，所以只需要分兩種情況進(jìn)行討論.

3. 解法分析

對(duì)原題進(jìn)行解法教學(xué)時(shí)，教師可提出如下3個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題1：解決平面直角坐標(biāo)系中的幾何問(wèn)題時(shí)，應(yīng)如何轉(zhuǎn)化條件？

（預(yù)設(shè)答案：把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)，把斜放的直角三角形通過(guò)“改斜為正”轉(zhuǎn)化為“一線三直角”模型，利用兩坐標(biāo)軸互相垂直構(gòu)造直角三角形）

問(wèn)題2：如何解決與圓相關(guān)的問(wèn)題？

（預(yù)設(shè)答案：利用圓的性質(zhì)，把有關(guān)圓的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形問(wèn)題，然后利用三角形或四邊形的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)或角度）

問(wèn)題3：如何求某個(gè)銳角的三角函數(shù)值？未指明對(duì)應(yīng)關(guān)系的兩個(gè)直角三角形相似，可能有幾種情況？

（預(yù)設(shè)答案：欲求某個(gè)銳角的三角函數(shù)值，必須把這個(gè)銳角放置在直角三角形中，轉(zhuǎn)化為直角三角形邊與邊的比. 當(dāng)兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，可能有兩種情況）

原題答案（1）因?yàn)辄c(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，AB⊥AC，所以AB是線段CD的垂直平分線. 根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得BC=BD. 根據(jù)等邊對(duì)等角，得∠ACB=∠ADB. 又由條件易知∠BAC=∠BAD=90°，所以∠ABO=∠ABE. 因?yàn)锳D是☉Q的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得∠AED=90°. 所以∠AEB=90°. 因?yàn)椤螦OB=∠AEB=90°，∠ABO=∠ABE，AB=AB，由角角邊定理，得△ABO≌△ABE. 所以AE=AO.

（2）由（1）知△ABO≌△ABE，所以∠OAB=∠EAB. 根據(jù)同角的余角相等，得∠OAB=∠ACF，所以∠EAB=∠ACF. 又∠AFB=∠AFB，所以△AFB∽△CFA. 所以=. 設(shè)BO=x，則AB=2+x. 在Rt△ABO中，由勾股定理，得AB2=AO2+BO2，即（x+2）2=42+x2，解得x=3. 所以BO=3，AB=5. 所以tan∠ACF===. 設(shè)BF=3y，則AF=4y. 在Rt△AOF中，由勾股定理，得AF2=AO2+OF2，即（4y）2=42+（3y+3）2，解得y=或y=-1（不合題意，舍去）. 所以BF=，OF=. 在Rt△AOF中，由正切函數(shù)的定義，得tan∠AFC===.

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)△DEF∽△BEA時(shí)，∠BAE=∠DFE，所以AB∥DF. 所以∠ADF=∠CAB=90°. 過(guò)點(diǎn)F作FN⊥x軸，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥y軸交y軸于點(diǎn)M，DM與FN交于點(diǎn)N，如圖5所示，則四邊形MNFO為矩形，∠DMA=∠COA=90°. 因?yàn)椤螹AD=∠OAC，DA=CA，根據(jù)角角邊定理，得△DMA≌△COA. 所以AM=AO=4，∠MDA=∠OCA. 因?yàn)椤螦CB=∠ADB，所以∠MDA=∠ADB. 根據(jù)等角的余角相等，得∠FDE=∠FDN. 因?yàn)镕E⊥BD，F(xiàn)N⊥MN，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得EF=FN=OM=8. ②當(dāng)△DEF∽△AEB時(shí)，∠FDE=∠BAE. 根據(jù)同角的余角相等，得∠BAE=∠ADB，所以∠ADB=∠FDE. 由等角的余角相等，得∠DAF=∠DFA. 所以AD=DF. 因?yàn)镈B⊥AF，根據(jù)等腰三角形三線合一，得EF=AE=4. 綜上所述，若△DEF與△AEB相似，EF的值為4或8.

評(píng)注解決第（2）題時(shí)，上述解法用到了兩個(gè)相似模型，一是射影定理模型;二是反“A型”相似模型. 求線段長(zhǎng)度時(shí)用到了兩種基本方法，一是利用勾股定理建立方程求線段的長(zhǎng);二是利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求線段的長(zhǎng). 在進(jìn)行等比轉(zhuǎn)化時(shí)，利用的是等角轉(zhuǎn)化. 解決第（3）題時(shí)，上述解法首先應(yīng)用分類討論思想，把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分解為兩個(gè)小問(wèn)題：△DEF∽△BEA與△DEF∽△AEB. 解決△DEF∽△BEA時(shí)，構(gòu)建了“一線三直角”幾何模型;解決△DEF∽△AEB時(shí)，構(gòu)建了等腰三角形基本圖形.

4. 模型、方法提煉

（1）全等模型

軸對(duì)稱型：△AOB≌△AEB，△ACB≌△ADB，△EDF≌△NDF;

中心對(duì)稱型：△AOC≌△AMD.

（2）相似模型

“三垂直”模型：△AOC∽△BOA∽△BAC;

“反A型”模型：△ABF∽△CAF;

“X型”模型：△AEB∽△FED，△AEB∽△DEF;

“一線三直角”模型：△MAD∽△NDF.

（3）特殊三角形模型

等腰三角形BCD，等腰三角形ADF，直角三角形ABC，直角三角形AOC，直角三角形AOB，直角三角形AED，直角三角形AOF，直角三角形MAD，直角三角形DNF等.

（4）運(yùn)用勾股定理

在直角三角形中，已知一邊及另外兩邊的關(guān)系，可以利用勾股定理求其他兩邊的長(zhǎng).

（5）等角對(duì)等比

比如，當(dāng)∠OAB=∠ACF時(shí)，tan∠OAB=tan∠ACF.

5. 鞏固提升

教學(xué)此題后，為了讓學(xué)生鞏固其中運(yùn)用的知識(shí)、方法與技巧，教師可設(shè)計(jì)如下試題供學(xué)生練習(xí).

（1）如圖6所示，AB為☉O的直徑，C，D是☉O上的兩點(diǎn)，AC=BC，AD的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E. 若∠DAB=20°，求∠E的度數(shù).

（2）如圖7所示，AB是☉O的直徑，D是☉O上一點(diǎn)，DE是☉O的切線，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥DE，垂足為F，分別延長(zhǎng)AD，BF交于點(diǎn)C.

①求證：∠A=∠C;

②當(dāng)BF=1，DF=2時(shí)，求☉O的直徑.

（3）如圖8所示，☉O是矩形ABCD的外接圓，∠ABC的平分線分別交AC，☉O，CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、點(diǎn)F和點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作☉O的切線FH交CG于點(diǎn)H.

①求證：FH∥AC;

②若BA=BE，tan∠BAC=3，OE=2，求FH的長(zhǎng).

教后反思

1. 立足圖形構(gòu)造，為學(xué)生排憂解難

由于個(gè)體差異，學(xué)生解決同一問(wèn)題時(shí)所出現(xiàn)的問(wèn)題也有所不同，或知識(shí)斷層，或沒(méi)有發(fā)現(xiàn)隱含條件，或計(jì)算失誤等. 教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分步踩點(diǎn)得分，加強(qiáng)基本圖形的構(gòu)造，促使學(xué)生整合條件，利用圖形思考與探究，進(jìn)而把握解題的正確方向.

2. 加強(qiáng)變式練習(xí)，拓展思維空間

數(shù)學(xué)家希伯特指出，當(dāng)解決一個(gè)問(wèn)題時(shí)，一系列的新問(wèn)題也隨之誕生，當(dāng)解題成功時(shí)，要善于提出新問(wèn)題. 因此，教學(xué)中，教師不能就題論題，應(yīng)深入領(lǐng)悟典型試題的編寫(xiě)意圖，通過(guò)一題多解、一題多問(wèn)、一題多變、多題一解等拓展學(xué)生的思維空間. 如本題就進(jìn)行了一題多問(wèn)、一題多變，使習(xí)題教學(xué)從淺層走向深層.

3. 關(guān)注思想方法，提升學(xué)生素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的高度概括. 在教學(xué)中，教師應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的提煉與滲透，從而提升學(xué)生的核心素養(yǎng). 如本題教學(xué)滲透了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想及分類討論思想.