數(shù)學實驗教學中思維可視化的探索與實踐

摘要 數(shù)學實驗能有效提升學生的創(chuàng)新素養(yǎng)和動手實踐能力，是學生思維可視化的載體。通過實驗探究、化靜為動、溯源探流等方式可以讓隱性思維顯性化、抽象思維形象化、思維認知結構化，從而凸顯數(shù)學實驗中思維可視化的教學價值，逐步提升教師數(shù)學實驗活動課程的開發(fā)和設計能力。

關? 鍵? 詞 數(shù)學實驗 思維可視化 隱性思維顯性化 抽象思維形象化 思維認知結構化

引用格式 高杰.數(shù)學實驗教學中思維可視化的探索與實踐[J].教學與管理，2022（26）：33-36.

小學數(shù)學實驗是為更好地促進小學生理解數(shù)學概念和原理、驗證數(shù)學猜想、歸納數(shù)學規(guī)律、解決數(shù)學問題，借助一定的實驗材料，通過一定的數(shù)學實驗方法，在數(shù)學思維活動的參與下于實驗環(huán)境中進行的一種數(shù)學建模過程和數(shù)學探究活動[1]。數(shù)學實驗倡導“玩做學合一”，在可視的實驗環(huán)境中深度理解數(shù)學概念和原理，化抽象為直觀、變靜態(tài)為動態(tài)，實現(xiàn)由訓練性學習向探究性學習的轉型。

思維的可視化是在教師精心設計和開發(fā)數(shù)學實驗活動時，使問題在可視的數(shù)學實驗中得到驗證和解決，促進學生在活動中操作、猜想、驗證、歸納、推理、建立模型、提出方法。通過多維表達、操作留痕、思維導圖等方式，達成物化思維成果、呈現(xiàn)思維軌跡、完善思維認知結構的教學目標，進而創(chuàng)生知識、積累數(shù)學活動經驗，使數(shù)學學習更有創(chuàng)意、更豐富、更多元、更有個體意義。在數(shù)學實驗活動中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新素養(yǎng)和科學探究精神，使學生獲得“帶得走”的能力，真正實現(xiàn)學習方式的變革。

一、思維可視化存在誤區(qū)

在數(shù)學實驗教學的案例設計與實施中，有的教師認為動手操作就是實驗教學。然而數(shù)學實驗教學更關注的是學生通過操作、觀察、推理和反思等活動深度理解、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，形成數(shù)學思維的可視化過程。在全體學生共同參與、集體討論中，逐步走向深度學習。隨著數(shù)學實驗教學的深入展開，具體教學中存在以下幾個誤區(qū)。

1.重形式，輕本質

數(shù)學實驗是教師深入解讀實驗內容，借助實驗材料，讓數(shù)學內容的本質屬性客觀化的一種教學手段。學生在操作、思考、觀察、比較、推理和驗證中，通過實質上的數(shù)學思考，自主建構數(shù)學核心知識的本質屬性。

“大樹有多高”是蘇教版小學數(shù)學教材的一節(jié)綜合實踐活動課，教學時，教師把學生帶到操場，說明測量任務后，學生就迫不及待地分組實地測量，在小組合作測量大樹影子長度的時候，課堂無秩序、吵吵鬧鬧，效率低下，測量的數(shù)據(jù)也不夠準確，影響了實驗效果。測得大樹的影長不是數(shù)學實驗目的，其前提是測量不同高度的竹竿的實際長度和相應的影長，竹竿的實際長度必須在可以測量的范圍內，學生在測量過程中感悟到：實驗結果是有誤差的，當誤差越小時結果越準確。大樹的實際高度是不可測量的，但可以通過可測量的竹竿長和其影長的比值計算大樹的高度。在具體測量時，不能忽略“時刻”這一要素，因為隨著時間的變化，影長也在不斷變化。如果數(shù)學實驗活動缺少教師嚴謹有序的思維引領，以及對活動明確細致的分工要求，僅僅追求數(shù)學實驗結果的“可視性”，忽略了數(shù)學實驗教學的本質，那么最終的數(shù)學實驗效果就會打折扣。

2.重結果，輕過程

數(shù)學實驗的本質是將結論性知識通過操作、實驗、交流和思考等過程，呈現(xiàn)知識間的邏輯關聯(lián)。讓學生在感知、體驗、參悟和反思的過程中深刻理解知識的生成與轉化，再現(xiàn)被掩蓋的思維軌跡。在實驗中，通過“做數(shù)學”讓思維看得見，經歷新知識的重構過程，培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決問題的能力。

在教學蘇教版《數(shù)學》六年級下冊“圓錐體積”一課時，如果教師不通過實驗，直接告訴學生結論，學生也會記住圓錐體積計算公式并解決問題，但學生對計算公式的推導過程一知半解，不利于學生對知識的掌握。因此，教師讓學生課前準備等底等高的圓柱形和圓錐形容器各一個。課堂上，教師組織學生把圓柱形容器裝滿水，然后倒入圓錐形容器中，并讓學生重復操作幾次，觀察并思考圓柱體與圓錐體之間的體積關系，以及它們的底與高的關聯(lián)，從而得出結論。在深入解讀圓柱體和圓錐體之間的關系后，可以設置這樣的四組操作情景：不等高也不等底;等高不等底;等底不等高;等底等高。每個學習小組四種情況都有，通過分組實驗得到不同的實驗結果，并對實驗結果展開交流討論、追根溯源。只有為學生提供豐富的實驗材料和開放的實驗空間，讓學生在動手實驗的過程中親自探究不同的實驗結果，才能深刻地體會到：只有等底等高時，圓柱的體積才是圓錐體積的三倍，從而加深對等底等高的認識和理解。

3.重全體，輕個體

數(shù)學實驗的關鍵在于互動，包括學生與學生、教師與學生、學生與學材、學生與實驗器材之間的多維互動。其中，全體學生的參與是互動的關鍵因素。在互動的過程中，全體與個體是相輔相成的，既可以促進個體思維能力的螺旋上升，又有助于全體的交互生成。因此，只有把握好個體與全體的關系才能讓數(shù)學實驗富有價值。

在教學蘇教版《數(shù)學》四年級下冊“三角形的三邊關系”時，執(zhí)教者安排的第一次實驗分為四個組，每組小棒都是三根，以紅藍綠三種顏色區(qū)分，探究三根小棒能不能圍成三角形。這個實驗其實沒有難度，讓學生小組合作學習更像一種表演。沒有基于獨立思考的合作學習是無效學習，沒有實驗必要的合作學習是忽視個體獨立思考的。因此，動手實驗的內容可以分為兩個層次：一是三根小棒的長度相等，二是三根小棒的長度不等。在長度不等的范圍內再細分為兩種情況：兩根小棒的長度和小于第三根小棒;兩根小棒的長度和大于第三根小棒。通過這三種情況的實驗讓學生明白：三根小棒能不能圍成三角形與小棒的長度有關，從而形成解決問題的技能。學生在可視的操作情境中深度理解三角形三邊長度的判斷依據(jù)。在實驗中既關注全體又充分考慮個體的發(fā)展是數(shù)學實驗教學的初衷。

二、思維可視化的教學價值

數(shù)學課程應強調從學生已有的生活經驗出發(fā)，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數(shù)學模型，并進行解釋與應用的過程[2]。在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進步和發(fā)展。因此，開設并加強數(shù)學實驗教學，可以把重難點知識通過實驗的教學方式，再現(xiàn)知識間的內在聯(lián)系，讓知識的生成過程看得見，加深學生對數(shù)學知識的理解，讓學生參與并探究知識的形成過程，增強學習數(shù)學的信心，為學生提供自主探究的學習時空。

1.實驗探究，讓隱性思維顯性化

在設計數(shù)學實驗活動時，教師要將實驗活動的程序與知識呈現(xiàn)的順序有機結合，在實驗中將知識的形成過程按由淺入深、從先到后的順序分步呈現(xiàn)。進而讓隱性思維顯性化。

比如教學蘇教版《數(shù)學》五年級下冊“圓的周長”一課時，可以分以下幾步進行：（1）感知圓的周長，用手觸摸硬幣邊沿，感知并理解硬幣的周長，初步感知周長是指硬幣哪一部分的長度？（2）探究圓周長的算法。引導并預設幾種測量圓周長的辦法：滾動一周、纏繞一周并拉直、折疊幾次，旨在讓學生體驗纏繞、滾動等方法是有局限性的，引發(fā)其探索圓的周長計算的積極性。

學生在小組操作、交流、觀察和討論等活動中，感悟發(fā)現(xiàn)知識，通過實驗，讓學生在動手操作的過程中看見知識。

2.化靜為動，讓抽象思維形象化

教學過程中的某些重點、難點知識，傳統(tǒng)的教學方式有時難以處理，但借助一定的實驗手段，可以調動學生思考的積極性，展現(xiàn)知識網絡的動態(tài)過程，讓學生看見知識間的內在聯(lián)系，進而達成教學目標。通過化靜為動的實驗過程，讓抽象思維形象化，使數(shù)學新知識的產生變得更自然，進而使學生理解并熟練地運用所學知識解決一些實際問題。

比如在教學蘇教版《數(shù)學》四年級下冊“三角形的內角和”時，分為以下幾步進行：（1）測量規(guī)則的三角形。首先讓學生拿出學具袋中三角形，分小組測量每個三角形的三個內角分別是多少度，然后再計算每個三角形三個角的度數(shù)和。通過動手測量、計算，學生發(fā)現(xiàn)三角形的內角和在180°左右。（2）測量任意的三角形。分組合作：任意畫幾個三角形，分別測量各個內角的度數(shù)并計算它們的和。（3）剪一剪、拼一拼。引導學生把每個三角形的三個內角剪下來，拼一拼，看一看能拼成一個什么樣的角。

學生經歷指定三角形和任意三角形的測量和計算的全過程后得出：任意三角形的內角和是180°。知識結論的獲得建立在學生動手實驗的基礎上，通過小組合作、同學交流等方式，他們對三角形內角和知識的理解水到渠成。

3.溯源探流，讓思維認知結構化

蘇霍姆林斯基說過，手是意識的偉大培育者又是智慧的創(chuàng)造者。數(shù)學實驗就是學生在動手操作過程中培養(yǎng)動手能力的同時，經歷知識的形成過程，激發(fā)他們已有的知識經驗，促進學生的深入思考，把知識間的聯(lián)系進行橫向與縱向的演繹，讓思維認知結構化。

如蘇教版《數(shù)學》六年級下冊“圓柱的體積”教學時，分為以下幾步：

（1）回憶圓面積計算公式的推導過程。

問題驅動：圓的面積與轉化后的長方形的面積相比什么變了，什么沒有變？圓的半徑和長方形哪一部分相等？圓的周長和長方形的哪一部分相等？

（2）關聯(lián)圓柱體積計算公式的推導過程。

問題驅動：根據(jù)圓的面積計算公式的推導過程，想一想：圓柱體和長方體是否也有類似的關聯(lián)？如果有，圓柱體與轉化后的長方體之間有哪些聯(lián)系？

（3）操作實驗，分組匯報。

拿出課前準備的圓柱體模具分組操作，小組經過充分的討論交流后反饋：

學生A：長方體與圓柱體相比只是形狀發(fā)生改變，但它們的體積不變，高也不變。

學生B：（邊演示學具邊說）圓柱的底面積是紅色的，轉化成長方體后，長方體的底面積是也是紅色的，雖然底面的形狀變了，看顏色就知道面積不變，它們的高也相等。

學生C：其實，這和圓形轉化成長方形是類似的，所以長方體的體積等于圓柱底面周長的一半乘半徑乘高，也就是2πr÷2×r×h。

學生D：結合轉化后的長方體，發(fā)現(xiàn)長方體的表面比圓柱體多了長方體左右兩個面，而圓柱體側面積的一半可以看成是長方體的底面，高就是圓柱的半徑，因此圓柱的體積也等于側面積的一半乘半徑。

……

在實驗的過程中，經過仔細觀察、思考和同學之間的相互啟發(fā)，由原來的形象思維過渡到抽象的立體思維。再一次把知識之間的結構與聯(lián)系演繹得清晰、形象、可見，從而讓思維認知結構化。

三、思維可視化的教學策略

思維可視化是以發(fā)展學生思維能力為目標，通過多維表達、動手操作和思維導圖等方式，把原本隱性、抽象、零散的思維結構、思考路徑及思維方法呈現(xiàn)出來，使其清晰可見的過程。教師應在數(shù)學實驗或類似實驗的學習情境中，發(fā)展學生思維能力，為提升教學效能搭建一個可靠的支點。

1.多維表達，物化思維成果

教師要善于發(fā)掘學科教學中蘊含的數(shù)學知識，同數(shù)學實驗教學有機整合，引導學生在可視的操作情境中思考、交流，勇于多維度表達自己發(fā)現(xiàn)的數(shù)學知識。例如蘇教版《數(shù)學》六年級下冊“大樹有多高”。學生結合正、反比例知識，根據(jù)實驗測量的影長與實際高度之間的關系，通過知識的遷移、類比，探索影子長度和物體高度之間的關系。其實，影子長度除了和物體高度有關外，還和太陽高度有關：一天當中，正午太陽高度最大，而正午影子長度最短;一年中，正午的影子長度也是不同的：北半球溫帶地區(qū)，夏半年太陽直射北半球正午影子短，冬半年太陽直射南半球時影子長。所以，太陽的高度與影子成反比例。在交流中讓學生充分表達每一個知識點的相關知識鏈接，通過深度思考，把大樹的高度與影長之間的關系進行物化整合，進一步形成高一級的思維成果。

2.操作留痕，呈現(xiàn)思維軌跡

操作是數(shù)學實驗教學中學生學習的常用方式之一。對一些學生難以理解的核心知識，教師要在充分研讀教材的基礎上，設計學生喜聞樂見的游戲活動，把核心知識有序地呈現(xiàn)在動手操作中。比如蘇教版《數(shù)學》四年級下冊在學習了“三位數(shù)乘兩位數(shù)”后有這樣的一道思考題：用0、1、2、3、4這五個數(shù)字組成一個兩位數(shù)和一個三位數(shù)，要使乘積最大，應是哪兩個數(shù)？要使乘積最小呢？教師花了很長時間講解，但收效甚微，多數(shù)學生不知道如何排列這幾個數(shù)字，更不知道其中蘊含的規(guī)律。為此，再次研讀教材，發(fā)現(xiàn)學生已有的知識經驗是三位數(shù)乘兩位數(shù)，于是把思考數(shù)字的排列過程設計成擺數(shù)字卡片的形式：用0、1、2、3、4、“×”號六張紙片，擺一個最大的三位數(shù)乘兩位數(shù)。學生通過操作調試發(fā)現(xiàn)：兩個乘數(shù)最高位上數(shù)字應該是3和4，兩個乘數(shù)越接近乘積就越大。在操作實驗中，學生的思維軌跡逐步呈現(xiàn)，很快摸索出思考方法并理解其中的規(guī)律。

3.導圖引領，完善思維認知

思維導圖是思維可視化常用的教學策略之一，不僅能將零散的點狀知識通過導圖的方式構建完整的知識結構，而且能使學生的思維能力得到系統(tǒng)的鍛煉與提升，從而完善學生的思維認知。

如蘇教版《數(shù)學》六年級下冊“分數(shù)與百分數(shù)的復習”，為了讓學生對這一知識點有整體的建構，課前讓學生自主整理知識要點。講評時發(fā)現(xiàn)學生的動手能力超乎教師想象（如圖1）。

學生通過思維導圖，把分數(shù)、百分數(shù)的知識要點進行有效勾連，形成較為完整的知識鏈接，同時完善思維的整體認知。

數(shù)學實驗教學是課堂教學不可或缺的環(huán)節(jié)。作為數(shù)學教師應該深入研讀教材，結合學生的學習經驗，創(chuàng)設可視的數(shù)學實驗教學的場景，促進學生在活動中創(chuàng)生知識、積累活動經驗，使數(shù)學學習更有創(chuàng)意、更豐富、更多元，使學生獲得能“帶得走”的能力，真正實現(xiàn)學習方式的變革。

參考文獻

[1] 楊紅.動手實驗，讓數(shù)學更好玩——“玩轉數(shù)字天平”教學有感[J].職業(yè)技術，2018，17（07）：106-108.

[2] 馮愛琴.關于數(shù)學練習的設計[J].新課程學習：綜合，2010（09）：62.

*該文為江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃重點資助課題“指向創(chuàng)意學習的小學數(shù)學實驗教學案例研究”（B-a/2018/02/63）的研究成果