問題背景探索，示例突破思考

章珣

[摘? 要] 拋物線與幾何綜合題是中考重難點(diǎn)題型，問題兼具“數(shù)”與“形”雙重特性. 對于其中與幾何面積結(jié)合緊密的問題，要立足面積公式，通過數(shù)形結(jié)合來轉(zhuǎn)化條件，構(gòu)建模型. 文章分析了該類問題的知識背景，結(jié)合實(shí)例具體探究，并開展解后反思，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 拋物線;三角形;面積;平移轉(zhuǎn)化;模型

背景探索

拋物線與幾何圖形結(jié)合是常見的命題形式，是“數(shù)”與“形”融合的典型代表，問題的知識點(diǎn)覆蓋廣，涉及函數(shù)與圖像、幾何圖形的性質(zhì)特征.

拋物線與幾何綜合題的構(gòu)建形式多樣，主要以拋物線與直線相交為基礎(chǔ)，依托交點(diǎn)構(gòu)建幾何圖形，設(shè)問形式有求交點(diǎn)坐標(biāo)，分析圖形周長，探究圖形面積等. 其中以三角形的屬性問題尤為常見，也是拋物線與幾何結(jié)合的考查核心. 問題突破需要采用數(shù)形結(jié)合法，以點(diǎn)坐標(biāo)為關(guān)聯(lián)紐帶，通過構(gòu)建模型將周長和面積問題轉(zhuǎn)化為與線段長或關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)的問題.

探究示例

2021年江蘇省揚(yáng)州市的函數(shù)壓軸題為拋物線與幾何的綜合，依托交點(diǎn)構(gòu)建了三角形，問題條件與三角形的面積密切相關(guān)，下面筆者進(jìn)行深入探究.

考題：（2021年江蘇省揚(yáng)州市中考卷第26題）如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C.

（1）b=________，c=________;

（2）若點(diǎn)D在該二次函數(shù)的圖像上，且S△ABD=2S△ABC，試求點(diǎn)D的坐標(biāo);

（3）若P是該二次函數(shù)圖像上位于x軸上的一點(diǎn)，且S△APC=S△APB，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

突破第（1）問——待定系數(shù)法

該問求二次函數(shù)的特征參數(shù)，采用待定系數(shù)法即可. 已知拋物線上A和B的坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中，可得1-b+c=0，

9+3b+c=0，解得b=-2，

c=-3.

另解，拋物線與x軸的交點(diǎn)為A和B，根據(jù)方程根與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，可直接將二次函數(shù)解析式表示為y=（x+1）（x-3），整理后可得y=x2-2x-3，顯然b=-2，c=-3.

突破第（2）問——構(gòu)建面積模型

該問設(shè)定點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖像上，條件“S△ABD=2S△ABC”涉及兩個三角形的面積關(guān)系，其中△ABC為定三角形，其面積可求，故可通過設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)，構(gòu)建關(guān)于△ABD面積的方程，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)的方程，解方程即可.

連接BC，如圖2所示，由二次函數(shù)解析式可求點(diǎn)C（0，-3），則△ABC的面積為S△ABC=×4×3=6，可推得S△ABD=12. 點(diǎn)D位于拋物線上，可設(shè)其坐標(biāo)為（m，m2-2m-3）. 將△ABD視為是以AB為底，D為頂點(diǎn)的三角形，則可將其面積表示為S△ABD=×AB×h，其中h表示點(diǎn)D到AB邊的距離，AB=4，所以可將其面積進(jìn)一步表示為S△ABD=×4×m2-2m-3，則×4×m2-2m-3=12，從而可解得m=1+或m=1-. 當(dāng)m=1+時，D1（1+，6）;當(dāng)m=1-時，D2（1-，6）.

突破第（3）問——平行轉(zhuǎn)化建模

該問設(shè)定點(diǎn)P在二次函數(shù)的圖像上，條件“S△APC=S△APB”同樣涉及兩個三角形的面積關(guān)系，屬于等面積問題. 不過這兩個三角形均含有不確定點(diǎn)P，故無法直接求出其面積. 分析時可將兩個三角形視為同底三角形，即△APC和△APB有共同的底AP，結(jié)合三角形的面積公式可知，只需確保點(diǎn)B和點(diǎn)C到AP所在直線的距離相等即可. 下面具體推導(dǎo)問題的轉(zhuǎn)化思路，并分析點(diǎn)坐標(biāo)的位置.

問題轉(zhuǎn)化：“S△APC=S△APB”→點(diǎn)B和C到AP的距離相等→BC∥AP.

位置分析：BC∥AP→點(diǎn)P位于拋物線x軸的上方.

根據(jù)上述分析，可知點(diǎn)P位于x軸的上方，可設(shè)點(diǎn)P（n，n2-2n-3），故n2-2n-3>0，可解得n<-1或n>3. 當(dāng)n<-1，此時點(diǎn)P位于點(diǎn)A的左側(cè)，顯然無法構(gòu)建AP，使得BC∥AP，不成立. 當(dāng)n>3，此時點(diǎn)P位于點(diǎn)B的右側(cè)，如圖3所示. 可設(shè)直線BC的解析式為y=kx+p，結(jié)合點(diǎn)B和C的坐標(biāo)可得k=1，p= -3，即直線BC的解析式為y=x-3. 設(shè)直線AP的解析式為y=k1x+q，因?yàn)锽C∥AP，則k1=k=1，將點(diǎn)A（-1，0）代入其中，可得y=x+1，將點(diǎn)P（n，n2-2n-3）代入其中，可得n2-2n-3=n+1，可解得n=4或n=-1（舍去），所以可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，5）.

問題思考

上述對考題的思路構(gòu)建過程進(jìn)行了深入探究，后兩問為核心之問，均與三角形的面積相關(guān). 但從問題的構(gòu)建思路來看，其轉(zhuǎn)化過程、模型構(gòu)建等環(huán)節(jié)有著較大的差異. 下面筆者針對兩個核心問題進(jìn)行深度思考.

問題1? 后兩問涉及三角形面積關(guān)系，思路構(gòu)建有較大差異的原因是什么？

第（2）問條件“S△ABD=2S△ABC”中，涉及△ABD和△ABC，其中點(diǎn)D的位置不確定，造成△ABC為定三角形，而△ABD為“動三角形”，從而可直接求出三角形的面積. 而第（3）問條件“S△APC=S△APB”中，不確定點(diǎn)P位于兩個三角形中，這就造成兩三角形的面積不可求，只可結(jié)合面積公式來推測頂點(diǎn)的位置關(guān)系.

問題2? 第（2）問和第（3）問均求頂點(diǎn)坐標(biāo)，造成解個數(shù)不同的原因是什么？

結(jié)合“平行線之間的距離相等”可知，在確定三角形的底邊和頂點(diǎn)的情形下，理論上滿足條件的點(diǎn)有兩個，且兩點(diǎn)的連線與底邊所在直線相平行. 而在第（2）問中，底邊BC與x軸重合，故滿足條件的頂點(diǎn)D1和D2的連線與x軸平行，即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，由于兩點(diǎn)位于拋物線上，則兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱. 在第（3）問中，同樣通過平行來確定點(diǎn)坐標(biāo)，但AP是作為三角形底邊來構(gòu)建的，且點(diǎn)A為定點(diǎn)，位于拋物線上，故通過作平行線只可求得一點(diǎn).

問題3? 對于第（3）問的等面積關(guān)系，可從哪些角度來變式？

變式1：若將其中點(diǎn)A的坐標(biāo)變更為（-2，0），則滿足條件的點(diǎn)P有幾個？

分析：基于上述問題2的探究，可知滿足條件的點(diǎn)P有兩個. 從幾何視角來看，相當(dāng)于將原題目中的直線AP向左平移1個單位長度.

變式2：若P是該二次函數(shù)圖像上位于x軸上的一點(diǎn)，且S△APC=S△APB，是否可求出四邊形ACBP的面積？

分析：四邊形ACBP為一般的四邊形，確定其坐標(biāo)后，可采用面積割補(bǔ)的方法求其面積，可將其表示為S四邊形ACBP =S△ABP +S△ABC=×AB×yP -yC，代入線段長和點(diǎn)坐標(biāo)即可求解.

教學(xué)建議

1. 關(guān)注問題考點(diǎn)，探究知識本質(zhì)

拋物線與幾何綜合屬于重難點(diǎn)題型，問題涵蓋了眾多的知識考點(diǎn)，問題的構(gòu)建形式較為復(fù)雜，實(shí)際突破過程需要學(xué)生充分把握知識考點(diǎn)，深入探究問題本質(zhì). 以上述第（2）問為例，給出面積關(guān)系求點(diǎn)坐標(biāo)，主要考查面積轉(zhuǎn)化、模型構(gòu)建，以及函數(shù)背景下幾何推理. 從問題本質(zhì)來看，實(shí)則為面積方程問題，即根據(jù)幾何面積構(gòu)建關(guān)于坐標(biāo)參數(shù)的方程. 在實(shí)際教學(xué)中，建議教師引導(dǎo)學(xué)生分步審題：第一步，梳理題干信息，歸納知識考點(diǎn);第二步，解析問題條件，深度轉(zhuǎn)化思考;第三步，回歸教材知識，探究問題本質(zhì).

2. 把握核心解法，生成解題策略

從問題屬性來看，可將上述問題歸為函數(shù)圖像中的面積關(guān)系問題，問題具有“數(shù)”“形”融合的特性，故數(shù)形結(jié)合是該類問題突破的核心解法，該方法體現(xiàn)在讀圖審題、條件轉(zhuǎn)化、模型構(gòu)建、推理計算等多個過程中. 以上述考題的第（3）為例，在探究等面積關(guān)系條件下頂點(diǎn)坐標(biāo)時，充分結(jié)合數(shù)形結(jié)合的方法，基于頂點(diǎn)屬性構(gòu)建面積模型，通過平行特性來確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)代法來推理計算. 實(shí)際教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生深刻理解數(shù)形結(jié)合的方法內(nèi)涵，掌握數(shù)形結(jié)合解析問題的核心步驟，即首先結(jié)合圖像理解題意，根據(jù)圖像的特征挖掘隱含條件，然后通過解方程、求函數(shù)解、分析函數(shù)性質(zhì)等方法完成推理計算.

3. 深度思考問題，合理變式探究

“解后反思”是解題教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，在該環(huán)節(jié)中教師可以全面審視問題，反思解法，形成類型問題的解析策略. 以上述考題反思為例，筆者對后兩問的構(gòu)建思路、問題的解、變式方向進(jìn)行了探究，從頂點(diǎn)屬性、模型構(gòu)建、平移轉(zhuǎn)化等視角進(jìn)行了深入思考，所總結(jié)的解題經(jīng)驗(yàn)對于后續(xù)類型題的探究十分有利. 實(shí)際上拋物線背景下的幾何面積問題十分常見，并形成了面積比值轉(zhuǎn)化、面積存在性、面積最值等多類型問題，但問題突破的方法策略是一致的，故開展解后反思極為重要. 實(shí)際教學(xué)中，建議教師引導(dǎo)學(xué)生立足問題反思解法，利用解析方法探索問題特征，給學(xué)生留足思考空間，讓學(xué)生在思維碰撞中獲得能力提升.