談高中數(shù)學(xué)自我發(fā)現(xiàn)的課堂建構(gòu)

蔣秋霞

[摘? 要] 為了順應(yīng)時(shí)代發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)理應(yīng)做出一些改變，打破傳統(tǒng)的“以師為主”的教學(xué)模式，建立起以發(fā)展學(xué)生為核心的自我發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)課堂. 在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在觀察、比較、總結(jié)、反思中學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)和建構(gòu)，進(jìn)而培養(yǎng)出具有創(chuàng)造性的新型人才.

[關(guān)鍵詞] 發(fā)展學(xué)生;自我發(fā)現(xiàn);建構(gòu)

在當(dāng)代數(shù)學(xué)課堂上，教師要意識(shí)到，學(xué)生不僅是知識(shí)的傳承者，更是新知的締造者. 因此，教學(xué)中除了要引導(dǎo)學(xué)生掌握知識(shí)和技能外，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，只有這樣才能培養(yǎng)出時(shí)代所需的，具有創(chuàng)造精神的新型人才[1].

那么，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、學(xué)會(huì)創(chuàng)造，教師就需要轉(zhuǎn)換自己的身份. 教師不再是知識(shí)的“灌輸者”，而應(yīng)是與學(xué)生共同學(xué)習(xí)、共同進(jìn)步的“合作者”. 同時(shí)，教師要為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)寬松、平等的學(xué)習(xí)環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生自由表達(dá)、科學(xué)探究，進(jìn)而成為創(chuàng)造性思維的促進(jìn)者. 另外，在發(fā)現(xiàn)和探究的過程中勢(shì)必會(huì)遇到挫折，那么教師要擔(dān)當(dāng)啟發(fā)和引導(dǎo)的重任，成為學(xué)習(xí)的“啟發(fā)者”和“領(lǐng)路人”. 可見，既要保證課堂有序進(jìn)行，又要確保學(xué)生有所發(fā)現(xiàn)、有所收獲，教師就要充分發(fā)揮其多重身份的價(jià)值，進(jìn)而打造一個(gè)高效的數(shù)學(xué)課堂.

真正的學(xué)習(xí)并不是機(jī)械地模仿，它應(yīng)該加入學(xué)生自己的想法，應(yīng)該是一個(gè)學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)和自我建構(gòu)的過程. 因此，教學(xué)中教師應(yīng)該給學(xué)生預(yù)留一些時(shí)間，創(chuàng)造一些機(jī)會(huì)，讓學(xué)生有一個(gè)自我發(fā)展的空間，進(jìn)而激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生走上“真學(xué)”之路.

[?]在觀察和比較中發(fā)現(xiàn)

當(dāng)我們?cè)诮鉀Q一個(gè)問題時(shí)，首先要做的就是理清問題的來(lái)龍去脈，這樣才能確保解決方案的科學(xué)性和合理性，才能確保問題能順利解決. 解數(shù)學(xué)題時(shí)亦是如此. 不能看到題目就急于求解，應(yīng)先弄清題意，比如先搞清楚已知是什么、未知是什么、條件是什么、已知與未知中還有哪些隱藏條件. 只有弄清了題意才能順利地將已知與未知建立聯(lián)系，進(jìn)而應(yīng)用已有經(jīng)驗(yàn)找到最佳的解決方案. 然要經(jīng)歷這一系列過程，離不開學(xué)生細(xì)心的觀察，所以教學(xué)過程中教師要引導(dǎo)學(xué)生多觀察、多分析、多比較. 通過觀察挖掘隱含于題設(shè)中的信息，這是問題順利求解的前提;通過分析將已知與未知進(jìn)行串聯(lián)，進(jìn)而尋找解決方案，這是順利解題的必經(jīng)之路;通過比較聯(lián)系已有經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而優(yōu)化解決方案，這是提高解題效率的有效手段[2]. 總之，在教學(xué)中要多讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、比較等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，這樣便于學(xué)生在參與的過程中發(fā)現(xiàn)問題，這對(duì)學(xué)習(xí)能力的提升是至關(guān)重要的.

例如，在解決三角函數(shù)的求值問題中，無(wú)論是已知角求值還是已知值求角，看到題目時(shí)，切勿急于動(dòng)筆，而是先仔細(xì)觀察，尤其是處理角與角的問題時(shí)更要認(rèn)真觀察，找到已知角與未知角的聯(lián)系，如α=（α+β）-β=+=（α-β）+β，又如+α與-α，+α與+2α的關(guān)系. 這樣通過觀察和轉(zhuǎn)化將看似毫無(wú)關(guān)聯(lián)的兩個(gè)角建立起聯(lián)系，便于順利找到解題的突破口.

例如，復(fù)習(xí)三角函數(shù)求值時(shí)，筆者帶領(lǐng)學(xué)生共同探究了這樣一個(gè)問題：

例1 已知<α<β<，cos（α-β）=，sin（α+β）=-，求sin2α.

師：觀察題目，中給出了哪些已知條件？

生1：給出了角α，β的范圍，cos（α-β）和sin（α+β）的值.

師：求什么呢？

生2：求sin2α.

師：能否將2α與（α-β），（α+β）建立聯(lián)系呢？

生3：2α=（α-β）+（α-β），即sin2α=sin[（α+β）+（α-β）].

師：很好，展開式子后即轉(zhuǎn)化為求cos（α-β），sin（α+β），cos（α+β），sin（α-β）的值. 已知cos（α-β）和sin（α+β），則cos（α+β）和sin（α-β）的值由三角函數(shù)公式容易求出，這樣各值得出后，問題自然就迎刃而解了. 當(dāng)然，在求解過程中要注意角α，β的范圍，在解數(shù)學(xué)題時(shí)一定要做到科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn).

為了鞏固剛剛的戰(zhàn)果，筆者決定“趁熱打鐵”，給出了一些練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生先自我檢測(cè)，然后再合作探究，進(jìn)而在合作交流中發(fā)現(xiàn)自身的不足，通過優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)實(shí)現(xiàn)共同進(jìn)步，促進(jìn)全班整體解題效率提升.

題1：已知α，β∈（0，π），tan=，sin（α+β）=，求cosβ;

題2：已知5sinβ=sin（2α+β），求tan（α+β）cotα;

題3：已知sin2α=sinβcosβ，求證：cos2α=2sin

-β

cos

+β

;

題4：若tanα與tan

-α

是方程x2+px+q=0的兩個(gè)根，則p與q之間的關(guān)系是什么？

在設(shè)計(jì)題目時(shí)擔(dān)心題目過多過新，學(xué)生難以順利完成，然根據(jù)學(xué)生的反饋發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生都能獨(dú)立完成，部分學(xué)生在求解個(gè)別題目時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些小意外，然通過有效交流也能順利地完成. 問題順利解答后，每個(gè)學(xué)生的臉上都洋溢著開心的笑容. 可見，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、自主建構(gòu)能取得較好的學(xué)習(xí)效果. 學(xué)生的潛能是無(wú)限的，在教學(xué)過程中，教師要將其在教學(xué)中的地位由“主宰”變?yōu)椤爸鲗?dǎo)”，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，引導(dǎo)學(xué)生多角度進(jìn)行觀察和分析，從而突破固定思維的束縛，釋放學(xué)生無(wú)限的潛能，高效地完成課堂教學(xué)任務(wù).

[?]在鞏固練習(xí)中發(fā)現(xiàn)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，練習(xí)是必不可少的，那么如何練才更高效呢？大多數(shù)師生在練習(xí)中選擇了“題海戰(zhàn)術(shù)”，然這種方法給學(xué)生帶來(lái)了沉重的課業(yè)壓力，而且又容易造成思維定式，所以這并不是一種高效的提升方案. 筆者認(rèn)為，在習(xí)題練習(xí)中要多觀察、多總結(jié)，要在練習(xí)中發(fā)現(xiàn)一些有用的東西，形成自己的解題風(fēng)格，這樣學(xué)生自然能具備舉一反三的解題能力.

以三角函數(shù)的教學(xué)為例，本章內(nèi)容雜、公式多，若公式僅靠死記硬背很容易搞混淆. 因此，在復(fù)習(xí)時(shí)有必要引導(dǎo)學(xué)生自我推理、自我發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而形成自我的解題能力，這樣即使出現(xiàn)遺忘，學(xué)生也能根據(jù)規(guī)律推理出結(jié)論、解決一切問題. 為了引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，筆者在復(fù)習(xí)本章內(nèi)容時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)公式和“1”的處理來(lái)完成自我建構(gòu).

1. 對(duì)公式的處理

在教學(xué)中，筆者帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了sin（α+β）和cos（α+β）這兩個(gè)基本公式后就沒有再推導(dǎo)后面的公式，而是讓學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，將兩個(gè)公式進(jìn)行變形，這樣學(xué)生在不知不覺中就推導(dǎo)出了倍角公式、半角公式、誘導(dǎo)公式等多個(gè)公式，雖然推導(dǎo)過程相對(duì)于直接講授多消耗了一些時(shí)間，然經(jīng)歷獨(dú)立推導(dǎo)的過程，大大地提升了學(xué)生解決此類問題的信心.

2. 對(duì)“1”的處理

處理與三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，對(duì)“1”的靈活處理往往是解題的一個(gè)關(guān)鍵，因此教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“1”及其相關(guān)的變形.

師：在三角函數(shù)中有一個(gè)特殊值，這個(gè)值是什么？

學(xué)生：“1”.

師：很好，那你能總結(jié)出關(guān)于特殊值“1”的公式嗎？

問題給出后，學(xué)生通過積極思考，將其分為了三種類型：第一類為同角三角函數(shù)公式，如tanα·cotα=1，sin2α+cos2α=1等;第二類為特殊角三角函數(shù)公式，如cos0=1，sin=1等;第三類是倍角公式或半角公式，如cos2α=1-2sin2α，tan=等. 通過回憶和總結(jié)，學(xué)生意識(shí)到了“1”的重要價(jià)值，進(jìn)而為后期的變形和推導(dǎo)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

例2 已知tanα=2，求sin2α-2cos2α+sinαcosα的值.

顯然本題要對(duì)sin2α-2cos2α+sinαcosα進(jìn)行變形，使之向tanα轉(zhuǎn)化. 即將sin2α-2cos2α+sinαcosα除以“1”，將“1”轉(zhuǎn)化為sin2α+cos2α，于是sin2α-2cos2α+sinαcosα=，這時(shí)分子分母同時(shí)除以cos2α，問題就可以迎刃而解了.

在例2的影響下，可以引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出用tanα表示sin2α和cos2α的情況. 這樣通過不斷地聯(lián)想、變形、推導(dǎo)，學(xué)生不但掌握了較多公式，而且明晰了公式的推導(dǎo)過程，方便學(xué)生在解題時(shí)可以靈活應(yīng)用，融會(huì)貫通. 同時(shí)，學(xué)生在此過程中思維能力和解決問題的能力也得到了較大的提升，有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的發(fā)展.

[?]在總結(jié)反思中發(fā)現(xiàn)

在開展自我發(fā)現(xiàn)、自我創(chuàng)造的開放性教學(xué)時(shí)，一定要注意引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)地總結(jié)和反思. 在學(xué)習(xí)中，有些發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造可能存在一定的偶然性，那么如何在偶然中發(fā)現(xiàn)必然的規(guī)律，將是思維的又一次飛躍. 因此，在教學(xué)過程中，要給學(xué)生時(shí)間進(jìn)行總結(jié)和反思，這樣往往會(huì)達(dá)到事半功倍的效果.

例3 a，b，c>0，a+b+c=1，求證：++<5.

經(jīng)過學(xué)生對(duì)根號(hào)問題的反思，學(xué)生發(fā)現(xiàn)除了直接開平方外，還可以應(yīng)用均值不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如≤=2b+1. 經(jīng)過這樣的轉(zhuǎn)化，問題就迎刃而解了.

解決問題的方法往往不是唯一的，每個(gè)人的思維方式不同，解題時(shí)思考的方向也會(huì)有所不同. 在教學(xué)中，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行不同的嘗試，這樣不僅可以豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，而且可以開闊學(xué)生的視野，這對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)至關(guān)重要.

總之，教學(xué)中教師要為學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會(huì)去觀察、去發(fā)現(xiàn)，教會(huì)他們?nèi)绾稳シ治?、去總結(jié)、去概況，充分發(fā)揮學(xué)生的主體能動(dòng)性，進(jìn)而將學(xué)生培養(yǎng)成會(huì)合作、敢創(chuàng)新的新時(shí)代人才.