基于“慢”生成、“深”理解的概念教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

梁錦連

[摘? 要] 概念教學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)科新課教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，是課程教學(xué)的重點(diǎn). 理解概念要重視概念的導(dǎo)入方式，概念的導(dǎo)出過(guò)程的重點(diǎn)在于“慢”，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知的過(guò)程中能自我探究、發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類(lèi)比、歸納、總結(jié)、創(chuàng)新等思維.

[關(guān)鍵詞] 理解概念;“慢”生成;“深”理解;解決問(wèn)題

[?]發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

理解概念的深度對(duì)學(xué)生能否打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有很大的影響，沒(méi)有把概念理解清楚，原因有很多，可能是教師本身在課堂上對(duì)概念的講解不夠重視，因?yàn)榻虒W(xué)進(jìn)度而對(duì)概念輕描淡寫(xiě);或者講解的深度不夠，學(xué)生還沒(méi)有真正理解概念就進(jìn)入了下一環(huán)節(jié);或者學(xué)生只是按照教師設(shè)置的思路去思考問(wèn)題，缺乏自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題、概括和歸納概念的過(guò)程，因此掌握得不夠透徹.

其實(shí)，教學(xué)目的就是讓學(xué)生在掌握新知識(shí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，培養(yǎng)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，學(xué)會(huì)獨(dú)立思考是最大的收獲. 因此，在講授新知識(shí)新概念的過(guò)程中，要注意以下幾個(gè)方面：

一是概念的導(dǎo)入方式要有吸引力.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)普遍存在著這樣一種感覺(jué)：數(shù)學(xué)難學(xué)，而且枯燥，甚至學(xué)了在生活中好像也用不上. 因此，在導(dǎo)入新課時(shí)，需要準(zhǔn)備與生活比較貼切的情境，讓學(xué)生明白生活中有問(wèn)題需要用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生愿意參與課堂活動(dòng)，渴望去掌握新知.

二是概念的導(dǎo)出過(guò)程的重點(diǎn)在于“慢”.在學(xué)生對(duì)引例比較感興趣的情況下，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)自主研究（或者小組討論）后解決問(wèn)題，給學(xué)生足夠的時(shí)間去思考、去探究，允許學(xué)生犯錯(cuò)，并舍得時(shí)間去糾錯(cuò). 這樣，即使學(xué)生最后沒(méi)有歸納出概念，但在這個(gè)過(guò)程中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的鍛煉還是有較大幫助的.如果學(xué)生能自己歸納出概念，那么對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與信心都有很大的提高.

三是概念的講解過(guò)程要抓住關(guān)鍵字詞. 從教多年，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)待書(shū)中的概念，要么是粗略地讀一遍，要么是拿紅筆在概念下面畫(huà)橫線(xiàn)（表示自己已經(jīng)掌握了），但是忽略了概念中的關(guān)鍵字詞，對(duì)概念的理解也是不夠深刻的. 比如，在講解等差數(shù)列的概念時(shí)，關(guān)鍵字詞是“從第二項(xiàng)起”和“同一個(gè)常數(shù)”，這兩個(gè)條件缺一不可！如果學(xué)生沒(méi)有注意到，那么判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列時(shí)可能就會(huì)出錯(cuò)，此時(shí)教師可以舉反例讓學(xué)生去體會(huì)關(guān)鍵字詞的作用.

四是對(duì)概念的理解要有深度.概念的理解過(guò)程中，僅抓住關(guān)鍵字詞還不夠，關(guān)鍵字詞只是形成概念的一種條件，對(duì)概念內(nèi)涵的理解還沒(méi)有達(dá)到目的. 比如，上面提到的等差數(shù)列的概念，部分學(xué)生對(duì)“每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)”的理解只停留在他們所接觸的等差數(shù)列的特殊形式中（如a-a，a-a），而沒(méi)有把這個(gè)內(nèi)容進(jìn)行拓展，延伸到等差數(shù)列的一般情形中（如a-a，a-a），也沒(méi)有意識(shí)到其既可以代表有限項(xiàng)，也可以代表無(wú)限項(xiàng). 如果對(duì)概念的理解有一定的深度，那么學(xué)生可以發(fā)揮自己的創(chuàng)新思維，歸納推理能力也會(huì)提高.

五是對(duì)概念的理解要做到及時(shí)鞏固. 對(duì)概念的理解做到及時(shí)鞏固，不僅能及時(shí)反饋學(xué)生是否掌握了本節(jié)課所學(xué)的新知識(shí)，也是學(xué)生思維能力提升的關(guān)鍵時(shí)刻. 另外，若在課堂練習(xí)中添加變式教學(xué)模式，對(duì)概念理解的效果能起到更好的作用.

概念教學(xué)是學(xué)生掌握新知識(shí)的重要環(huán)節(jié)，也是學(xué)生提升數(shù)學(xué)思維能力的關(guān)鍵時(shí)刻. 若要讓學(xué)生達(dá)到夯實(shí)基礎(chǔ)的目的，則在概念教學(xué)的過(guò)程中不能操之過(guò)急. 下面，筆者以“離散型隨機(jī)變量的均值”教學(xué)為例進(jìn)行說(shuō)明.

[?]課堂實(shí)錄

1. 問(wèn)題情境，引入概念，開(kāi)啟思維

師：同學(xué)們都知道，我們?cè)诿總€(gè)學(xué)期中都會(huì)遇到各種各樣的測(cè)試. 例如，數(shù)學(xué)每周就有周測(cè)，還有月考以及期末考，成績(jī)的高低衡量我們所學(xué)知識(shí)的掌握程度.

師：若同學(xué)A平時(shí)的周測(cè)成績(jī)都在90分左右，可是他期末考試那天由于身體不舒服，結(jié)果只得了60分，因而他父母就認(rèn)為他學(xué)習(xí)不夠努力，你們覺(jué)得這樣的評(píng)價(jià)對(duì)于同學(xué)A來(lái)說(shuō)公平嗎？

師：若同學(xué)B平時(shí)的周測(cè)成績(jī)都在50分左右，可是他期末考試那天發(fā)力了，結(jié)果得了90分，你認(rèn)同老師給他“優(yōu)秀”等級(jí)嗎？

師：若讓你來(lái)評(píng)價(jià)這兩位同學(xué)的成績(jī)，你覺(jué)得應(yīng)該怎么處理才是公平的？

生：我覺(jué)得應(yīng)該按比例評(píng)價(jià)更公平，比如按照平時(shí)考試成績(jī)占65%、期末考試成績(jī)占35%的比例作評(píng)價(jià).

師：你們能按照這種評(píng)價(jià)方法計(jì)算綜合成績(jī)嗎？（讓學(xué)生自己動(dòng)手嘗試計(jì)算，體會(huì)這種計(jì)算模式）你的結(jié)論是什么？

生：我是這樣計(jì)算的：同學(xué)A的成績(jī)是90×65%+60×35%=79.5（分），同學(xué)B的成績(jī)是50×65%+90×35%=64（分）.

師：你們認(rèn)為這種評(píng)價(jià)方法公平嗎？

生：公平，因?yàn)檫@樣更能反映他們的真實(shí)水平.

師：我們把65%和35%稱(chēng)為“權(quán)”（權(quán)衡輕重的數(shù)值），算出來(lái)的79.5分和64分稱(chēng)為“加權(quán)平均”（計(jì)算若干數(shù)量的平均數(shù)時(shí)，考慮到每個(gè)數(shù)量在總量中所具有的重要性不同，分別給予不同的權(quán)數(shù)）.

設(shè)計(jì)意圖：針對(duì)上面兩位學(xué)生的情況作評(píng)價(jià)，使學(xué)生有較大的感觸，認(rèn)為單一地從期末考試成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)這兩位同學(xué)有點(diǎn)不公平，所以學(xué)生會(huì)綜合他們平時(shí)的考試成績(jī)以及期末的考試成績(jī)作出相應(yīng)的調(diào)整，給出了權(quán)重這種衡量方式，求出加權(quán)平均值后綜合評(píng)價(jià)他們的真實(shí)水平，讓學(xué)生意識(shí)到平時(shí)學(xué)習(xí)新知識(shí)的重要性，對(duì)這節(jié)課后面的學(xué)習(xí)做了很好的鋪墊.

2. 激學(xué)導(dǎo)思，形成概念，交流思維

師：若某商場(chǎng)要將單價(jià)分別為18元/kg、24元/kg、36元/kg的3種糖果按3∶2∶1的比例混合銷(xiāo)售，混合糖果中每一粒糖果的質(zhì)量都相等，如何對(duì)混合糖果定價(jià)才合理？

師：如果將價(jià)格定為18元/kg會(huì)怎樣？

生：低了，商家會(huì)虧本！

師：如果將價(jià)格定為36元/kg又會(huì)怎樣？

生：高了，可能會(huì)賣(mài)不出去，商家還是會(huì)虧本！

師：你認(rèn)為以算術(shù)平均數(shù)==26來(lái)定價(jià)合理嗎？

生：（沉思后回答）感覺(jué)不太合理.

師：你認(rèn)為該怎樣定這個(gè)價(jià)格更好？

生：我認(rèn)為應(yīng)該用權(quán)重這種方法來(lái)定價(jià)更好，即18×+24×+36×=23.

師：你能解釋該問(wèn)題中權(quán)數(shù)代表的實(shí)際含義嗎？

生：我認(rèn)為權(quán)數(shù)代表每種糖果在總量中占有的比例.

師：在樣本中任取一顆糖果，權(quán)數(shù)代表抽到的糖果是對(duì)應(yīng)價(jià)格的概率.

在混合糖果中任取一顆，它的實(shí)際價(jià)格用X表示，X的分布列為：

合理價(jià)格=18×+24×+36×=23，即合理價(jià)格=18×P（X=18）+24×P（X=24）+36×P（X=36）=23.

我們把這種計(jì)量方式稱(chēng)為“離散型隨機(jī)變量的均值”.

設(shè)計(jì)意圖：從身邊的實(shí)際例子出發(fā)，引起學(xué)生的興趣，讓學(xué)生自己試著給混合糖果定價(jià)，學(xué)生會(huì)想盡辦法讓混合糖果的價(jià)位更合理. 通過(guò)這個(gè)過(guò)程，讓學(xué)生理解權(quán)數(shù)的運(yùn)用，初步領(lǐng)悟概念“離散型隨機(jī)變量的均值”.

定義“離散型隨機(jī)變量的均值”：

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為：

則稱(chēng)E（X）=xp+xp+…+xipi+…+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望. 它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.

師：你能概括一下求離散型隨機(jī)變量均值的步驟嗎？

生：先明確離散型隨機(jī)變量可能取的值，再求這些值所對(duì)應(yīng)的概率，然后再按照這個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算.

歸納求離散型隨機(jī)變量均值的步驟：①確定離散型隨機(jī)變量所有可能取的值;②寫(xiě)出分布列;③求出均值.

設(shè)計(jì)意圖：先熟悉離散型隨機(jī)變量均值的概念，再明確求離散型隨機(jī)變量均值的步驟，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有概括歸納的鍛煉;然后聯(lián)系學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解離散型隨機(jī)變量均值的含義，以及理解用其解決實(shí)際問(wèn)題的原理.

師：根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元.為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：

方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元.

方案2：建設(shè)保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元. 但圍墻只能防小洪水.

方案3：不采取任何措施，希望洪水不發(fā)生.

試比較哪一種方案好.

師：你會(huì)通過(guò)什么方式對(duì)比這幾種方案呢？

生：看哪個(gè)方案的損失最小.

師：我們要通過(guò)怎樣的計(jì)算來(lái)比較3個(gè)方案損失的大小？生：可以嘗試求隨機(jī)變量的均值. 用X，X和X分別表示3種方案的損失：

采用方案1，無(wú)論有無(wú)洪水，都會(huì)損失3800元，即X=3800.

采用方案2，有大洪水時(shí)，損失2000+60000=62000（元）;沒(méi)有大洪水時(shí)，損失2000元，即X=62000，有大洪水;

2000，無(wú)大洪水.

采用方案3，則X=60000，有大洪水;

10000，有小洪水;

0，無(wú)洪水.

師：你能寫(xiě)出它們各自的分布列并求出隨機(jī)變量的均值嗎？

生：X的分布列為

則E（X）=3800，E（X）=62000×0.01+2000×（1-0.01）=2600，E（X）=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100. 采取方案2的平均損失最小，所以可以選擇方案2.

師：值得注意的是，上述結(jié)論是通過(guò)比較“平均損失”而得出的. 一般地，我們可以這樣來(lái)理解“平均損失”：假設(shè)問(wèn)題中的氣象情況多次發(fā)生，那么采用方案2可使損失減到最小.

師：我們選擇方案2一定是最好的嗎？為什么？

生：不一定. 概率只表示可能發(fā)生，不一定就是發(fā)生或者不發(fā)生.

師：由于洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，所以對(duì)于個(gè)別的一次決策，采用方案2也不一定是最好的.

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)例題相對(duì)較難，學(xué)生不一定能夠想到通過(guò)求3種方案各自的平均損失進(jìn)行比較，教師一定要作相關(guān)提醒，讓學(xué)生自己動(dòng)手，嘗試一個(gè)個(gè)突破. 如果在教師的引導(dǎo)下能夠求出最佳方案，那么對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心會(huì)有較大的鼓舞.

[?]教學(xué)反思

本節(jié)課使用的是“問(wèn)題串”教學(xué)方式，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)類(lèi)比、猜想、歸納、概括等思維活動(dòng)，逐漸理解和掌握所學(xué)知識(shí)，基于“慢”生成，達(dá)到教學(xué)目的.

在本節(jié)課的課堂實(shí)錄中，主要體現(xiàn)了以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：①課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容源于生活實(shí)例，讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣以及探究的積極性;②本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是突出邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，關(guān)注學(xué)生思維層次的提升.當(dāng)然，不足之處也得加以改正，有以下幾個(gè)地方：①課堂內(nèi)容信息量有點(diǎn)大，需要掌握的知識(shí)點(diǎn)較多，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生容易被教師帶著走，不能做到自主學(xué)習(xí)的目的，因此課后要更多關(guān)注這些學(xué)生的掌握情況，要及時(shí)進(jìn)行疏導(dǎo)和強(qiáng)化;②學(xué)習(xí)內(nèi)容與前面知識(shí)的關(guān)聯(lián)較大，要求學(xué)生掌握的必備知識(shí)較多，對(duì)課堂教學(xué)質(zhì)量有一定影響，需要注意課后作業(yè)的反饋，及時(shí)查漏補(bǔ)缺，達(dá)到預(yù)期教學(xué)目標(biāo);③課堂小結(jié)應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)而歸納總結(jié)，讓學(xué)生明確這節(jié)課的學(xué)習(xí)目的，理清自己是否掌握到相關(guān)能力.

概念教學(xué)的過(guò)程中，要滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力不能一蹴而就，急于求成，要關(guān)注學(xué)生的思維形成過(guò)程，在“慢”生成、“深”理解中達(dá)到高效課堂的目的.