談?wù)勄髷?shù)列的通項(xiàng)公式的思路

周濤

求數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)各類試題中，常以選擇、填空題的形式出現(xiàn).此類問(wèn)題，通常要求根據(jù)已知遞推式關(guān)系式或數(shù)列的和式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.其命題形式多種多樣，常見(jiàn)的解法有利用 an 與Sn的關(guān)系、遞推法、構(gòu)造法、累加法、累乘法等.那么，如何選擇合適的方法進(jìn)行求解呢？下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行探討.

一、根據(jù) an 與Sn的關(guān)系求解

有些問(wèn)題中直接給出了數(shù)列的前 n 項(xiàng)和及其關(guān)系式，在這種情況下，可以根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式an與其前 n 項(xiàng)和 Sn的關(guān)系{a（a）1（n） S（S）1，（n）n（-） n1-，1， n ≥2，來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.在解題時(shí)，需先根據(jù)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn及其關(guān)系式求得 Sn -1，然后將其與 Sn相減，得到在n ≥2的情況下數(shù)列的通項(xiàng)公式，再檢驗(yàn)當(dāng) n =1時(shí)，a1是否滿足所求an的表達(dá)式.若滿足，則 an的表達(dá)式即為數(shù)列的通項(xiàng)公式;若不滿足，則需分情況表示數(shù)列的通項(xiàng)公式.

本題的已知條件中含有數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，需根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式 an與其前 n 項(xiàng)和 Sn的關(guān)系， a1= S1，n =1，來(lái)求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.將 n 替換成 n -1，求得 Sn -1的關(guān)系式，然后將兩式作差，即可求得在 n ≥2時(shí)的 an ，最后進(jìn)行檢驗(yàn)，即可求得問(wèn)題的答案.

根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式 an 與其前 n 項(xiàng)和 Sn 的關(guān)系{an = Sn - Sn -1，n ≥2， a1= S1，n =1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，一定要考慮當(dāng) n =1時(shí)的情形，否則得到不完整的答案.若當(dāng) n =1時(shí) an 的表達(dá)式滿足當(dāng) n ≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，則可忽略對(duì) n =1的情況的討論.

二、通過(guò)累加求解

累加法是求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常用方法，該方法主要適用于由形如 an - an -1 = f （n）的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.其步驟為：①將已知遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為an - an -1 = f （n）的形式;②將 n 或 n -1個(gè)式子累加，可得 an =（an - an -1）+ （an -1 - an -2）+…+（a2- a1）+ a1， 求得 f （1）+ f （2）+…+ f （n）的和，即可求得當(dāng) n ≥2時(shí)的 an ;③判斷當(dāng) n =1時(shí)，a1是否滿足所求的表達(dá)式 an ，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解答本題的關(guān)鍵是明晰 an +1 - an =2n 與 an - an -1 = f （n）的結(jié)構(gòu)一致，然后令 n =1 ，2，3，…，n -1，再將這 n -1個(gè)式子累加，借助累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

三、通過(guò)累乘求解

運(yùn)用累乘法與累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式的思路較為相似.累乘法主要適用于由形如 an an -1 = f （n）的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.令 n =1，2，3，…，n ，再將這 n 個(gè)式子累乘，即 an = an an -1 × an -1 an -2×… × a2 a1× a1，求得 f （n）×f （n -1）×…× f （1）的值，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.最后，還需根據(jù)問(wèn)題所給條件求出 a1，判斷 a1是否滿足 an 的表達(dá)式，綜合所有情況，就能得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解答本題，需先根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式 an 與其前 n 項(xiàng)和 Sn 的關(guān)系求得 an 的表達(dá)式.而該式形如 an an -1 = f （n） ，于是將 n 個(gè)式子累乘，借助累乘法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.一般地，an - an -1 = f （n）、 an an -1 = f （n）只滿足當(dāng) n ≥2時(shí)的情形，運(yùn)用累加法、累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，一定要討論當(dāng) n =1時(shí)的情形.

四、通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列求解

當(dāng)遇到形如 an = pan -1 + q、an = pan -1 + f （n）的遞推關(guān)系式時(shí)，可考慮運(yùn)用構(gòu)造法來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.在解題時(shí)，需引入待定系數(shù)λ，將 an = pan -1 + q 、an = pan -1 + f （n）設(shè)為 an +λ = p（an -1+λ）或 an +λf （n）= p ?（an -1+λf （n -1）），從而構(gòu)造出等比數(shù)列{an +λ}或 {an +λf （n）}，以便根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

遞推關(guān)系式an +1=3an +3?2n 形如an +1 + f （n）= 3（an +f （n）），于是引入待定系數(shù)，將其變形為 an +1+λ?2n +1=3（an +λ2） n ，從而構(gòu)造出等比數(shù)列{an +3?2} n ，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)解題.

上述幾種方法適用的情形均不相同，因此在求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，要注意觀察遞推關(guān)系式或已知關(guān)系式，如是否含有 Sn ，遞推式是否形如 an - an -1 = f （n）、 an an -1 = f （n）、an = pan -1 + q 、an = pan -1 + f （n），結(jié)合遞推關(guān)系式或已知關(guān)系式的特點(diǎn)，選擇合適的方法，如根據(jù) an與Sn 的關(guān)系、利用累加法、累乘法、構(gòu)造法來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.在求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，還要注意一些細(xì)節(jié)，如當(dāng) n =1時(shí)的情況，an 或已知遞推式滿足的條件，以便得到完整的答案.