感知新舊兩版教材變化優(yōu)化三角函數(shù)教學(xué)

羅夢瑋 雷丹

[摘? 要] 通過對新舊兩版教材（高中數(shù)學(xué)人教A版）中的“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像”這節(jié)知識內(nèi)容的對比分析研究，感受新舊兩版教材的變化，結(jié)合新舊兩版教材的特點(diǎn)，提出了相關(guān)教學(xué)建議，以期進(jìn)一步優(yōu)化教學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 新舊兩版教材;三角函數(shù);單位圓

以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》于2018年1月正式頒布，而以該課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)的各新版教材于2019年秋季也陸續(xù)出版和投入使用[1]. 此次修訂后的新版教材的結(jié)構(gòu)體系發(fā)生了重大改變，新版教材打破了舊版教材的模塊化結(jié)構(gòu)和螺旋式上升的安排，保證了數(shù)學(xué)學(xué)科的結(jié)構(gòu)體系和知識的系統(tǒng)性，使內(nèi)容的邏輯順序更加合理[2]. 其結(jié)構(gòu)特色主要體現(xiàn)為整體性、過程性、聯(lián)系性、選擇性、融合性和實(shí)踐性[3]. 本文以新版教材必修第一冊第五章第四節(jié)第一小節(jié)“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像”的內(nèi)容為例，試對人教A版高中數(shù)學(xué)新舊兩版教材作對比分析，并給出相關(guān)的教學(xué)建議.

[?]新版教材中的“5.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像”的內(nèi)容變化

1. 注重知識的整體建構(gòu)，凸顯知識間的聯(lián)系

與舊版教材明顯不同的一點(diǎn)在于，新版教材研究思路非常清晰，每一章均以研究一個(gè)數(shù)學(xué)對象的基本思路為主線進(jìn)行知識建構(gòu). 在新版教材必修第一冊第五章中，研究對象是“三角函數(shù)”，“三角函數(shù)”又屬于“函數(shù)”的范疇，因此整章對三角函數(shù)的研究基本遵循了函數(shù)的研究思路，即背景—概念—圖像與性質(zhì)—應(yīng)用. 具體就本節(jié)內(nèi)容而言，研究圖像伊始，新版教材的節(jié)引言中就明確提出了這樣一個(gè)問題：“前面給出了三角函數(shù)的定義，如何從定義出發(fā)研究這個(gè)函數(shù)呢？”該問題的提出使得學(xué)生將目光不得不轉(zhuǎn)向已有的研究方法，即先畫出函數(shù)圖像，通過觀察圖像的特征，獲得關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的一些結(jié)論. 由此對三角函數(shù)圖像的研究顯得順理成章，同時(shí)在學(xué)生的腦海中再一次對函數(shù)的研究思路、方法進(jìn)行了建構(gòu). 研究本節(jié)的關(guān)鍵是從三角函數(shù)的定義出發(fā)，以單位圓模型為研究手段，這樣既能在幾何直觀下研究三角函數(shù)的性質(zhì)，也能通過三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)一步把握三角函數(shù)圖像的特征. 最后利用信息技術(shù)更快捷、更準(zhǔn)確地作出三角函數(shù)的圖像，這種動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)的變化過程，更有利于學(xué)生對三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)進(jìn)行理解與掌握.

2. 注重研究方法的滲透，簡化課堂的教學(xué)過程

新舊兩版教材均將本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)放在了正弦函數(shù)圖像的探究過程上，并且兩版教材均借助了單位圓來描繪正弦函數(shù)的圖像，但是兩版教材對探究過程的設(shè)計(jì)卻有一定程度的不同. 不同之處在于：

其一，舊版教材先進(jìn)行了“簡諧運(yùn)動(dòng)”的實(shí)驗(yàn)，學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)可以得到對正弦函數(shù)圖像的直觀印象，再利用正弦線畫出比較精確的正弦函數(shù)圖像;新版教材刪除了“簡諧運(yùn)動(dòng)”實(shí)驗(yàn)的情境引入. “簡諧運(yùn)動(dòng)”實(shí)驗(yàn)看似學(xué)科融合，實(shí)際上高一第一學(xué)期學(xué)生在物理學(xué)科中并沒有學(xué)習(xí)到“簡諧運(yùn)動(dòng)”，因此學(xué)生對它并不熟悉. 舊版教材用“簡諧運(yùn)動(dòng)”實(shí)驗(yàn)主要是為了體現(xiàn)正弦函數(shù)的數(shù)學(xué)直觀，但從本章知識結(jié)構(gòu)來分析，單位圓模型是三角函數(shù)定義到三角函數(shù)圖像的重要紐帶，將單位圓上的點(diǎn)與三角函數(shù)圖像上的點(diǎn)建立了一個(gè)動(dòng)態(tài)的對應(yīng)關(guān)系——點(diǎn)與角一一對應(yīng)的關(guān)系. 因此新版教材直接利用了正弦函數(shù)的定義，即從函數(shù)解析式的角度出發(fā)進(jìn)行研究，對于在[0，2π]上的任意一個(gè)點(diǎn)x，確定正弦函數(shù)值sinx，并畫出點(diǎn)（x，sinx）;新版教材把研究的重心放在了圖像上的點(diǎn)，圖像上任意一點(diǎn)的作法，蘊(yùn)含了函數(shù)整體的構(gòu)建原理，簡潔明了，凸顯了單位圓模型在研究三角函數(shù)圖像上的價(jià)值.

其二，舊版教材中的單位圓圓心是在平面直角坐標(biāo)系的x軸上的任意一點(diǎn)，而新版教材中的單位圓是直接以平面直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)為圓心的. 由此可以明顯看出新版教材在這一部分的設(shè)計(jì)更加簡潔，學(xué)生更容易接受，且新版教材從三角函數(shù)解析式的角度，即從代數(shù)的角度來研究三角函數(shù)的圖像，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)，也為學(xué)生再一次提供了研究函數(shù)圖像的一般思路.

3. 尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)學(xué)生的主體性

在本節(jié)中，新舊兩版教材就“五點(diǎn)（畫圖）法”和“余弦函數(shù)的圖像”的研究順序進(jìn)行了調(diào)整. 在舊版教材中，得到余弦函數(shù)的圖像后才提出了“五點(diǎn)（畫圖）法”;而新版教材恰恰相反. 這一調(diào)整的原因主要有以下兩點(diǎn)：一是得到正弦函數(shù)的圖像后，及時(shí)思考并捕捉確定正弦函數(shù)圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，從而得到正弦函數(shù)簡圖的“五點(diǎn)（畫圖）法”是非常及時(shí)也是順理成章的，符合學(xué)生的數(shù)學(xué)思維邏輯;二是正弦函數(shù)圖像及“五點(diǎn)（畫圖）法”的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，可以為余弦函數(shù)圖像的研究構(gòu)建一條清晰明了的研究思路，這一點(diǎn)既尊重了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也符合前面提到的知識的整體建構(gòu)，努力按照數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程有序進(jìn)行.

4. 加強(qiáng)學(xué)生的思維引導(dǎo)，提升學(xué)生的問題意識

通過對比新舊兩版教材不難發(fā)現(xiàn)，新版教材提出的“思考”比舊版教材更多，且均以問題的形式呈現(xiàn). 這說明新版教材更加注重新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)的“四能”，特別是發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力. 學(xué)生在閱讀教材的過程中能真實(shí)感受到這些問題提出的視角，漸漸地學(xué)會(huì)如何去發(fā)現(xiàn)問題和從什么角度提出問題及解決問題的能力. 除此之外，新版教材對于問題的表達(dá)引導(dǎo)性更強(qiáng)、指向性更明確. 比如，在正弦函數(shù)圖像變換為余弦函數(shù)圖像的引導(dǎo)語中，舊版教材的思考提示語是“你能根據(jù)誘導(dǎo)公式，以正弦函數(shù)的圖像為基礎(chǔ)，通過適當(dāng)?shù)膱D形變換得到余弦函數(shù)的圖像嗎？”而新版教材提出的問題是“你認(rèn)為應(yīng)該利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的哪些關(guān)系，通過怎樣的圖形變換，才能將正弦函數(shù)的圖像變換為余弦函數(shù)的圖像？”兩者提示思考的角度幾乎相同，但顯然后者提出的問題更加明確，更能引發(fā)學(xué)生思考，也凸顯了知識的聯(lián)系性. 新版教材第208頁設(shè)置了選學(xué)內(nèi)容“探究與發(fā)現(xiàn)：利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)”，這既是對利用函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)的方法的補(bǔ)充，也是為后續(xù)利用單位圓模型推導(dǎo)三角函數(shù)做鋪墊，突出單位圓模型在研究三角函數(shù)中的地位，提升學(xué)生對核心知識的利用，重視教學(xué)方式從教到學(xué)的變化.

5. 注重信息技術(shù)的使用，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感知

新版教材與舊版教材還有一大區(qū)別在于，新版教材更加注重信息技術(shù)的使用. 例如在本節(jié)描繪正弦函數(shù)圖像中，新舊兩版教材都找到了正弦函數(shù)在x∈[0，2π]這個(gè)區(qū)間內(nèi)的13個(gè)點(diǎn)，隨后舊版教材采用了傳統(tǒng)的方式將這些點(diǎn)用光滑的曲線連接起來;而新版教材則利用信息技術(shù)，使得x在區(qū)間[0，2π]上取到了足夠多的值、畫出了足夠多的點(diǎn)，再將這些點(diǎn)用光滑的曲線連接起來. 新版教材在這個(gè)地方使用信息技術(shù)的好處在于，可以得到更為精確的函數(shù)圖像，也大大增強(qiáng)了學(xué)生的直觀感知，體現(xiàn)了課堂教學(xué)的時(shí)代元素和數(shù)學(xué)的可視化，大大提高了數(shù)學(xué)課堂效率.

[?]教學(xué)建議

1. 貫穿單元整體設(shè)計(jì)教學(xué)思路，以研究思路引領(lǐng)教學(xué)

本章的研究對象為“三角函數(shù)”，屬于高中數(shù)學(xué)教學(xué)三大主線之一的“函數(shù)”范疇，可遵循函數(shù)的研究思路. 就本節(jié)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像的研究而言，遵循函數(shù)圖像研究的一般思路，以函數(shù)定義作為研究起點(diǎn)，從而開啟本節(jié)知識的研究學(xué)習(xí)之旅.

2. 充分發(fā)揮單位圓模型的載體作用，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)

直觀想象是指借助幾何直觀形象和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，建立形與數(shù)的聯(lián)系是其包括的主要方面[4]. 從三角函數(shù)的定義方法可以看出，單位圓模型是研究三角函數(shù)的重要手段，在整個(gè)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著極其重要的作用. 在前面學(xué)習(xí)三角函數(shù)概念、誘導(dǎo)公式時(shí)，學(xué)生已經(jīng)對單位圓模型有了一定的了解. 在本節(jié)知識的學(xué)習(xí)中，教師要再一次引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建單位圓模型，學(xué)會(huì)借助單位圓這一研究工具來建立單位圓上的點(diǎn)與三角函數(shù)圖像上的點(diǎn)之間的一一對應(yīng)的關(guān)系，從而突破本節(jié)知識的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn). 另外，通過對單位圓模型的再一次構(gòu)建，可加強(qiáng)單位圓與三角函數(shù)之間的聯(lián)系，再次突出單位圓作為刻畫呈“周而復(fù)始”變化規(guī)律的三角函數(shù)載體的重要作用，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

3. 滲透數(shù)學(xué)思想方法，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維引導(dǎo)

在引導(dǎo)學(xué)生畫余弦函數(shù)圖像的教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將未知問題向已知問題轉(zhuǎn)化，即從描點(diǎn)法、“五點(diǎn)（畫圖）法”以及圖形變換法入手，從中判斷并選擇最為簡單合適的方法. 在這里顯然是利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關(guān)系，通過圖形變換（平移）最為合適. 未知問題向已知問題的轉(zhuǎn)化，陌生問題向熟悉問題的轉(zhuǎn)化，滲透著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的思想方法——轉(zhuǎn)化與化歸. 為了給學(xué)生提供更大的探索空間，新版教材通過“思考”和“探究”，引導(dǎo)學(xué)生探索正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關(guān)系，即cosx=sin

x+

. 通過圖像變換得到余弦曲線后，根據(jù)曲線特征得到畫正弦曲線、余弦曲線簡圖的“五點(diǎn)（畫圖）法”，體現(xiàn)出了從特殊到一般、從一般到特殊的思想，也能感受到從局部到整體、從整體到局部的思維變化. 如若教師能站在這樣的高度來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，必將對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展大有助益.

4. 加強(qiáng)問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)，把握提問時(shí)機(jī)

以問題驅(qū)動(dòng)的方式進(jìn)行教學(xué)可大大促進(jìn)學(xué)生的思考，但值得注意的是，一個(gè)好的問題需要具備以下四個(gè)條件：指向性明確、思維性突出、層次性明顯、開放性顯著. 同時(shí)，教師要把握好提問的時(shí)機(jī)，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候提出好的問題引發(fā)學(xué)生思考. 比如，在得到y(tǒng)=sinx（x∈[0，2π]）的圖像后，可以引導(dǎo)學(xué)生思考：“如何利用正弦函數(shù)‘周而復(fù)始的變化規(guī)律畫出y=sinx（x∈R）的圖像？”又比如，得到正弦曲線后，可以引導(dǎo)學(xué)生思考：“如何才能更快地畫出正弦曲線？確定正弦函數(shù)圖像的形狀時(shí)，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點(diǎn)？”

5. 尊重知識的連貫性，順應(yīng)知識發(fā)生、發(fā)展的過程進(jìn)行教學(xué)

連貫性是數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)的一個(gè)重要特征. 因此，教師應(yīng)尊重、理解知識的這一特征，并合理地運(yùn)用這一特征來促進(jìn)教學(xué). 例如在本節(jié)知識教學(xué)中，教師可以先和學(xué)生共同探究得到正弦函數(shù)的圖像，再引導(dǎo)學(xué)生從圖像中觀察哪些點(diǎn)是“關(guān)鍵點(diǎn)”，從而得到“五點(diǎn)（畫圖）法”，而不是進(jìn)行余弦函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)后再繞過頭來講“五點(diǎn)（畫圖）法”.

6. 注重信息技術(shù)的使用，加深學(xué)生的直觀感知與理解

在教學(xué)中，適當(dāng)適時(shí)地添加信息化的元素可以大大提升教學(xué)效率. 在本節(jié)正弦曲線的作圖過程中，對單位圓進(jìn)行12等分得到了13個(gè)點(diǎn)后，可利用幾何畫板等信息化技術(shù)輔助教學(xué)，通過取得足夠多的值而畫出足夠多的點(diǎn)，畫出更為精確的函數(shù)圖像. 借助動(dòng)態(tài)演示，直觀形象地將圖像展示在學(xué)生面前，可以引導(dǎo)學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)圖像特點(diǎn)，觀察圖像的變化過程. 但值得注意的是，切勿以信息技術(shù)直接代替學(xué)生思考，切勿直接忽略畫圖過程的講解.

7. 滲透核心素養(yǎng)及立德樹人的教育理念

每一堂課都有其獨(dú)特的教育價(jià)值及涵蓋的學(xué)科素養(yǎng)，教師要學(xué)會(huì)深挖知識背后的教育價(jià)值，并在課堂中一步一步去落實(shí). 例如在本節(jié)課的教學(xué)中，教師可以利用正弦曲線、余弦曲線的“波峰波谷”對學(xué)生進(jìn)行人生觀、價(jià)值觀的教育，告訴學(xué)生人生就像正弦曲線、余弦曲線一樣，當(dāng)我們處于波峰時(shí)不要驕傲自滿，當(dāng)我們處于波谷時(shí)不要妄自菲薄. 當(dāng)然，僅通過一節(jié)課就實(shí)現(xiàn)對學(xué)生某方面核心素養(yǎng)的培養(yǎng)或者某種觀念的形成是不太現(xiàn)實(shí)的，這是一個(gè)需要長期積累、不斷努力的過程.

8. 加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)美、鑒賞美的能力

簡諧運(yùn)動(dòng)、聲波、天體運(yùn)動(dòng)、單擺流沙實(shí)驗(yàn)等都與正弦曲線、余弦曲線密切相關(guān)，這些知識都可以作為本節(jié)課的拓展內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值及獨(dú)特魅力. 另外，正弦曲線、余弦曲線作為波形曲線的代表，凸顯了波形曲線的流暢美和對稱美，在本節(jié)知識的教學(xué)過程中，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，真正體會(huì)三角函數(shù)周期變化的規(guī)律，提升發(fā)現(xiàn)美、鑒賞美的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 斯理炯. 發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量實(shí)現(xiàn)教“數(shù)”育人——以新人教A版教材“指數(shù)函數(shù)”的教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（09）：26-28+42.

[2]? 邵光華，張妍. 人教A版高中數(shù)學(xué)新版教材特色分析及使用建議[J].課程·教材·教法，2019，39（12）：109-114.

[3]? 章建躍. 核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教材變革（續(xù)3）——《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（人教A版）》的研究與編寫[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（25）：5-11.

[4]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].? 北京：人民教育出版社，2018.