把握本質(zhì)，精準(zhǔn)施策

范韋莉

摘要：蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“平移和旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)，要把握并立足平移和旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，精準(zhǔn)選擇教學(xué)方法，組織學(xué)習(xí)活動(dòng)。數(shù)學(xué)本質(zhì)的體會(huì)需要基于對(duì)相關(guān)現(xiàn)象的充分感知，可讓學(xué)生進(jìn)行多元表征以積累經(jīng)驗(yàn);需要遵循“先直觀后抽象”的原則，可引導(dǎo)學(xué)生在比較歸納中探尋概念的本質(zhì);需要關(guān)注直觀感受的獲得，可組織學(xué)生自主操作，逐步豐富概念的內(nèi)涵;需要重視學(xué)以致用，從而讓學(xué)生感悟平移和旋轉(zhuǎn)的價(jià)值。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)本質(zhì);多元表征;比較歸納;自主操作;學(xué)以致用

一、教材解讀和學(xué)情分析

（一）解讀教材，明晰數(shù)學(xué)本質(zhì)

平移和旋轉(zhuǎn)都是物體或圖形在空間變化其所在位置的運(yùn)動(dòng)方式，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材分兩次教學(xué)有關(guān)的內(nèi)容。第一次在三年級(jí)上冊(cè)，主要是認(rèn)識(shí)生活中的平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象;第二次在四年級(jí)下冊(cè)，主要教學(xué)在方格紙上平移、旋轉(zhuǎn)較簡(jiǎn)單的圖形。物體在現(xiàn)實(shí)空間的平移和旋轉(zhuǎn)屬于剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)的概念，平面圖形的平移和旋轉(zhuǎn)屬于圖形變換的概念。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，我們把前者稱為“生活中的平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象”，把后者看作對(duì)前者進(jìn)行抽象的結(jié)果。

1.平移的本質(zhì)

平移是指把圖形（物體）從某個(gè)位置沿一定的方向直直地移動(dòng)到另一個(gè)位置，得到的圖形（物體）與原來(lái)的形狀、大小完全相同，且其中的每一點(diǎn)都是由原圖形（物體）中的某一對(duì)應(yīng)點(diǎn)移動(dòng)后得到，連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等。不難看出，平移的核心是“點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)，是自身包含的所有點(diǎn)在遵循平移條件下發(fā)生位移的圖形變換過程。平移有方向、距離兩個(gè)要素，運(yùn)動(dòng)方向可以是橫向、豎向，還可以是斜向。三種方式中，橫向平移和豎向平移最常見;斜向平移在小學(xué)階段較為少見，且不少學(xué)生認(rèn)為這不是平移，故教學(xué)時(shí)需要在這個(gè)地方引導(dǎo)學(xué)生思辨。

2.旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)

旋轉(zhuǎn)是指將圖形（物體）圍繞一個(gè)固定的中心按一定的方向轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)中圖形（物體）上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都是圓或圓的一部分。旋轉(zhuǎn)有中心、方向、角度三個(gè)要素，運(yùn)動(dòng)方向有順時(shí)針和逆時(shí)針兩種。旋轉(zhuǎn)時(shí)，既可以圍繞一個(gè)點(diǎn)，也可以圍繞一根軸;既可以旋轉(zhuǎn)一圈或幾圈，也可以旋轉(zhuǎn)不足一圈。

平移和旋轉(zhuǎn)，由于構(gòu)成運(yùn)動(dòng)的要素不同，所以分開看彼此之間似乎沒有聯(lián)系，但其實(shí)不然。教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生溝通比較，啟發(fā)學(xué)生建立聯(lián)系，感悟不同運(yùn)動(dòng)方式的相同之處，即無(wú)論是直直地移動(dòng)還是繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中只是位置發(fā)生變化，形狀和大小都保持不變。當(dāng)然，這一整體性的認(rèn)識(shí)還只是初步的，需要在之后的學(xué)習(xí)中進(jìn)一步體驗(yàn)與理解。

（二）分析學(xué)情，明確教學(xué)重點(diǎn)

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《平移和旋轉(zhuǎn)》一課是認(rèn)識(shí)平移和旋轉(zhuǎn)的起始課。教學(xué)前，學(xué)生并不是一張白紙，他們?cè)谌粘Ｉ詈蛯W(xué)習(xí)中有接觸、有感知，但大多都是模糊的、未經(jīng)數(shù)學(xué)化的。筆者在即將執(zhí)教的一個(gè)班級(jí)做了前測(cè)，要求學(xué)生說(shuō)說(shuō)“什么是平移？什么是旋轉(zhuǎn)”，并用文字或圖示描述自己的理解。有學(xué)生認(rèn)為：“平移就是平著運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)就是轉(zhuǎn)圈。”有學(xué)生舉例：“火車往前開是平移，摩天輪轉(zhuǎn)圈是旋轉(zhuǎn)?！庇袑W(xué)生比畫：“走路就是平移，玩轉(zhuǎn)圈游戲就是在做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)?！贝蠖鄶?shù)學(xué)生能將物體平移，也能將物體旋轉(zhuǎn)，但對(duì)平移、旋轉(zhuǎn)前后的變化感受不深。這些前概念是學(xué)生建立平移和旋轉(zhuǎn)概念的重要基礎(chǔ)。本節(jié)課就是要幫助學(xué)生從“模糊的感知”走向“清晰的認(rèn)識(shí)”，引領(lǐng)他們體會(huì)相關(guān)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，感悟圖形變換的本質(zhì)，從而發(fā)展空間觀念。

二、基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)

（一）多元表征，積累經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)本質(zhì)的體會(huì)需要基于對(duì)相關(guān)現(xiàn)象的充分感知。教學(xué)中，一方面，要從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，從生活中擷取那些學(xué)生熟悉的、感興趣的素材，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、想象、比較、分類、交流等方式獲得對(duì)平移和旋轉(zhuǎn)概念的直觀認(rèn)識(shí)，生成兩種運(yùn)動(dòng)的表象;另一方面，可以借助比畫（動(dòng)作表征）、畫圖（圖像表征）及描述（符號(hào)表征）之間的關(guān)系，逐步提煉出相關(guān)運(yùn)動(dòng)的基本過程和主要特點(diǎn)，發(fā)展用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)，為進(jìn)一步體會(huì)平移和旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

1.動(dòng)作模擬，初步感知

教學(xué)伊始，教師出示一幅國(guó)旗上升圖，詢問學(xué)生看到這樣的場(chǎng)景有什么感受，并讓學(xué)生嘗試比畫和描述國(guó)旗的運(yùn)動(dòng)。學(xué)生感受到國(guó)旗是從下往上直直地上升的。教師以此揭示本節(jié)課研究的就是物體的運(yùn)動(dòng)方式。

接著，教師出示一些物體運(yùn)動(dòng)的圖片（如下頁(yè)圖1所示），引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)剛才的經(jīng)驗(yàn)，用手勢(shì)和語(yǔ)言描述出它們的運(yùn)動(dòng)。學(xué)生獨(dú)立嘗試并與同桌交流。教師巡視，選擇一些典型的手勢(shì)在全班交流，并引導(dǎo)學(xué)生在直觀觀察的基礎(chǔ)上用語(yǔ)言來(lái)描述運(yùn)動(dòng)的過程。例如，模擬觀光電梯運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以把手放平，再沿著豎直方向從上往下或由下往上慢慢移動(dòng)，移動(dòng)的過程中不能晃動(dòng)，要直直地移動(dòng);模擬風(fēng)扇葉片旋轉(zhuǎn)時(shí)，可以用手指在空中不停地畫圈，盡量畫得圓一些，還要說(shuō)出是圍繞著中心畫的。

2.畫圖示意，自主分類

在用手勢(shì)和語(yǔ)言描述物體運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，教師提出更高的活動(dòng)要求：（1）你能用簡(jiǎn)單的符號(hào)或圖形表示這些運(yùn)動(dòng)嗎？（2）和同伴交流，將這些物體的運(yùn)動(dòng)方式分分類。

大多學(xué)生能夠依據(jù)經(jīng)驗(yàn)畫圖表示這些運(yùn)動(dòng)，在表示①③⑤時(shí)，學(xué)生都用直直的箭頭，但畫出的方向不同，有的是水平的，有的是豎直的，還有的是斜向的;在表示②④⑥時(shí)，學(xué)生都注意到要圍繞著中心轉(zhuǎn)動(dòng)，但有的是圍繞一個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，有的是圍繞一條軸轉(zhuǎn)動(dòng)。學(xué)生互相補(bǔ)充想法，修正自己的作品。

在對(duì)六幅圖所表示的運(yùn)動(dòng)方式進(jìn)行分類時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了不同的意見：第一種分為3類，即①⑤一類，②④⑥一類，③單獨(dú)一類;第二種分為2類，即①③⑤一類，②④⑥一類。教師詢問各自分類的理由，引導(dǎo)學(xué)生著重討論扶手電梯的運(yùn)動(dòng)：它也是直直地在移動(dòng)，只不過是向著斜方向移動(dòng)的。在辯論中，學(xué)生達(dá)成共識(shí)，一致認(rèn)為分為兩類較為合適：一類都在直直地運(yùn)動(dòng)，只是方向不同;另一類都是圍繞一個(gè)點(diǎn)或一條軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

（二）比較歸納，探尋本質(zhì)

人類社會(huì)中幾乎所有的概念都是抽象的結(jié)果。從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展來(lái)看，數(shù)學(xué)概念的來(lái)源有兩個(gè)：一是直接由客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式反映而得;二是在抽象的理論基礎(chǔ)上經(jīng)過多級(jí)抽象所得。本節(jié)課學(xué)習(xí)的平移和旋轉(zhuǎn)顯然屬于前者。教學(xué)中，需要遵循“先直觀后抽象”的原則，引導(dǎo)學(xué)生在比較中將空間思維向更深處邁進(jìn)。其一，對(duì)平移要抓住“直直地”“移動(dòng)”這兩個(gè)關(guān)鍵屬性，對(duì)旋轉(zhuǎn)則要抓住“固定點(diǎn)（軸）”“轉(zhuǎn)動(dòng)”這兩個(gè)關(guān)鍵屬性。其二，通過對(duì)比兩種運(yùn)動(dòng)方式，促使學(xué)生感悟：無(wú)論是直直地移動(dòng)還是繞固定點(diǎn)或軸轉(zhuǎn)動(dòng)，物體本身保持不變。

1.分層揭示，抽象概括

（1）理解平移

教師引導(dǎo)學(xué)生再次觀察觀光電梯、扶手電梯和窗戶的運(yùn)動(dòng)，討論這些運(yùn)動(dòng)有什么相同與不同之處，揭示像這樣沿著直線從一個(gè)位置移動(dòng)到另一個(gè)位置的運(yùn)動(dòng)叫作平移，可以水平平移、垂直平移，也可以斜向平移。

接著，教師啟發(fā)學(xué)生思考怎樣能清楚地描述物體的平移運(yùn)動(dòng)，在交流中逐步聚焦平移的方向和距離這兩個(gè)要素，且明確物體在運(yùn)動(dòng)中只是位置發(fā)生變化，形狀和大小都不變。

（2）理解旋轉(zhuǎn)

教師引導(dǎo)學(xué)生再次觀察風(fēng)扇葉片、飛機(jī)螺旋槳和地球儀的運(yùn)動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生依據(jù)剛才認(rèn)識(shí)平移概念的經(jīng)驗(yàn)，交流討論這類物體運(yùn)動(dòng)方式的特點(diǎn)，得到旋轉(zhuǎn)的概念，明確旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的物體都是繞著一個(gè)固定點(diǎn)或一條固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的，可以順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，也可以逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，而且運(yùn)動(dòng)中只是位置發(fā)生變化，形狀和大小都不變。

2.判斷說(shuō)理，舉例說(shuō)明

教師出示五幅圖片（如圖2所示）讓學(xué)生進(jìn)行判斷：說(shuō)出是平移還是旋轉(zhuǎn)，并說(shuō)明理由。學(xué)生回答后，教師適時(shí)指出：剛開始的時(shí)候，我們憑借生活經(jīng)驗(yàn)知道這樣的運(yùn)動(dòng)是平移或旋轉(zhuǎn);學(xué)到這兒，我們要能依據(jù)它們各自的特點(diǎn)進(jìn)行判斷和解釋。接著，教師讓學(xué)生舉出一些生活中平移或旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的實(shí)例，注意糾正學(xué)生舉例中不規(guī)范的表達(dá)。

需要提及的是，這里引入了拉窗簾的運(yùn)動(dòng)，這一運(yùn)動(dòng)極具欺騙性，能夠很好地暴露學(xué)生的學(xué)習(xí)情況：沒有深刻理解平移本質(zhì)的學(xué)生很容易錯(cuò)認(rèn)為它是平移。教師在巡視過程中有意識(shí)對(duì)此題進(jìn)行了觀察和統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生能夠作出準(zhǔn)確的判斷。

3.回顧反思，建立聯(lián)系

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧剛才研究的方法：我們首先觀察，然后通過比畫和畫圖想象，接著比較這些物體的運(yùn)動(dòng)方式，又通過分類認(rèn)識(shí)了平移和旋轉(zhuǎn)各自的特點(diǎn);觀察、想象、分類等都是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)常用的方法。

接著，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷在變化中尋求不變的過程，啟發(fā)學(xué)生將平移和旋轉(zhuǎn)兩種不同的運(yùn)動(dòng)建立聯(lián)系，感受到：平移是物體從一個(gè)位置沿著某一方向直直地移動(dòng)到另一個(gè)位置，旋轉(zhuǎn)是物體圍繞一個(gè)固定點(diǎn)（軸）轉(zhuǎn)動(dòng)，這是它們的不同之處;而平移和旋轉(zhuǎn)都是全等變換，也就是運(yùn)動(dòng)前后圖形（物體）的形狀、大小都沒有改變，只是位置發(fā)生了變化，這是它們的相同之處。

（三）自主操作，豐富內(nèi)涵

本節(jié)課雖然只是初步認(rèn)識(shí)平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，但并不意味著教學(xué)過程就只能停留在表面。比如，旋轉(zhuǎn)的“轉(zhuǎn)”是顯而易見的，但是學(xué)生時(shí)常會(huì)忽視旋轉(zhuǎn)中心這一要素，以至于認(rèn)為“旋轉(zhuǎn)就是轉(zhuǎn)”，而意識(shí)不到是繞著什么在轉(zhuǎn)。事實(shí)上，操作是獲得直觀感受的有效途徑，也是構(gòu)建空間觀念的重要方式。我們可以通過開展各種形式的操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在直觀感受中不斷提升思維層次，逐步豐富概念的內(nèi)涵。

1.平移操作

教師出示操作要求：把長(zhǎng)方形紙片放在數(shù)學(xué)書的左上角，然后把它平移到右下角。

反饋中，有的學(xué)生先用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊貼著數(shù)學(xué)書的上邊平移，再用短邊貼著右邊平移;有的學(xué)生則先下移，再右移。學(xué)生意識(shí)到，兩種操作方式皆可，只要在移動(dòng)的過程中保持這種狀態(tài)。此外，有的同桌互相配合，一人借助直尺確定好直接平移的軌跡，另一人把長(zhǎng)方形紙片從數(shù)學(xué)書的左上角平移到右下角。這樣做突出了長(zhǎng)方形紙片是沿著直線運(yùn)動(dòng)的。

將長(zhǎng)方形紙片從左上角平移到右下角，學(xué)生給出了兩種不同的操作路徑。路徑一是通過兩次平移得到，先往右再往下或者先往下再往右;路徑二是通過一次平移得到，從左上角斜斜地移到右下角。在不同平移方法的比較中，學(xué)生認(rèn)識(shí)到無(wú)論朝哪個(gè)方向移動(dòng)，都要沿著直線運(yùn)動(dòng)，而且加深了“斜向移動(dòng)也是平移”的認(rèn)識(shí)。

2.旋轉(zhuǎn)操作

教師出示操作要求：用毛線或者其他物品創(chuàng)造一個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

反饋時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩名同學(xué)用毛線展示的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行思考：比較兩種轉(zhuǎn)法有什么相同和不同的地方。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：相同之處是緊緊按著毛線，圍繞著一個(gè)中心轉(zhuǎn)動(dòng);不同之處是可以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，也可以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

教師出示毛線與橡皮的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，繼續(xù)讓學(xué)生感悟旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，加深對(duì)旋轉(zhuǎn)內(nèi)涵的理解，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：旋轉(zhuǎn)時(shí)中心點(diǎn)是固定不動(dòng)的，旋轉(zhuǎn)時(shí)既可以旋轉(zhuǎn)一圈或幾圈，也可以旋轉(zhuǎn)不足一圈，還可以圍繞一個(gè)中心來(lái)回?cái)[動(dòng)。

（四）學(xué)以致用，感悟價(jià)值

本節(jié)課的最后一個(gè)環(huán)節(jié)，意在通過一些綜合練習(xí)促使學(xué)生深度思考，總結(jié)平移和旋轉(zhuǎn)的特征，繼續(xù)感悟兩種運(yùn)動(dòng)方式的數(shù)學(xué)本質(zhì)。需要關(guān)注的是，雖然平移和旋轉(zhuǎn)沒有平面圖形、立體圖形的形狀、大小等靜態(tài)要素，但教學(xué)中要將平移和旋轉(zhuǎn)兩種運(yùn)動(dòng)與之前的學(xué)習(xí)建立聯(lián)系，讓學(xué)生感受知識(shí)之間的融通，還要拓展平移和旋轉(zhuǎn)的實(shí)際意義，使其充分感受兩種運(yùn)動(dòng)的實(shí)際價(jià)值，為后續(xù)研究圖形的運(yùn)動(dòng)做好準(zhǔn)備。在這一過程中，對(duì)學(xué)生的要求從能判別物體的運(yùn)動(dòng)方式上升到能自主構(gòu)建出兩種運(yùn)動(dòng)，這對(duì)學(xué)生的空間想象能力是一次巨大的挑戰(zhàn)。

1.綜合練習(xí)，深化認(rèn)知

教師出示第1題：

圖3中哪些樹葉只通過平移就可以和圖4中的樹葉重合？

在學(xué)生找出符合要求的樹葉之后，教師引導(dǎo)他們觀察平移后能重合的樹葉有哪些相同之處，在平移的過程中有什么不同，繼續(xù)強(qiáng)化對(duì)平移前后物體的大小、形狀不變，而平移的方向和距離不同的認(rèn)識(shí)。進(jìn)一步地，引導(dǎo)學(xué)生觀察②號(hào)和④號(hào)樹葉，發(fā)現(xiàn)將其先旋轉(zhuǎn)再平移或先平移再旋轉(zhuǎn)也可以和圖4中的樹葉重合，體會(huì)有時(shí)要用到兩種運(yùn)動(dòng)方式。

教師出示第2題：

不能由“”通過旋轉(zhuǎn)得到的是（）？

A. B. C.

學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)，將所給圖形順或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到圖B，將所給圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到圖C，而圖A中圓和正方形在一邊（連在一起），形狀發(fā)生了變化，因此無(wú)法通過所給圖形旋轉(zhuǎn)得到。

2.瞻前顧后，感悟價(jià)值

除了讓學(xué)生感受到本節(jié)課研究的平移和旋轉(zhuǎn)與生活密切相關(guān)，還應(yīng)從更為理性的層面幫助學(xué)生拓展研究平移和旋轉(zhuǎn)的意義。

教師提問：在以前的學(xué)習(xí)中有沒有用平移和旋轉(zhuǎn)解決過問題？然后出示蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)練習(xí)三中的習(xí)題（如圖5所示），引導(dǎo)學(xué)生通過回顧與交流，感受把兩個(gè)完全相同的三角形拼成平行四邊形的過程中包含平移和旋轉(zhuǎn)（如圖6所示），將新知與舊知建立關(guān)聯(lián)。

此時(shí)，學(xué)生的思維被打開，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生想象，只要用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光觀察學(xué)過的一些圖形，通過平移和旋轉(zhuǎn)，就會(huì)得到不一樣的圖形（如圖7所示）。通過課件演示，如點(diǎn)通過平移得到線，線通過平移或旋轉(zhuǎn)得到面，面通過平移或旋轉(zhuǎn)得到體，學(xué)生在觀察、想象、描述的過程中認(rèn)識(shí)到，圖形經(jīng)歷不同的運(yùn)動(dòng)，可以得到平面圖形，還可以形成立體圖形，感受圖形變換的神奇與奧妙，體會(huì)平移和旋轉(zhuǎn)的價(jià)值，借由生動(dòng)的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)向更為深入的思考。

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