例析函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用

趙旭東

函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)中的重要思想，且在解答高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中應(yīng)用廣泛.在數(shù)學(xué)中，函數(shù)和方程是兩個(gè)不同的概念，但是它們之間的聯(lián)系緊密，如函數(shù) y = f （x）的零點(diǎn)即為 f （x）=0的根;方程根的個(gè)數(shù)、范圍可由函數(shù)的圖象來(lái)進(jìn)行判斷.因此解題時(shí)可以通過(guò)構(gòu)造方程或函數(shù)模型，把方程和函數(shù)相結(jié)合，將二者進(jìn)行合理的互化，靈活運(yùn)用函數(shù)的圖象、性質(zhì)以及方程的求根公式、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解題.下面結(jié)合實(shí)例，談一談函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用.

一、在解答數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用

數(shù)列是一種特殊的函數(shù).在解答數(shù)列問(wèn)題時(shí)，可將數(shù)列的和式、通項(xiàng)公式看作關(guān)于自然數(shù) n 的函數(shù)，通過(guò)構(gòu)建方程，研究函數(shù)的性質(zhì)，以便利用二次函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及方程的性質(zhì)來(lái)解題.

解答第一個(gè)問(wèn)題，需根據(jù)已知遞推式建立方程，通過(guò)解方程來(lái)得到 an +1、an 的關(guān)系式，從而根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得問(wèn)題的答案;對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，需根據(jù)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)公式求得 Tn ，將要比較的兩式化簡(jiǎn)，再通過(guò)作差來(lái)構(gòu)造函數(shù) f （x），利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù) f （x）的最值，進(jìn)而比較出兩式的大小.利用函數(shù)和方程思想解答數(shù)列問(wèn)題，需將問(wèn)題中存在的多個(gè)數(shù)量關(guān)系結(jié)合在一起，構(gòu)建關(guān)于變量 n 的函數(shù)關(guān)系式或方程.

二、在解答不等式問(wèn)題中的應(yīng)用

函數(shù)與方程思想常用于求不等式恒成立問(wèn)題中變量的取值范圍、解不等式等.運(yùn)用函數(shù)與方程思想解答不等式問(wèn)題，往往需根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立方程（組）或者函數(shù)式，通過(guò)討論含參數(shù)方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，從而求得問(wèn)題的答案.

我們根據(jù)函數(shù)與方程思想，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.本題中的函數(shù)零點(diǎn)盡管不能夠確定，但可以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理大致確定零點(diǎn)所在的位置，利用設(shè)而不求法，建立方程，得到零點(diǎn)，再在各個(gè)區(qū)間上討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最值，進(jìn)而求得 k 的最大整數(shù)值.

三、在解答解三角形問(wèn)題中的應(yīng)用

解答解三角形問(wèn)題通常要運(yùn)用正余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)的性質(zhì).在解答解三角形的范圍問(wèn)題、最值問(wèn)題時(shí)，可利用函數(shù)與方程的思想建立關(guān)于邊角的方程，構(gòu)造關(guān)于變量的函數(shù)式，這樣便可通過(guò)解方程，利用函數(shù)的性質(zhì)，快速求得問(wèn)題的答案.

對(duì)于本題，我們根據(jù)已知條件很難直接求得 AB、 BC 及其最大值，于是引入?yún)?shù)θ，根據(jù)正弦定理構(gòu)造方程求得 AB、BC ，得到關(guān)于θ三角函數(shù)式，便可根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得問(wèn)題的答案.

四、在解答解析幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

解析幾何中的曲線方程均為二次方程，因此在解答解析幾何問(wèn)題時(shí)，可運(yùn)用函數(shù)與方程思想，構(gòu)造一元二次方程，利用其判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式來(lái)解題.對(duì)于與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題、最值問(wèn)題、取值范圍問(wèn)題均可設(shè)出變量，構(gòu)造函數(shù)模型，利用函數(shù)的性質(zhì)和圖象來(lái)分析問(wèn)題.

解答本題，需先將直線與拋物線方程聯(lián)立，構(gòu)造一元二次方程，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得 M 點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)圓上切線的性質(zhì)建立方程，利用一元二次方程的判別式和函數(shù)的單調(diào)性求得 r 的取值范圍.

函數(shù)與方程的思想都需用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)來(lái)對(duì)問(wèn)題中的數(shù)量、幾何關(guān)系進(jìn)行分析、研究.運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題，關(guān)鍵要根據(jù)題意構(gòu)造出合適的方程（組），建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，將數(shù)列問(wèn)題、不等式問(wèn)題、解三角形問(wèn)題、解析幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題，根據(jù)方程與函數(shù)之間的關(guān)系將方程、函數(shù)互化，通過(guò)解方程或方程組，利用一元二次方程的性質(zhì)和函數(shù)的有界性、單調(diào)性來(lái)求得問(wèn)題的答案.