估算及其教學(xué)策略

黃燕紅

摘要：作為小學(xué)數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容之一，估算是日常生活應(yīng)用的需要，也是數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的需要。估算方法常常因問(wèn)題情境的不同而不同，通?？煞譃榻Y(jié)果估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、大小估計(jì)等幾類。結(jié)果估計(jì)通常又可分為先估再算、先算再估、邊算邊估等幾類。估算教學(xué)的兩條基本策略是：體現(xiàn)估算價(jià)值，讓學(xué)生想估算;指導(dǎo)、評(píng)價(jià)估算方法，讓學(xué)生會(huì)估算。

關(guān)鍵詞：估算;價(jià)值;方法;小學(xué)數(shù)學(xué)

估算是估計(jì)的一種類型，即根據(jù)具體條件及有關(guān)知識(shí)對(duì)事物的數(shù)量或算式的結(jié)果作出大概推斷。估算能力是指懂得什么情況下無(wú)法或不必作精確計(jì)算，并應(yīng)用相關(guān)知識(shí)和策略給出近似答案的能力。

估算是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容之一。然而長(zhǎng)期以來(lái)，由于教材編寫(xiě)、考試命題等因素的影響，很多教師在教學(xué)中，過(guò)分重視精確計(jì)算，而忽視估算。那么，如何讓估算教學(xué)真正落到實(shí)處？讓我們從估算的價(jià)值和方法說(shuō)起。

一、估算的價(jià)值

首先是日常生活應(yīng)用的需要。生活中經(jīng)常會(huì)遇到無(wú)法或不必精確計(jì)算的情況，這時(shí)估算往往能發(fā)揮便捷、巧妙地解決問(wèn)題的作用。例如，超市購(gòu)物、旅行游玩、家庭收支統(tǒng)計(jì)等情況，都可以選擇使用估算。

其次是數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的需要。從本質(zhì)上來(lái)講，估算是心算、數(shù)學(xué)概念和算術(shù)技巧之間相互作用的過(guò)程，是計(jì)算能力的重要組成部分。相對(duì)于通常機(jī)械、繁雜、單一的精確計(jì)算而言，估算有其不可替代的教學(xué)價(jià)值，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：在精確計(jì)算的同時(shí)估算，可以把握計(jì)算結(jié)果的范圍，為判斷計(jì)算結(jié)果是否合理提供依據(jù)，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)感;在具體情境中估算，有利于學(xué)生提高判斷、選擇能力，培養(yǎng)做事的計(jì)劃性、靈活性，對(duì)學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、未來(lái)的生活工作有重要的作用。

二、估算的方法

不像精確計(jì)算常常方法唯一、答案確定，估算方法常常因問(wèn)題情境的不同而不同，估算結(jié)果常常因思考角度的不同而不同。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活工作中常用的估算方法大致可分為以下幾類：

（一）結(jié)果估計(jì)

1.先估再算

先估再算也就是對(duì)運(yùn)算對(duì)象取近似值。常用的方法如下：

湊整法，也叫作高位估算法。如湊成整十?dāng)?shù)、整百數(shù)或整百整十?dāng)?shù)等。

取中間數(shù)法，也叫作平均估算法。例如，求42、47、40、49這四個(gè)數(shù)的和，因?yàn)檫@些數(shù)都很接近45，有的比45多一點(diǎn)，有的比45少一點(diǎn)，所以取中間數(shù)45，直接用45×4，就能大約地計(jì)算出這四個(gè)數(shù)的和。

特殊數(shù)據(jù)法。例如，算26×4，可以想到26接近25，25×4=100。

大小協(xié)調(diào)法：兩個(gè)數(shù)，一個(gè)數(shù)往大了估，一個(gè)數(shù)往小了估。

口訣湊數(shù)法：在除法估算中，只考慮被除數(shù)與除數(shù)的最高位或最高兩位，取近似值，然后用乘法口訣湊個(gè)位數(shù)或整十?dāng)?shù)、整百數(shù)等。這其實(shí)是試商的過(guò)程，也是湊整法的運(yùn)用。例如，算358÷6，因?yàn)?58≈360，用乘法口訣“六六三十六”湊整十?dāng)?shù)，估算商為60。再如，算433÷62，因?yàn)?33≈420，62≈60，用乘法口訣“六七四十二”湊個(gè)位數(shù)，估算商為7。又如，算5493÷62，因?yàn)?5493≈5400，62≈60，用乘法口訣“六九五十四”湊整十?dāng)?shù)，估算商為 90。

在小數(shù)計(jì)算中，可以改變數(shù)位，調(diào)整為容易算的小數(shù)或整數(shù)。

在分?jǐn)?shù)計(jì)算中，可以加減分子或分母，調(diào)整為容易算的分?jǐn)?shù)（如同分母分?jǐn)?shù)）;或者近似看作容易算的小數(shù)或整數(shù)（如1）。

2.先算再估

先算再估也就是對(duì)運(yùn)算結(jié)果取近似值。常用的方法如下：

四舍五入法：0、1、2、3、4不進(jìn)位，5、6、7、8、9進(jìn)位。

進(jìn)一法：按要求去掉部分?jǐn)?shù)字，在保留部分的最后一位數(shù)字上加“1”，所得到的近似值比準(zhǔn)確值大。例如：一個(gè)杯子能裝水250毫升，水壺中有水1200毫升，用幾個(gè)杯子才能倒完？用1200除以250，商為4，余數(shù)為200。所以，用4個(gè)杯子不能倒完，必須采用進(jìn)一法，即用5個(gè)杯子才能倒完。

去尾法：按要求直接去掉部分?jǐn)?shù)字，所得到的近似值比準(zhǔn)確值小。如，去掉小數(shù)部分，保留整數(shù)部分，就是常見(jiàn)的去尾法應(yīng)用。

3.邊算邊估

邊算邊估也就是在計(jì)算過(guò)程中（確定結(jié)果前），采用取近似值以外的方法對(duì)結(jié)果作出估計(jì)。常用的方法如下：

低位估算法：只計(jì)算結(jié)果的最低位，以檢驗(yàn)結(jié)果是否正確。例如，利用簡(jiǎn)便方法計(jì)算583-198 時(shí)，經(jīng)常有學(xué)生算成583-200-2=381，而正確的算法是583-200+2=385。這往往是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)“多減了幾就要加上幾”和“多加了幾就要減去幾”這兩種簡(jiǎn)算方法區(qū)分不清楚。其實(shí)，只要口算結(jié)果的個(gè)位，即13-8=5，就可以判斷這道題計(jì)算的方法和結(jié)果是否正確。這比利用豎式計(jì)算來(lái)檢驗(yàn)更方便和快捷。

數(shù)位估算法：借助位值原則及積、商的定位規(guī)律，判斷計(jì)算結(jié)果的數(shù)位。例如，根據(jù)積的數(shù)位等于兩個(gè)因數(shù)數(shù)位之和或比這個(gè)和少1，可將兩個(gè)因數(shù)最高位四舍五入后的數(shù)字相乘，來(lái)估算結(jié)果的數(shù)位。對(duì)于758×31，因?yàn)?×3=24>10，所以估算結(jié)果是五位數(shù);對(duì)于232×38，因?yàn)?×4=8<10，所以估算結(jié)果是四位數(shù)。有了這種估算方法，遇到積的數(shù)位相關(guān)的選擇題、判斷題，就能省去豎式計(jì)算的麻煩;而在筆算時(shí)，也能對(duì)結(jié)果的正確性作出初步判斷。

規(guī)律估算法：利用乘法和除法的一些規(guī)律和性質(zhì)，判斷計(jì)算結(jié)果是否正確。例如，判斷3.45×1.2=0.414的結(jié)果是否正確，不僅可以根據(jù)低位估算法、數(shù)位估算法，還可以利用“一個(gè)數(shù)（0除外）乘一個(gè)比 1 大的數(shù)，結(jié)果肯定比這個(gè)數(shù)大”的性質(zhì)，輕松判斷這個(gè)計(jì)算結(jié)果是錯(cuò)誤的。熟練運(yùn)用這種估算方法，小數(shù)乘法計(jì)算的正確率會(huì)大大提升。而小數(shù)除法計(jì)算，也可以利用類似的性質(zhì)來(lái)判斷結(jié)果的正確性。

經(jīng)驗(yàn)估算法：解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)（知識(shí)）來(lái)估計(jì)。例如，“爸爸身高1.88米，比四年級(jí)的小明身高的2倍少0.88米，小明身高多少米？”解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這樣幾種錯(cuò)誤：（1.88-0.88）÷2=0.5（米）;1.88÷2-0.88=0.06（米）;1.88÷2+0.88=1.82（米）。如果學(xué)生能結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)估計(jì)，就會(huì)知道前兩種結(jié)果顯然是錯(cuò)誤的，而第三種結(jié)果對(duì)于四年級(jí)的小明來(lái)說(shuō)也有些不正常。

（二）區(qū)間估計(jì)

區(qū)間估計(jì)其實(shí)就是尋找范圍。上述湊整法、進(jìn)一法、去尾法等“大估法”或“小估法”（明確估大了或估小了），其實(shí)也是一種區(qū)間估計(jì)。此外，還有一些問(wèn)題，本身就要求進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。例如，以下統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，只要找到小紅所在身高的范圍，就能確定小紅買的是什么票。

小明整理了四年級(jí)（1）班同學(xué)的身高數(shù)據(jù)，結(jié)果如表1所示。

四年級(jí)（1）班同學(xué)去游樂(lè)園玩，游樂(lè)園規(guī)定：身高在130厘米以下的免票，身高在130—150厘米的半票，身高在150厘米以上的全票。把全班同學(xué)的身高按從高到矮排一排，小紅排在第25名，她買的是（）票。

（三）大小估計(jì)

大小估計(jì)，主要指比較數(shù)的大小和把握量的大小時(shí)，找一個(gè)參照的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行估算。

例如，比較1531和72139的大小，用常規(guī)的方法化成同分母分?jǐn)?shù)、同分子分?jǐn)?shù)或小數(shù)，都比較麻煩，但是觀察這兩個(gè)數(shù)的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)它們都接近12，所以可以用12作為參照的標(biāo)準(zhǔn)：1531<12，72139>12，所以1531<72139。

再如，感知1公頃有多大時(shí)，可以用一些熟悉的量，如教室的面積、停車位的面積等，作為參照的標(biāo)準(zhǔn)：1公頃有大約200個(gè)教室或1000個(gè)停車位那么大。

三、估算的教學(xué)策略

通過(guò)對(duì)估算價(jià)值和方法的分析，我們不難得到估算教學(xué)的兩條基本策略。

（一）體現(xiàn)估算價(jià)值，讓學(xué)生想估算

學(xué)生感受到估算的價(jià)值，才想估算。估算的價(jià)值需要在估算的練習(xí)，即有關(guān)問(wèn)題的解決中體現(xiàn)。相比于只能或只要估算解決的問(wèn)題，教師更應(yīng)該提出既可以估算也可以精確計(jì)算解決的問(wèn)題，讓學(xué)生在比較中充分感受估算的便捷。這樣的問(wèn)題通常可以分為兩類：一類是生活情境中的“夠不夠”問(wèn)題、數(shù)學(xué)情境中的“比大小”問(wèn)題，以及生活或數(shù)學(xué)情境中具有選擇性（哪種情況最有可能）的問(wèn)題;另一類則是數(shù)學(xué)或生活情境中的計(jì)算（求解）結(jié)果檢驗(yàn)（糾錯(cuò)）問(wèn)題，尤其是學(xué)生作業(yè)或考試中的計(jì)算錯(cuò)誤，可以作為檢驗(yàn)問(wèn)題的素材。解決這些問(wèn)題的共通之處是，不需要精確計(jì)算出結(jié)果，只需要估計(jì)出結(jié)果的近似值或大致范圍后與已知的事實(shí)相比較即可。而且，這些問(wèn)題幾乎可以融入小學(xué)數(shù)學(xué)所有內(nèi)容的教學(xué)中。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以時(shí)刻關(guān)注估算，設(shè)計(jì)估算問(wèn)題，體現(xiàn)估算價(jià)值，從而讓學(xué)生想估算。

（二）指導(dǎo)、評(píng)價(jià)估算方法，讓學(xué)生會(huì)估算

學(xué)生掌握了估算的方法，才會(huì)估算。估算的方法多種多樣，學(xué)生要根據(jù)具體的問(wèn)題特征（解決問(wèn)題的需要）靈活地選擇。為此，教師要在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)各種方法，了解方法適用情況的基礎(chǔ)上，做好以下兩點(diǎn)：

一是針對(duì)典型問(wèn)題，指導(dǎo)估算方法。估算方法的選擇是由問(wèn)題的特征決定的。教師要選擇典型的估算問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)審題，分析問(wèn)題的特征，選擇適合的估算方法，體會(huì)選擇的標(biāo)準(zhǔn)，如便捷性與實(shí)用性。在此基礎(chǔ)上，教師還要引導(dǎo)學(xué)生反思解題的過(guò)程，總結(jié)提煉一類題的估算方法。例如：（1）一件上衣295元，一條褲子188元，媽媽帶了500元，夠買嗎？（2）某小學(xué)師生共有600人，組織看電影，電影院共有22排座位，每排32個(gè)，夠坐嗎？由此，可以引導(dǎo)學(xué)生得到：判斷“夠”要用“大估法”，判斷“不夠”要用“小估法”。

二是加強(qiáng)自主探究，評(píng)價(jià)估算方法。真正學(xué)會(huì)靈活選擇估算的方法，離不開(kāi)學(xué)生自主探究的嘗試。教師還要提出更多的估算問(wèn)題，讓學(xué)生自主探究選擇估算的方法，感受方法的合理性，然后對(duì)學(xué)生選擇的估算方法進(jìn)行評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)當(dāng)然要對(duì)不合適的方法作出糾正，但同時(shí)也要注意：很多問(wèn)題的估算方法并不唯一（估算答案并不固定），只要能夠解決問(wèn)題（明確精確計(jì)算結(jié)果的范圍），就是合理的。因此，應(yīng)該慎重對(duì)待學(xué)生的估算方法，不能簡(jiǎn)單地把估算結(jié)果與最精確計(jì)算結(jié)果（實(shí)際情況）的接近程度作為評(píng)價(jià)的唯一標(biāo)準(zhǔn)，而要讓學(xué)生對(duì)方法的優(yōu)劣形成自己的體會(huì)。