有關(guān)圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式的證明及其應(yīng)用

孟慶林

圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形面積問(wèn)題比較常見(jiàn)，這類(lèi)題目常以選擇題、填空題、解答題的形式出現(xiàn). 圓錐曲線主要包括拋物線、橢圓、雙曲線，每一種曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式也有所不同，其適用情形和應(yīng)用方法均不相同.在本文中，筆者對(duì)圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式及其應(yīng)用技巧進(jìn)行了歸納總結(jié)，希望對(duì)讀者有所幫助.

1.橢圓的焦點(diǎn)三角形面積公式：

若已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、短軸長(zhǎng)、兩焦點(diǎn)弦的夾角，則可運(yùn)用橢圓的焦點(diǎn)三角形面積公式 SΔPF1F2=b2 tan θ2 來(lái)求橢圓的焦點(diǎn)三角形面積.

例1（. 2021年數(shù)學(xué)高考全國(guó)甲卷理科）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x216 + y24 = 1 的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為橢圓C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且 |PQ| = |F | 1F2 ，則四邊形PF1QF2 的面積為_(kāi)_______.

解析：若采用常規(guī)方法解答本題，需根據(jù)橢圓的對(duì)稱性、定義以及矩形的性質(zhì)來(lái)建立關(guān)于 |PF | 1 、|PF | 2的方程，通過(guò)解方程求得四邊形 PF1QF2 的面積.而仔細(xì)分析題意可發(fā)現(xiàn)四邊形 PF1QF2 是一個(gè)矩形，且該矩形由兩個(gè)焦點(diǎn)三角形構(gòu)成，可利用橢圓的焦點(diǎn)三角形面積公式求解.

解：

利用橢圓的焦點(diǎn)三角形面積公式，能有效地簡(jiǎn)化解題的過(guò)程，有助于我們快速求得問(wèn)題的答案.

例 2.

若已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、虛軸長(zhǎng)、兩焦點(diǎn)弦的夾角、兩焦點(diǎn)弦的夾角的一半，則可運(yùn)用雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式 SΔPF1F2= b2tan θ2來(lái)求橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積.

例 3.

解析：若采用常規(guī)方法，則需根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)、定義以及勾股定理來(lái)求解，解題的過(guò)程較為繁瑣.由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)三角形為直角三角形，且已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，那么可運(yùn)用雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式進(jìn)行求解.

解：

例 4.

由于已知?∠F1PF2 和?ΔF1PF2 的面積，所以可直接運(yùn)用雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式進(jìn)行求解.運(yùn)用該方法解題的運(yùn)算量較小.

3.拋物線的焦點(diǎn)三角形面積公式：

若傾斜角為θ的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn) F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則三角形AOB的面積為：SΔAOB =p22 sin θ .對(duì)該公式進(jìn)行證明的過(guò)程如下：

只要知道拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、p的值、焦點(diǎn)弦之間的夾角，就可直接運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)三角形面積公式進(jìn)行求解.

解析：本題側(cè)重于考查圓錐曲線中的弦長(zhǎng)公式、直線與拋物線的位置關(guān)系.如果我們按常規(guī)思路來(lái)求解，運(yùn)算量較大.由于 F 為焦點(diǎn)，與A、B可構(gòu)成焦點(diǎn)三角形，所以可考慮利用拋物線的焦點(diǎn)三角形面積公式來(lái)解題.

總而言之，圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式較為簡(jiǎn)單，應(yīng)用起來(lái)比較方便.在解答圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形面積問(wèn)題、焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)弦之間的夾角問(wèn)題時(shí)，靈活運(yùn)用橢圓、雙曲線、拋物線的焦點(diǎn)三角形面積公式，能減少運(yùn)算量，簡(jiǎn)化解題的過(guò)程，從而提升解題的效率.

（作者單位：安徽省亳州市渦陽(yáng)縣渦陽(yáng)三中）