例談求三角函數(shù)最值的幾種途徑

王海橋

三角函數(shù)最值問題側(cè)重于考查三角函數(shù)的公式、性質(zhì)以及進(jìn)行三角恒等變換的技巧.常見的命題形式是根據(jù)已知三角函數(shù)式、根據(jù)已知角的范圍求三角函數(shù)的最值.此類問題的難度一般不大，在解題時(shí)需選擇合適的方法，將三角函數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?、化?jiǎn)，利用三角函數(shù)、函數(shù)的有界性來(lái)求得最值.下面談一談求解三角函數(shù)最值問題的幾種途徑.

一、利用三角函數(shù)的有界性

有界性是三角函數(shù)的重要性質(zhì)之一.一般地，當(dāng) x ∈ R 時(shí)，|sin x|≤ 1，|cos x|≤1.在解答三角函數(shù)最值問題時(shí)，需首先根據(jù)題意確定函數(shù)的定義域，然后利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、兩角的和差公式等，通過(guò)三角恒等變換，將目標(biāo)式進(jìn)行變形，化簡(jiǎn)為只含一種函數(shù)名稱、次數(shù)最低、角的個(gè)數(shù)最少的式子，便可根據(jù)三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性求得各個(gè)單調(diào)區(qū)間上的最值，最后比較所得的最值即可解題.

該函數(shù)式的分子、分母中均含有正弦函數(shù)式，較為復(fù)雜，于是可將 y 看作參數(shù)，用 y 表示 sinx ，根據(jù) sinx 的有界性，建立關(guān)于 y 的不等式，解該不等式即可求得 y 的取值范圍，求得函數(shù)的最值.運(yùn)用該方法解題，需使化簡(jiǎn)后的式子為只含正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的式子，這樣才能便于利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值.

二、利用二次函數(shù)的性質(zhì)

對(duì)于含有偶次冪的三角函數(shù)式，可利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、輔助角公式將其化簡(jiǎn)為關(guān)于 sinx 、 cosx 、tanx 的二次函數(shù)式，然后將其配方，根據(jù)二次函數(shù)式的性質(zhì)來(lái)求三角函數(shù)式的最值.對(duì)于 y = a2 x + bx + c（x ∈ R）的二次函數(shù)式，當(dāng) a <0時(shí)，函數(shù)圖象的開口向下，函數(shù)有最大值;當(dāng) a >0時(shí)，函數(shù)圖象的開口向上，函數(shù)有最小值.

解答本題，需先利用二倍角公式以及同角的三角函數(shù)式 sin2 x + cos 2 x =1將函數(shù)式化簡(jiǎn)為關(guān)于 cosx 的二次函數(shù)式，然后討論二次函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求得問題的答案.

例3.求函數(shù) y =（sin x -2）（cos x -2）的最值.

分析：函數(shù)式中含有 sin x、cos x ，較為復(fù)雜，于是聯(lián)想到同角的三角函數(shù)式 sin2 x + cos 2 x =1，于是令 sin x + cos x = t ，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 t 的二次函數(shù)式，便可利用二次函數(shù)的單調(diào)性和有界性求解.

在求較為復(fù)雜的三角函數(shù)最值問題時(shí)，可通過(guò)換元，構(gòu)造二次函數(shù)式，將三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解題.在換元的過(guò)程中要注意確保定義域的等價(jià)性.

可見，求解三角函數(shù)最值問題，需熟練掌握正弦、余弦、正切、二次函數(shù)的單調(diào)性和有界性，這樣才能順利求得最值.