數(shù)缺形時(shí)少直觀　形缺數(shù)時(shí)難入微

摘 要：文章圍繞2022屆高三八省聯(lián)考中的圓錐曲線大題進(jìn)行研究，通過(guò)不同角度的探究，給出了該問(wèn)題的5種解題方法，并進(jìn)一步作了相應(yīng)的方法總結(jié)，然后在課本中找出該題的“題根”，最后對(duì)此題還進(jìn)行了推廣拓展和變式探究.

關(guān)鍵詞：八省聯(lián)考;圓錐曲線;解法探究;課本溯源;拓展推廣

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2022）22-0052-05

2022年高三八省聯(lián)考試卷第21題是一道新穎的解析幾何大題，它采用開(kāi)放性的二選一題型，給了學(xué)生很大的自由發(fā)揮空間.主要考查了圓錐曲線方程求解、四邊形面積最值、三等分點(diǎn)問(wèn)題，試題穩(wěn)中求新，體現(xiàn)了考題的基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，本文從該題的解法探究入手，然后再回到課本中追本溯源，最后對(duì)此題進(jìn)行一般化推廣和變式探究，以期對(duì)教學(xué)、研究、學(xué)習(xí)提供幫助.

1 試題呈現(xiàn)

題目（2022年高三“八省八?！甭?lián)考第21題）已知雙曲線Γ：x2a2-y2b2=1a>0，b>0過(guò)點(diǎn)

P3，6，且Γ的漸近線方程為y=±3x.

（1）求Γ的方程;

（2）如圖1，過(guò)原點(diǎn)O作互相垂直的直線l1，l2，分別交雙曲線于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)A，D在x軸同側(cè)，請(qǐng)從①②兩個(gè)問(wèn)題中任選一個(gè)作答：①求四邊形ABCD面積的取值范圍;②設(shè)直線AD與兩漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，是否存在直線AD使M，N為線段AD的三等分點(diǎn)，若存在，求出直線AD方程;若不存在，說(shuō)明理由.

2 解法探究

探究思路1 （1）題難度不大，略.對(duì)于（2）題，選擇①，求四邊形ABCD面積的取值范圍時(shí)，其通解通法是使用函數(shù)法，考慮利用直線AB的斜率來(lái)表示四邊形的面積.

探求思路2 如果不建立面積關(guān)于直線斜率k的函數(shù)，也可以選擇用點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示面積，即采用點(diǎn)驅(qū)動(dòng)的方法，也可以處理此題.

探究思路5題中直線AB和直線CD都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，這里還可使用極坐標(biāo)方程來(lái)求弦長(zhǎng).

解析5以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)Aρ1，θ，Dρ2，θ+π2，因雙曲線極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ-ρ23sin2θ=1，

3 追本溯源

這道八省八校解析幾何大題使用的方法多樣，其實(shí)課本早有鋪墊，它嚴(yán)格地貫徹了源于教材，高于教材的命題原則.它與人教版選修4-4中第15頁(yè)習(xí)題有著很大的相似性：

已知橢圓的中心為O，長(zhǎng)軸、短軸的長(zhǎng)分別為2a，2b（a>b>0），A，B分別為橢圓上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB.

（1）求證：1OA2+1OB2為定值;

（2）求△AOB面積的最大值和最小值.

由此啟發(fā)我們?cè)诮虒W(xué)中要回歸教材，一要讓教材和教輔資料各盡其責(zé)、物盡其用，防止本末倒置;二要重視教材中在知識(shí)發(fā)生和發(fā)展中呈現(xiàn)的那些經(jīng)典的思維模式;三要注意挖掘教材中例題習(xí)題背后廣泛而深遠(yuǎn)的意義，提煉更深層次的公式和結(jié)論，使學(xué)生深化相關(guān)知識(shí).

4 推廣探究

經(jīng)深入思考，通過(guò)縱向、橫向和逆向的方法進(jìn)行探究，得到此試題有如下拓展推廣結(jié)論：

結(jié)論1經(jīng)過(guò)原點(diǎn)作兩條互相垂直的直線交雙曲線x2a2-yb22=1a>0，b>0于四點(diǎn)，則此四點(diǎn)圍成的四邊形的面積的取值范圍是2a2b2b2-a2，+@.

證明以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩條直線交雙曲線于A，B和C，D四點(diǎn)，設(shè)Aρ1，θ，Dρ2，θ+π2，因雙曲線極坐標(biāo)方程為

結(jié)論4 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)作兩條垂直的直線交雙曲線x2a2-yb22=1a>0，b>0于A，B和C，D四點(diǎn)，并過(guò)原點(diǎn)作OE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，則 OE必為定值a2b2a2-b2.

事實(shí)上，因OE為定值，故點(diǎn)O在直線AD上的射影是以O(shè)為圓心，以a2b2a2±b2為半徑的圓，這里我們把這個(gè)圓命名為雙曲線或橢圓的基圓.并且此圓恰為四邊形ABCD的內(nèi)切圓，由此可得下面的結(jié)論5：

結(jié)論5 已知圓錐曲線x2a2±yb22=1，直線l是圓x2+y2=r2的任意一條切線，與圓錐曲線交于A，B兩點(diǎn)，則OA⊥OB的充要條件是r=a2b2a2±b2.

結(jié)論6 經(jīng)過(guò)橢圓x2a2+yb22=1a>b>0的左焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線交橢圓于A，B和C，D四點(diǎn)，則此四點(diǎn)圍成的四邊形的面積的取值范圍是8a2b4a2-b22，2b2.

題1 （2016年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)20題）設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)E軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

題2 （2013年高考Ⅱ卷理數(shù)20題）過(guò)橢圓x2a2+yb22=1a>b>0右焦點(diǎn)的直線x+y-3=0交橢圓于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為12，又C，D是橢圓上兩點(diǎn)，且CD⊥AB，求四邊形ABCD面積的最大值.

綜上所述，解析幾何綜合題通?；趲缀涡再|(zhì)或定理出發(fā)，通過(guò)特殊化，變更條件和結(jié)論來(lái)命題，特別對(duì)橢圓和拋物線的對(duì)偶性質(zhì)，教師要挖掘問(wèn)題的本質(zhì)和內(nèi)涵思想方法，要研究習(xí)題的變式推廣，發(fā)展學(xué)生思維;要研究一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

參考文獻(xiàn)：

[1]肖驍.揭開(kāi)面紗 還原本質(zhì)——二道高考試題賞析[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（05）：14-16.

[2] 羅增儒.解題分析——人人都能做解法的改進(jìn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998（07）：29-30.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡(jiǎn)介：王東海（1974.12-），男，安徽省肥東人，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.