解題教學(xué)的關(guān)鍵：識別模式，體悟思路

王弟成

摘要：在一次高二期末調(diào)研數(shù)學(xué)測試中，一道解析幾何綜合題學(xué)生的解答情況很不理想。分析學(xué)生該題的解答情況反映出的一般的學(xué)習(xí)問題，提出相應(yīng)的教學(xué)對策：培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣;強化學(xué)生解題的目標(biāo)意識;引導(dǎo)學(xué)生在解題的探究過程中體悟模式識別下思路引領(lǐng)的作用;培養(yǎng)學(xué)生巧算的意識和能力。

關(guān)鍵詞：解析幾何;解題教學(xué);審題習(xí)慣;目標(biāo)意識;模式識別

最近一次全市高二期末調(diào)研數(shù)學(xué)測試中，最后一題是一道解析幾何綜合題：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為63。點P是橢圓上的一個動點，且在第一象限。記△PF1F2的面積為S，當(dāng)PF2⊥F1F2時，S=263。

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）PF1、PF2的延長線分別交橢圓于點M、N，記△MF1F2和△NF1F2的面積分別為S1和S2。（i）求證：存在常數(shù)λ，使得1S1+1S2=λS成立;（ii）求S2-S1的最大值。

對于這道題，考試時，學(xué)生的解答情況很不理想，平均得分很低。而且，在未講評的情況下，過了一段時間，筆者又給學(xué)生半個小時，讓他們重新解答一次，解答情況依然沒有多少改觀，只是第二問第一小問多了幾個學(xué)生解答出來。

考試的根本目的不是考查學(xué)生會不會解決具體的某道（些）題，而是通過具體的某道（些）題考查學(xué)生有沒有形成一般的解決問題的能力——所以考無定型，需要求變。相應(yīng)地，（解題）教學(xué)的根本目的是通過解決樣例問題幫助學(xué)生提升解決更多問題的能力，即通常所說的“解一題、會一類”的遷移能力——所以教務(wù)根本，需要追求不變。因此，本文首先分析學(xué)生該題的解答情況反映出的一般的學(xué)習(xí)問題，進而提出相應(yīng)的教學(xué)對策。

一、學(xué)生解答情況分析

該題第一問求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，比較簡單：只要利用離心率公式，以及PF2⊥F1F2時△PF1F2的面積可以焦距為底邊長、以焦參數(shù)為高來求出，列出方程，即可解得長半軸長、短半軸長（同時得到半焦距），從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26+y22=1。但是，不少學(xué)生竟然將條件“PF2⊥F1F2”看成“PF2⊥PF1”，利用焦半徑公式求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x226+y2263=1。

這說明不少學(xué)生審題不仔細、憑感覺：平時解題多次遇到“PF2⊥PF1”的情況，就想當(dāng)然地把該題的條件也當(dāng)成“PF2⊥PF1”。

對于第二問第一小問，學(xué)生知道，△MF1F2的面積S1和△NF1F2的面積S2分別是隨著點M和點N的變化而變化的，而點M和點N分別是隨著直線PF1和直線PF2的變化而變化的。

但是，部分學(xué)生一看到直線PF1過點F1（-2，0），就設(shè)其方程為y=k（x+2），將其與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到（1+3k2）x2+12k2x+12k2-6=0，這時注意到點P不確定，再設(shè)其坐標(biāo)為（x0，y0），從而由韋達定理得x0+xM=-12k21+3k2，即xM=-12k21+3k2-x0，進而由直線方程得yM=k（xM+2）=-12k31+3k2-kx0+2k（類似地，可求出yN的表達式），然后就由于式子結(jié)構(gòu)復(fù)雜，算不下去了（部分學(xué)生想用k表示x0、y0，但由于式子結(jié)構(gòu)復(fù)雜，也放棄了）。

同時，少數(shù)學(xué)生先注意到直線PF1和直線PF2都是隨著點P的變化而變化的，就先設(shè)點P（x0，y0），得到直線PF1的方程y=y0x0+2（x+2），將其與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到1+3y0x0+22x2+12y0x0+22x+12y0x0+22-6=0，然后結(jié)合x206+y202=1得到（10+4x0）x2+12y20x+12y20-6（x0+2）2=0，再由韋達定理得x0+xM=-12-2x205+2x0，即xM=-12-2x205+2x0-x0=-12+5x05+2x0，又由直線方程得yM=y0x0+2（xM+2）=-y05+2x0，類似地，求得yN=-y05-2x0，最后代入由目標(biāo)等式變形、化簡得到的λ=-（yM+yN）y0yMyN計算，求得λ為常數(shù)10（多數(shù)學(xué)生于中途出現(xiàn)計算錯誤，只有一位學(xué)生最終算出正確結(jié)果）。

有些學(xué)生則通過消去x得到關(guān)于y的方程，運用韋達定理的兩根積的結(jié)論，相對方便快捷地得到了正確結(jié)果。

這說明很多學(xué)生解題沒有目標(biāo)意識。為什么這么說？因為題目要求證明存在常數(shù)λ，使得1S1+1S2=λS成立，因此，需要選擇合適的量表示三個三角形的面積。而顯然，三個三角形有一條長度已知的公共邊F1F2，且此邊上的高分別等于P、M、N三點縱坐標(biāo)的絕對值，因此，只需要表示出三點的縱坐標(biāo)?？梢?，消去y得到關(guān)于x的方程，從而表示出點M、N的橫坐標(biāo)，再表示出點M、N的縱坐標(biāo)，是在繞遠路，不如直接消去x得到關(guān)于y的方程，從而表示出點M、N的縱坐標(biāo)。

對于第二問第二小問，求得S2-S1=2[（-yN）-（-yM）]=8x0y025-4x20的學(xué)生，絕大部分在解決“已知x206+y202=1，求8x0y025-4x20的最大值”這一問題時束手無策;少數(shù)想到消去y0的，想不到整體代換簡化分母的思路;少數(shù)消去y0后基于反函數(shù)思想（用因變量表示自變量，得到關(guān)于因變量的不等式，解出因變量的范圍，從而求出因變量的最值）想到判別式法的，也因為運算太繁無功而返。

這說明學(xué)生的頭腦中缺少一般化的問題模型以及相應(yīng)的解題思想，不能基于已知和所求識別問題的模式、形成解題的思路，也不能有效調(diào)動已有知識、技巧、經(jīng)驗轉(zhuǎn)化解決問題，也就是自主探究能力薄弱。

此外，第二問兩個小問的解答情況還反映出，很多學(xué)生優(yōu)化運算過程的意識不強，不能抓住式子的結(jié)構(gòu)特征選擇簡捷的計算方法。

二、基于學(xué)習(xí)問題的教學(xué)對策

（一）培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣

審題的重要性不用贅述，但現(xiàn)實是很多學(xué)生拿到題目后，不認真審題，基于經(jīng)驗慣性和思維定式，想當(dāng)然地判定題目的條件或目標(biāo)。如此審題，既與平時的訓(xùn)練量大、學(xué)習(xí)負擔(dān)較重有關(guān)（導(dǎo)致學(xué)生只想快速完成學(xué)習(xí)任務(wù)），也與學(xué)生的性格、習(xí)慣有關(guān)。因此，教師一方面，要適當(dāng)降低學(xué)生的訓(xùn)練量，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān)，保證學(xué)生有足夠的時間審好、解好每道題;另一方面，要通過示范和要求，幫助學(xué)生養(yǎng)成仔細審題，看清題目條件與目標(biāo)的習(xí)慣。

具體而言，可以示范和要求：把題目的條件抓在一起，串聯(lián)起來，不要讀了A條件，漏了B條件;調(diào)動已有知識和經(jīng)驗理解題意，對條件和目標(biāo)反映的關(guān)系有一個基本輪廓，抓住關(guān)鍵信息（具體解答時，再做進一步分析、選擇、確定）。例如，對于該題，讀到“PF2⊥F1F2”，反映出PF2=b2a，△PF1F2的面積等于12× 2c·PF2等基本關(guān)系;讀到“△MF1F2和△NF1F2的面積”，自動想到如何表示面積，選擇哪個量表示面積。

（二）強化學(xué)生解題的目標(biāo)意識

解題通常是有著明確目標(biāo)的活動。相對而言，要求的目標(biāo)往往比已知的條件更重要：從目標(biāo)出發(fā)，合理使用條件，不斷轉(zhuǎn)化以消除目標(biāo)與條件的差異，是更高效的解題策略王秀彩.目標(biāo)導(dǎo)向，差異分析——數(shù)學(xué)解題的有效策略[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2017（12）：4850。;從條件出發(fā)，沒有目標(biāo)定向的話，解題容易誤入歧途。因此，教師要強化學(xué)生解題的目標(biāo)意識，引導(dǎo)學(xué)生基于目標(biāo)合理選擇解題路徑。

對于該題第二問第一小問，基于由主動點P的坐標(biāo)表示出從動點M的縱坐標(biāo)的目標(biāo)，選擇消去x得到關(guān)于y的方程的路徑，可使解題更簡捷。具體地，可設(shè)點P（x0，y0），則直線PF1的方程為x=x0+2y0y-2，與橢圓方程聯(lián)立，消去x得3+x0+2y02y2-4x0+2y0y-2=0，再由x206+y202=1得（10+4x0）y2+2（x0+2）2y-2y20=0，由韋達定理得y0yM=-2y2010+4x0，即yM=-y05+2x0。這里，也可進一步設(shè)x0+2y0=m，得直線PF1的方程為x=my-2，從而進一步減少書寫量：與橢圓方程聯(lián)立，消去x得（3+m2）y2-4my-2=0，所以y0yM=-23+m2，再由m=x0+2y0和x206+y202=1得yM=-y05+2x0。

（三）引導(dǎo)學(xué)生在解題的探究過程中體悟模式識別下思路引領(lǐng)的作用

以知識（技能）教學(xué)為基礎(chǔ)的解題教學(xué)，要讓學(xué)生形成“解一題、會一類”的遷移能力，在選擇典型題目的基礎(chǔ)上，不能講得太多、太細，首先要讓學(xué)生自主探究各種可能的解法，獲得切身體悟;其次則要適時引導(dǎo)學(xué)生分析問題的本質(zhì)特征，識別問題的模式，把握解題的一般觀念，形成解題的思路，并以之引領(lǐng)具體解題過程的展開，包括有關(guān)知識、技巧、經(jīng)驗的調(diào)用。這樣，學(xué)生才不只是記住怎么解，也不只是理解為什么這么解，而是學(xué)會怎么想到這么解。

該題第二問第二小問其實有多種解決方法，教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生自然地“想到”。首先，要引導(dǎo)學(xué)生識別這是一個已知二元關(guān)系的二元函數(shù)最值問題，得到解題的基本思路是消元后利用一元函數(shù)的性質(zhì)（主要是但不限于單調(diào)性，可利用導(dǎo)數(shù)處理），或不消元利用基本不等式。

先來看利用一元函數(shù)性質(zhì)的思路。可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)要求的二元函數(shù)8x0y025-4x20中有一次形式，已知的二元關(guān)系x206+y202=1是平方關(guān)系，直接代入消元，會出現(xiàn)根式，不利于后續(xù)計算，所以考慮將二元函數(shù)平方（顯然該二元函數(shù)的值為正數(shù)），再利用二元關(guān)系代入平方表示來消元，即8x0y025-4x202=64x20y20（25-4x20）2=64x202-13x20（25-4x20）2。這時，可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這是一個關(guān)于x20的分子和分母都是二次式的分式函數(shù)（顯然該式中的x0都以x20的形式存在，因此可將x20看成一個整體），幫助學(xué)生想到（或了解）處理這樣的函數(shù)的基本方法：將分母看作整體，在分子中構(gòu)造分母以分離常數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為一次式除以二次式的形式（降次）;或基于反函數(shù)思想變形為關(guān)于自變量的二次方程，然后利用判別式法。由此，學(xué)生便不難分別嘗試具體的解法：（1）設(shè)25-4x20=t，則4x20=25-t，64x202-13x20（25-4x20）2=4×4x208-43x20（25-4x20）2=4（25-t）8-13（25-t）t2=-43（t-25）[24-（25-t）]t2

=-43（t2-26t+25）t2=-43251t2-261t+1，故當(dāng)1t=2650=1325，即t=2513（因為0

此外，還可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)已知的二元關(guān)系x206+y202=1是橢圓方程，兩元之間相互表示不簡潔，不利于后續(xù)求解，而通過三角換元引入角參數(shù)，則可實現(xiàn)消元：設(shè)x0=6cos θ，y0=2sin θ，則8x0y025-4x20=86cos θ×2sin θ25-24cos2θ= 83sin 2θ13-12cos 2θ。這時，可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這是一個分子、分母分別是關(guān)于sin 2θ、cos 2θ的一次式的分式函數(shù)，幫助學(xué)生想到（或了解）處理這樣的函數(shù)的基本方法：由幾何意義構(gòu)造圓上動點與某一定點連線的斜率，然后利用直線與圓位置關(guān)系;或基于反函數(shù)思想變形為關(guān)于自變量的三角方程，然后利用輔助角公式。由此，學(xué)生可分別嘗試具體的解法：（1）83sin 2θ13-12cos 2θ=-233·sin 2θ-0cos 2θ-1312，后面一個因式表示點（cos 2θ，sin 2θ）與點1312，0連線的斜率，點（cos 2θ，sin 2θ）在以原點為圓心、1為半徑的x軸上方的半圓上運動，作圖可知當(dāng)連線與半圓相切時連線的斜率最小，解直角三角形可知此時連線的斜率為-1132122-1=-125，所以原式的最大值為-233×-125=835;（2）令83sin 2θ13-12cos 2θ=t，得83sin 2θ+12tcos 2θ=13t，由輔助角公式得sin（2θ+φ）=13t（83）2+（12t）2tan φ=12t83，故13t（83）2+（12t）2≤1，即（13t）2-（12t）2≤（83）2，所以t≤835。

再來看利用基本不等式的思路。首先，要讓學(xué)生認識到基本不等式的作用是在“和”“積”“平方和”的結(jié)構(gòu)（形式）之間進行放縮，放縮之后如果得到定值，之前的式子就可能有最值。其次，可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)要求的二元函數(shù)8x0y025-4x20分子是二元的“積”，分母只有一元的“平方”，但結(jié)合已知的二元關(guān)系x206+y202=1，可變成二元的“平方和”，即8x0y025-4x20=8x0y025x206+y202-4x20=8x0y016x20+252y20。因此，可以把分子的“積”放縮成“平方和”，然后與分母的“平方和”約分得到定值;也可以把分母的“平方和”放縮成“積”，然后與分子的“積”約分得到定值。由此，學(xué)生便不難分別嘗試具體的解法（當(dāng)然，采用前一思路時，會遇到給二元加上適當(dāng)?shù)南禂?shù)，以使放縮后分子、分母中二元的系數(shù)對應(yīng)成比例，從而可以約分的問題，教師可引導(dǎo)學(xué)生用待定系數(shù)法來配湊）：（1）8x0y016x20+252y20=8λx0·1λy016x20+252y20 ≤4λ2x20+41λ2y2016x20+252y20，令λ21λ2=16252，得λ2=153，代入得4λ2x20+41λ2y2016x20+252y20=453x20+203y2016x20+252y20=835;（2）8x0y016x20+252y20≤8x0y0216x20·252y20=835。

最后值得一提的是，要培養(yǎng)學(xué)生巧算（非按部就班地死算）的意識和能力，尤其是遇到容易出現(xiàn)繁難計算的解析幾何問題時。為此，一方面，要引導(dǎo)學(xué)生充分衡量運算量的大小，盡量選取運算量小的解題思路。如，解決該題第二問第一小問時，選擇消去x得到關(guān)于y的方程的路徑。另一方面，還要引導(dǎo)學(xué)生分析算式的結(jié)構(gòu)特征，思考是否可以轉(zhuǎn)換表征、是否可以整體處理、是否可以先行約分或消去等，從而不斷優(yōu)化運算過程。如，解決該題第二問第二小問，選擇分離常數(shù)以“降次”的方法時，對分母進行整體換元;選擇判別式法時，先“約分”;選擇三角換元方法時，轉(zhuǎn)換為幾何表征。