數(shù)學(xué)文化的教學(xué)意蘊及問題鏈的價值

【課堂研究·特設(shè)專欄：指向數(shù)學(xué)文化的問題鏈教學(xué)研究（一）】

編者按：隨著數(shù)學(xué)課程改革的深入，數(shù)學(xué)文化的教育價值已得到大家的充分認(rèn)同，并被寫入了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何自然而深入地體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化，以實現(xiàn)文化育人？這已成為一個重要的實踐問題。本專欄立足數(shù)學(xué)文化觀，探索以問題鏈作為載體的數(shù)學(xué)文化教學(xué)，以期為數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)提供借鑒。

【摘 要】數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)文化提出了明確的要求，而如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中有機地融入數(shù)學(xué)文化是一個重要的現(xiàn)實問題。要全面地體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中所闡明的數(shù)學(xué)文化，需要借助數(shù)學(xué)實踐，而問題鏈?zhǔn)亲寣W(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)實踐并彰顯數(shù)學(xué)文化的重要抓手。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)課堂;問題鏈

數(shù)學(xué)的文化性已被越來越多的人認(rèn)識到，數(shù)學(xué)文化也成為數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的重要組成部分?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《義務(wù)課標(biāo)2022年版》）、《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《高中課標(biāo)2017年版2020年修訂》）在課程性質(zhì)中都明確指出，數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中有機地融入數(shù)學(xué)文化，實現(xiàn)文化育人的目的？這成為一個重要的實踐問題。在目前的教學(xué)中，還存在一定程度的將數(shù)學(xué)文化窄化為文化素材，將數(shù)學(xué)文化的教育窄化為文化素材的欣賞等問題?；诖耍疚脑噲D基于課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的分析，討論問題鏈在落實數(shù)學(xué)文化中的價值。

一、課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于“數(shù)學(xué)文化”的理解

目前關(guān)于數(shù)學(xué)文化的定義雖然未得到統(tǒng)一，但也形成了一些基本的共識?！陡咧姓n標(biāo)2017年版2020年修訂》提出，數(shù)學(xué)文化不僅是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動。在《義務(wù)課標(biāo)2022年版》中雖然沒有明確界定數(shù)學(xué)文化，但在教材編寫建議中間接地闡述了應(yīng)在教材中滲透的數(shù)學(xué)文化的基本方面，其中包括數(shù)學(xué)在自然與社會中的應(yīng)用、數(shù)學(xué)發(fā)展史等背景知識。

立足于“數(shù)學(xué)是一種文化”這一觀點，可以從三個方面來理解課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識。一是數(shù)學(xué)是一個相對完整、獨立的文化系統(tǒng)。數(shù)學(xué)有其自身的思想、精神、語言、方法與觀點，也正是在這些文化要素的支撐下，數(shù)學(xué)得以發(fā)生與不斷發(fā)展。這與數(shù)學(xué)家懷爾德在其著作《作為一種文化系統(tǒng)的數(shù)學(xué)》中曾做出的論斷是一致的：數(shù)學(xué)構(gòu)成了一個相對獨立的文化系統(tǒng)。二是數(shù)學(xué)是人類文化的子文化，其發(fā)展受到了人類文明的影響。這正如《高中課標(biāo)2017年版2020年修訂》在課程性質(zhì)中所指出的：隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)特別是計算機科學(xué)、人工智能的迅猛發(fā)展，人們獲取數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的能力都得到很大的提升，伴隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，人們常常需要對網(wǎng)絡(luò)、文本、聲音、圖像等反映的信息進(jìn)行數(shù)字化處理，這使數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域與應(yīng)用領(lǐng)域得到較大拓展?！读x務(wù)課標(biāo)2022年版》也有類似的論述，即隨著大數(shù)據(jù)分析、人工智能的發(fā)展，數(shù)學(xué)研究與應(yīng)用領(lǐng)域不斷拓展。三是數(shù)學(xué)是一股重要的文化力量，推動著人類文明的發(fā)展。兩份課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)的文化價值均做了類似的論述：“數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的重要基礎(chǔ)”“在社會科學(xué)中發(fā)揮著越來越重要的作用”“數(shù)學(xué)的應(yīng)用滲透到現(xiàn)代社會的各個方面”“直接為社會創(chuàng)造價值，推動社會生產(chǎn)力的發(fā)展”。

概括來說，數(shù)學(xué)文化既強調(diào)將數(shù)學(xué)作為相對獨立的文化系統(tǒng)來理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)及其發(fā)展，同時強調(diào)人類文化其他部分對數(shù)學(xué)這一子系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，還強調(diào)數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中所做出的貢獻(xiàn)。事實上，關(guān)于數(shù)學(xué)文化的三方面理解，綜合起來就是站在文化的角度呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的來龍去脈，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)作為一個整體性的文化實質(zhì)。李鐵安在對文化和數(shù)學(xué)的本質(zhì)分析后指出，數(shù)學(xué)就是一種文化。數(shù)學(xué)文化是人類在數(shù)學(xué)活動中所積累的精神創(chuàng)造的靜態(tài)結(jié)果和所表現(xiàn)的動態(tài)過程。[1]

二、數(shù)學(xué)實踐是體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的途徑

那么，究竟如何才能讓學(xué)生感受到較為完整的數(shù)學(xué)文化？正如黃秦安所指出的，數(shù)學(xué)文化觀采取了一種更為廣泛和寬闊的理論視角去看待有關(guān)數(shù)學(xué)的各種問題[2]4-7。這種觀念必然會對數(shù)學(xué)教與學(xué)產(chǎn)生新的認(rèn)識和要求。張維忠指出，數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)表現(xiàn)為群體的活動性、系統(tǒng)的開放性、知識的默會性等特征[3]。筆者認(rèn)為，活動性是數(shù)學(xué)文化學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性特征，唯有活動才能讓系統(tǒng)的開放性特征得以再現(xiàn)，默會性知識得以學(xué)習(xí)。更重要的是，數(shù)學(xué)文化觀使我們看到了作為個體或群體的人在數(shù)學(xué)及其發(fā)展過程中的主體作用，即認(rèn)識到了作為人類的一項創(chuàng)造性活動的數(shù)學(xué)。因此，主體性的數(shù)學(xué)活動或者說數(shù)學(xué)實踐是數(shù)學(xué)文化觀的其中一個要義。換言之，在數(shù)學(xué)教與學(xué)中，應(yīng)利用數(shù)學(xué)實踐體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化。

數(shù)學(xué)實踐是一種特殊的學(xué)科實踐，在教育領(lǐng)域中體現(xiàn)了一般的學(xué)科實踐的基本內(nèi)涵。崔允漷等認(rèn)為，學(xué)科實踐是指具有學(xué)科意蘊的典型實踐，即學(xué)科專業(yè)共同體懷著共享的愿景與價值觀，運用該學(xué)科的概念、思想與工具，整合心理過程與操控技能，解決真實情境中的問題的一套典型做法[4]。因此，數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)實踐，是一種具有數(shù)學(xué)學(xué)科意蘊、具有教育意義的典型實踐。數(shù)學(xué)實踐過程負(fù)載著數(shù)學(xué)特有的價值觀、精神與思維，同時也是由這些要素推動著數(shù)學(xué)實踐的發(fā)展與數(shù)學(xué)實踐結(jié)果的凝練。

那么，彰顯數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)實踐活動應(yīng)是怎樣的？對教與學(xué)提出了什么樣的價值追求？

首先，彰顯數(shù)學(xué)精神與思維支撐下的數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展過程。從數(shù)學(xué)文化觀來看，數(shù)學(xué)并非僅僅是靜態(tài)的、已完成的知識體系，而是呈現(xiàn)出由擁有共同信念的數(shù)學(xué)共同體在數(shù)學(xué)精神的支撐下，利用數(shù)學(xué)思維不斷推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動態(tài)過程。因此，教學(xué)中的數(shù)學(xué)實踐就不能只是強調(diào)作為結(jié)果的數(shù)學(xué)知識的傳承，還應(yīng)強調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的過程，體驗其背后所蘊含的數(shù)學(xué)思維與精神。

其次，彰顯數(shù)學(xué)發(fā)展的文化動因。數(shù)學(xué)發(fā)展有其自身內(nèi)部的動因，也有如前文所述技術(shù)發(fā)展等數(shù)學(xué)所處的人類文化的外部動因，并受相應(yīng)文化所擁有的價值觀、行為模式等的影響。比如，正是對實用與理論的不同志趣，在很大程度上導(dǎo)致了中國古代數(shù)學(xué)重應(yīng)用、古希臘數(shù)學(xué)重理論的特點。因此，教學(xué)中的數(shù)學(xué)實踐需要將數(shù)學(xué)的發(fā)展背景放大到人類文化的大視野中，使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)及其發(fā)展。

最后，彰顯數(shù)學(xué)的文化力量。無論是歷史還是當(dāng)下，數(shù)學(xué)在人類文明的進(jìn)步過程中都做出了重要的貢獻(xiàn)，在許多領(lǐng)域數(shù)學(xué)已從后臺走向前臺。但在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，仍然存在著將數(shù)學(xué)與學(xué)生的現(xiàn)實生活、所處的文化相剝離的現(xiàn)象。因此，教學(xué)中的數(shù)學(xué)實踐應(yīng)進(jìn)一步密切數(shù)學(xué)與人類文化其他部分之間的聯(lián)系，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的文化價值。

三、問題鏈?zhǔn)羌せ顢?shù)學(xué)實踐、彰顯數(shù)學(xué)文化的抓手

由上述分析可知，數(shù)學(xué)實踐是體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的重要途徑。然而在教學(xué)實踐中，如何才能讓學(xué)生進(jìn)入并持續(xù)性地維持在有價值的數(shù)學(xué)實踐中呢？筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)問題鏈?zhǔn)且粋€重要的抓手。數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)是指教師借助由有序的、主干數(shù)學(xué)問題組成的問題鏈展開教學(xué)的一種教學(xué)模式[5]。這里的問題是指在數(shù)學(xué)發(fā)展或在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有核心地位的，處于關(guān)鍵位置的大問題、主干問題，問題與問題之間的關(guān)系反映了重要的數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)發(fā)展的基本脈絡(luò)。問題鏈在激活學(xué)生的數(shù)學(xué)實踐并彰顯數(shù)學(xué)文化上有以下價值。

（一）問題吸引學(xué)生參與數(shù)學(xué)實踐，體會數(shù)學(xué)發(fā)展的文化動因

將學(xué)生吸引到數(shù)學(xué)實踐中來，這是數(shù)學(xué)實踐發(fā)揮育人價值的前提。如果學(xué)生游離在數(shù)學(xué)實踐的學(xué)習(xí)活動之外，那么數(shù)學(xué)實踐活動設(shè)計得再好，也無法真正起到育人的作用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，也不乏因為學(xué)生不理解學(xué)習(xí)的必要性、缺乏足夠的學(xué)習(xí)動機而對其學(xué)習(xí)造成消極影響的現(xiàn)象。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的一個重要原因在于，教學(xué)中將數(shù)學(xué)從其豐富的意義脈絡(luò)中剝離出來，變成了純粹知識的教學(xué)與符號技能的訓(xùn)練。數(shù)學(xué)文化觀告訴我們，數(shù)學(xué)是在受到內(nèi)外部問題的驅(qū)動下得到不斷發(fā)展的。在教學(xué)中，通過問題可以還原數(shù)學(xué)在其發(fā)展過程中遇到的困境，揭示數(shù)學(xué)發(fā)展的文化動因，從而讓學(xué)生投入到為了解決問題而開展的數(shù)學(xué)實踐中來。

首先，數(shù)學(xué)史中的問題吸引學(xué)生理解歷史上的數(shù)學(xué)實踐。比如，在高中數(shù)學(xué)虛數(shù)的學(xué)習(xí)中，如果只是將虛數(shù)作為一種新的數(shù)，只是著重于運算法則之下的符號操作的話，也許能達(dá)成技能的熟練，但對虛數(shù)的意義以及為什么要學(xué)習(xí)虛數(shù)等問題是缺乏理解的。在筆者參與的一個課例研究中，為了吸引學(xué)生賞析歷史中的數(shù)學(xué)實踐過程，筆者設(shè)置了以下問題。首先，設(shè)置一個引入性問題：對于三次方程x3=15x+4，你能求出它的根嗎？是怎么求的？經(jīng)過討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個方程可通過因式分解變成（x-4）（x2+4x+1）=0，從而找到方程的一個根4。接著，這個問題又引發(fā)學(xué)生思考另一個問題：如果遇到不容易因式分解的三次方程，又該如何求解呢？從而將學(xué)生吸引到數(shù)學(xué)家卡丹對解三次方程的研究中。[6]

其次，現(xiàn)實中面臨的問題能激活學(xué)生的求知欲，激發(fā)學(xué)生的實踐興趣。比如，在小學(xué)折線統(tǒng)計圖的教學(xué)中，教師可以通過“如何直觀地反映某地新冠疫情的變化趨勢”這一問題，讓學(xué)生產(chǎn)生“條形統(tǒng)計圖雖然也能反映變化趨勢，但還不夠直觀”的不滿足感，以及激發(fā)學(xué)生開展以改進(jìn)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)模型為目標(biāo)的數(shù)學(xué)實踐的興趣[7]。

（二）問題為學(xué)生提供應(yīng)用性的數(shù)學(xué)實踐機會，感受數(shù)學(xué)的文化價值

如何在教學(xué)中凸顯數(shù)學(xué)的文化價值，這其實并沒有想象中那么容易。黃秦安指出，許多自然科學(xué)的新突破和新進(jìn)展，例如克隆、大爆炸、基因圖譜與基因工程、超導(dǎo)、納米等，能夠較快地被普通公民所接受并迅速成為大眾文化的一部分，然而，數(shù)學(xué)的情況卻要糟糕得多。隨著數(shù)學(xué)專業(yè)化程度的日益提高，數(shù)學(xué)的最新成果難于被社會公眾所理解，甚至通俗的解釋都是十分困難的。[2]2-7因此，教師需要通過合適的問題設(shè)計，為學(xué)生提供應(yīng)用性的數(shù)學(xué)實踐機會，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)所發(fā)揮的文化價值。

比如，幾何變換是圖形與幾何中的重要內(nèi)容并在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應(yīng)用。然而如何才能讓學(xué)生認(rèn)識這一點？教師可以通過以下兩個問題引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)實踐：一是在我們生活的現(xiàn)實世界中，哪些體現(xiàn)了幾何變換？具體是怎樣的幾何變換？二是你能用幾何變換設(shè)計一個漂亮的美術(shù)作品嗎？[8]其中第一個問題的目的是讓學(xué)生帶著關(guān)于“幾何變換”的認(rèn)識，去觀察現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)如建筑、服飾、美術(shù)作品中存在的幾何變換，這既是對幾何變換相關(guān)知識的鞏固與應(yīng)用，也為學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美學(xué)價值提供機會。第二個問題的目的是讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行創(chuàng)作，在自己的作品創(chuàng)作過程中體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。

（三）問題鏈為學(xué)生脈絡(luò)化的數(shù)學(xué)實踐提供線索，體會數(shù)學(xué)的文化系統(tǒng)

數(shù)學(xué)實踐是一個整體，有實踐的目的與緣起，也有實踐的過程，還有實踐的結(jié)果。課堂中的數(shù)學(xué)實踐不會像數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)研究中那么完整，往往是經(jīng)過理性重建后的簡約的實踐。盡管如此，仍然需要為學(xué)生提供數(shù)學(xué)實踐的關(guān)鍵脈絡(luò)，否則會造成學(xué)生理解的片面與碎片化。而且數(shù)學(xué)實踐背后的脈絡(luò)凸顯了數(shù)學(xué)內(nèi)在的思維方式及更隱性的數(shù)學(xué)精神。問題鏈中問題與問題之間的關(guān)系，其實體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的思維及精神。正是數(shù)學(xué)思維，才使一個問題發(fā)展到另一個問題，而數(shù)學(xué)精神則為這種發(fā)展提供了動力。

比如，擴張化精神驅(qū)動人們將問題做一般化處理，反過來基于一般化思維的數(shù)學(xué)問題鏈也能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的擴張化精神。舉例而言，以下關(guān)于“圓錐曲線一類定點問題的探索”中設(shè)置的幾個問題[9]，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的擴張化精神和一般化思維。

問題1：已知拋物線y2=4x，過x軸上一點K的直線與拋物線交于點P，Q兩點。證明：存在唯一的點K，使得[1PK2+1KQ2]為常數(shù)，并確定點K的坐標(biāo)。

問題2：其他的拋物線也存在這樣唯一的點，使[1PK2+1KQ2]為常數(shù)嗎？

問題3：如果把上述問題的背景推廣到橢圓、雙曲線上，也存在類似的結(jié)論嗎？

又比如，數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一建設(shè)精神驅(qū)動人們尋找系列問題的共通視角、一般性質(zhì)及基本方法等，同時也驅(qū)動人們利用統(tǒng)一性提出問題、分析問題、解決問題。以下關(guān)于“立方根”教學(xué)中設(shè)置的幾個問題即體現(xiàn)了視角關(guān)聯(lián)背后的統(tǒng)一建設(shè)精神[10]。

問題1：我們在學(xué)習(xí)數(shù)的平方后，還學(xué)習(xí)了立方以及乘方。類似地，在學(xué)完平方根后，你認(rèn)為還可以研究什么？

問題2：根據(jù)平方根的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，你認(rèn)為可以怎樣研究立方根？

綜上所述，數(shù)學(xué)文化既表現(xiàn)為數(shù)學(xué)是一種相對獨立的文化體系，又表現(xiàn)為人類文化的一個子文化。其一方面受人類文化其他部分的影響，另一方面又在人類文明進(jìn)程中發(fā)揮了重要的文化價值。數(shù)學(xué)實踐是數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的重要途徑，而問題鏈則能為激活數(shù)學(xué)實踐并彰顯數(shù)學(xué)文化提供抓手。

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（責(zé)任編輯：陸順演）