高中生數(shù)學建模素養(yǎng)培養(yǎng)策略

摘 要：數(shù)學建模能夠直觀體現(xiàn)數(shù)學知識的本質(zhì)規(guī)律，將抽象概念與具體現(xiàn)象聯(lián)系起來，作為核心素養(yǎng)的組成部分，數(shù)學建模素養(yǎng)對于學生的思維和能力發(fā)展具有不容忽視的作用.數(shù)學建模是一個漫長的過程，需要學生能夠運用數(shù)學思想與方法從具體的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)學的主要規(guī)律，忽略次要因素的影響，體現(xiàn)出數(shù)學與生活的聯(lián)系.所以筆者從日常數(shù)學教學課和數(shù)學建模課分別對培養(yǎng)策略進行研究討論.

關鍵詞：高中數(shù)學;核心素養(yǎng);數(shù)學建模

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）27-0029-03

1 數(shù)學建模素養(yǎng)認知

數(shù)學建模是將現(xiàn)實世界的具體現(xiàn)象運用數(shù)學思想進行分析、概括，探索其中蘊含的共性和本質(zhì)規(guī)律，它既是推動社會也是推動數(shù)學自身發(fā)展的動力.在核心素養(yǎng)的背景下，數(shù)學建模受到教師和學生的重視，是核心素養(yǎng)不可或缺的內(nèi)容之一，可見其在高中階段的重要性.結合數(shù)學建模的全過程，不難看到，數(shù)學建模具有豐富的內(nèi)涵與外延，能夠體現(xiàn)數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系，與其它素養(yǎng)渾然天成.數(shù)學問題的提出和發(fā)現(xiàn)需要數(shù)學抽象、直觀想象能力，在分析問題和建立模型的關鍵環(huán)節(jié)需要邏輯推理能力，在參數(shù)確定和實際運算時運算能力就顯示出其特有的價值，在檢驗結果和解決問題的最后步驟需要數(shù)據(jù)分析能力.培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)不僅能夠簡化紛繁復雜的數(shù)學知識，也有利于培養(yǎng)創(chuàng)新意識.

2 數(shù)學建模素養(yǎng)培養(yǎng)重要性

數(shù)學建模在其產(chǎn)生和發(fā)展過程中，一直與實際生活密切相連，數(shù)學建模連接數(shù)學抽象與現(xiàn)實生活，能夠便捷、高效的構建模型解決生活中的實際問題.生活中我們可以看到各類數(shù)學模型在各個學科領域百花齊放，例如，微生物種群的增長曲線模型，醫(yī)藥學中的疾病靶向模型，經(jīng)濟學投資最優(yōu)組合模型，社會學中人口增長與拐點模型等等.數(shù)學建模不僅能夠幫助學生學習數(shù)學知識，而且能夠聯(lián)系社會，體現(xiàn)數(shù)學知識的價值，培養(yǎng)學生能力和素養(yǎng).數(shù)學建模過程給學生創(chuàng)造獨立猜想、驗證和實踐的機會，提升了學生的數(shù)學能力與水平.

3 數(shù)學建模素養(yǎng)培養(yǎng)策略

3.1 常規(guī)課中數(shù)學建模素養(yǎng)培養(yǎng)策略

3.1.1 將問題情境化

數(shù)學建模能夠體現(xiàn)數(shù)學知識和規(guī)律，反映數(shù)學模型各個因素之間的相互關系和作用，對現(xiàn)實生活中的具體問題或現(xiàn)象進行抽象處理是建模的首要任務.筆者認為在數(shù)學教學中，將問題情境化，讓學生建立數(shù)學與實際的聯(lián)系，不僅能提高學生的抽象能力，還可以增強學生對數(shù)學建模的感知能力.

例1 新授課：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）.

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）是描述周期現(xiàn)象的數(shù)學模型，在實際生活中應用十分廣泛.對于本節(jié)課的教學方案一：研究函數(shù)圖像與性質(zhì)，然后應用解決實際問題.方案二：用新媒體技術對存在于中國古代很長時間的簡車從河道中取水進行灌溉的過程有效展示，并進行相關介紹，創(chuàng)設情境.然后對簡車灌溉的各個因素進行分析和設定：河中的水流速度是一個定值、簡車灌溉主要依靠水流推動簡桶將水從低處運輸?shù)礁咛?，因此，簡桶在恒定水流的推動下做圓周運動，在此基礎上進行各項數(shù)學關系梳理.隨著時間t，簡桶離開水面的相對高度H如何變化，是否二者具有一定的函數(shù)關系，可以構建數(shù)學模型嗎？簡桶運動的速度和軌跡與哪些因素相關？

經(jīng)過對比可以發(fā)現(xiàn)，以生活中的簡車灌溉為基礎探索其中的數(shù)學關系，可以建立數(shù)學函數(shù)模型y=Asin（ωx+φ），聯(lián)系實際，活化數(shù)學符號A，ω，φ的生活意義，這樣數(shù)學符號數(shù)值的改變就能夠引起相關各個數(shù)據(jù)的改變，從而能夠探索出簡車最優(yōu)效率的參數(shù)，解決實際的問題，體現(xiàn)數(shù)學本質(zhì).該問題情境的創(chuàng)設，讓學生對此函數(shù)模型的性質(zhì)和應用有了具體感知，然后運用數(shù)學原理解決生活中的實際問題如：游樂場的摩天輪數(shù)學模型、潮汐發(fā)電運動模型、海水漲潮與退潮模型、交變電流模型等等，學生可以發(fā)現(xiàn)都是y=Asin（ωx+φ）模型，這樣就解決了一類數(shù)學建模問題.在教學過程中將問題情境化，讓學生感受數(shù)學模型形成的全過程，真實體驗通過數(shù)學來觀察和分析現(xiàn)實世界中的一些事情，理解數(shù)學建模的本質(zhì)和實際價值.數(shù)學建模過程也是學生體驗數(shù)學價值和運用數(shù)學思想解決問題的過程，有助于學生學習熱情的提升.

3.1.2注重信息的提煉

現(xiàn)階段對數(shù)學建模的實際應用題，學生會遇到一個非學科性問題：題目看不懂.每句話學生都知道什么意思，但是全部放在一起，條件與條件就“打架”，也就是對于需要解決的問題，學生不會區(qū)分，排除干擾條件，正確運用關鍵條件.數(shù)學建模能夠假設出理想化模型，就需要區(qū)分因素對問題影響的主次，所以筆者認為信息的提煉是正確建立模型的關鍵.筆者認為造成信息提煉的障礙有：專有名詞概念不清，內(nèi)在邏輯不順，不會用數(shù)學語言轉(zhuǎn)換問題.所以除了強調(diào)數(shù)學素養(yǎng)，也不能忽視語文等其他學科素養(yǎng)的培養(yǎng).

例2 習題課：（2021新高考全國卷改編）某數(shù)學興趣小組對剪紙藝術產(chǎn)生了濃厚的興趣，發(fā)現(xiàn)剪紙中蘊含著豐富的數(shù)學知識，可以通過模型來體現(xiàn)剪紙的對折過程和效果.如20dm×12dm規(guī)格的紙，進行1次對折的時候面積減半，而所得的圖形有兩種規(guī)格，即10dm×12dm，20dm×6dm，二者面積和為S1=240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，三者面積之和S2=180dm2，以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為;如果對折n次，那么∑nk=1Sk=dm2.

本題分為兩空，考查的知識點就是運用錯位相減法求等比數(shù)列的前n項和，對學生而言應該是基礎知識，但此題的正確率不高，問題出現(xiàn)在什么地方呢？首先從問題分析，只要明確第一空是特殊情況，那第一空就可以通過實際操作，折疊四次得到，沒有難度.第二問，折疊n次的情況，討論一般性，這就需要學生能夠從已給條件提煉出有用信息：由具體到一般找規(guī)律，折k次擁有k+1種規(guī)格圖形，且每個圖形的面積為20×122kdm2，從而構建等比數(shù)列前n項和模型.在上述過程中，解題的關鍵在于學生是否能夠提取有效信息，完成等比數(shù)列模型的建立.因此在教學過程中，教師始終要關注對學生閱讀提取信息能力的培養(yǎng)，這是數(shù)學建模的基礎.

3.1.3 應用信息技術

數(shù)學建模是用數(shù)學來回答復雜的并基于現(xiàn)實的問題，所以有很多內(nèi)容高中生只能論證其特殊性，然后直接推廣，即只作理論分析，這其實不利于學生的求真.而信息技術的精確性和對大數(shù)據(jù)的應用，為豐富數(shù)學建模內(nèi)容、驗證研究結果等提供了條件.計算機軟件的應用在數(shù)學建模計算求解和檢驗結果環(huán)節(jié)必不可少，所以在數(shù)學課堂中引導學生對于復雜的數(shù)學計算或抽象模型可借助計算機軟件解決問題，而并非無從下手或無解.

例3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用——單調(diào)性.

情境1 動畫視頻引入，直觀感知：在漆黑的夜里，你能否僅僅依據(jù)其燈光對汽車的運動狀態(tài)進行判斷，如上坡或下坡？

情境2 幾何畫板或GeoGebra演示，猜想結論.

導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性都是非常抽象的概念，所以利用生活中的常見問題，引導學生發(fā)現(xiàn)切線斜率和函數(shù)增減之間的聯(lián)系，配合課本已知結論，這樣只情境1已經(jīng)可以讓學生建立導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系.接下來學生自然會產(chǎn)生這樣的疑問：如何證明這個結論？這個結論的代數(shù)論證需要運用極限，現(xiàn)有知識講不清，那是不是告訴學生只要記住結論，大學再證明？這樣既沒有代數(shù)論證，也沒有精確數(shù)據(jù)的支撐，違背數(shù)學學科的嚴謹性，不利于學生素質(zhì)發(fā)展.

在情境1的基礎上，添加情境2，為高中生以后能夠完成數(shù)學建模提供了無限可能.運用幾何畫板或GeoGebra的演示，我們可以精準得到圖象上每一點處切線的斜率隨函數(shù)單調(diào)性的變化情況，雖然不能代數(shù)論證，但從“數(shù)”的角度，引導學生由特殊到一般提煉一般結論，同時為學生可能產(chǎn)生的懷疑，提供了論證工具.以信息技術輔助學生探索與猜測，全面具體的展示數(shù)學建模整個過程，對于培養(yǎng)學生的科學理性思維方式，數(shù)學素養(yǎng)的形成和發(fā)展具有積極意義.

3.2 數(shù)學建模課中數(shù)學建模素養(yǎng)培養(yǎng)策略

數(shù)學建模對學生的綜合運用知識的能力提出了較高要求，而學生從獲得知識到知識的實際應用是一個長期實踐積累的過程，高中階段的學生，其建模能力的不足決定數(shù)學建模教學不是以學生獲得數(shù)學模型為依據(jù)判斷學生是否具備數(shù)學建模素養(yǎng)，而是在學生體驗數(shù)學建模的全過程中，提高學習興趣，促進合作交流，激發(fā)創(chuàng)新思維.

首先，學生需要體驗完整的數(shù)學建模過程，只有經(jīng)歷感受過，學生才不會片面的認知數(shù)學建模，才能理解什么是數(shù)學建模素養(yǎng)，進而提升素養(yǎng).

其次，數(shù)學建模課需要充分遵循教師的主導作用與學生的主體地位.數(shù)學建模的現(xiàn)實情境包含大量信息，通常會與化學、物理、生物等學科相關，解讀的視角多樣，這就需要學生提前搜集材料做好準備工作，才能厘清問題的實質(zhì)，提出有價值的問題.影響現(xiàn)實問題的因素通常是非常復雜的，需要學生梳理各因素間聯(lián)系，才能明確干擾因素與關鍵因素，進而體驗排除干擾因素，保留關鍵因素，理想化實現(xiàn)問題.簡化問題后，讓學生體驗用數(shù)學語言表達問題，搜集相關數(shù)據(jù)，刻畫變量間關系，提出模型假設，這是建模的關鍵步驟.模型初步建立，讓學生體驗運用數(shù)學理論知識得到問題的解，教師可以提供信息技術輔助學生進行數(shù)值計算和檢驗，最后交流討論，優(yōu)化模型.整個數(shù)學建模過程都必須遵循學生是數(shù)學建?；顒拥闹黧w，否則建模就容易失去其獨特性與創(chuàng)造性，變成應用題教學.數(shù)學建模是學生的研究活動，教師不能過度指導，當然教師的指導和幫助也是必不可少的，這也對教師的教學能力提出了更高要求.

最后，小組合作學習應該是數(shù)學建模課堂教學的主要模式.我們知道數(shù)學建模一般有六個環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)都是復雜、繁瑣的，且都具有開放性，而高中生的時間和精力都是有限的，所以小組合作必不可少.在數(shù)學建模過程中，小組交流可以促進學生想法和觀點的開拓和整合，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，而小組工作分配，有利于全面高效的開展建模工作，給學生一個展示自我能力的平臺，展現(xiàn)自我價值.

數(shù)學建模走進高中課程，就是要對傳統(tǒng)學習方式進行革新與改變，提高學生的主動性和培養(yǎng)數(shù)學思想方法，增強創(chuàng)新與合作意識，提升數(shù)學素養(yǎng).培養(yǎng)高中生的數(shù)學建模素養(yǎng)是一個循序漸進的過程，需要教師不斷地實際探索，要在教學內(nèi)容、策略、方法等方面不斷反思、不斷改革、不斷提升.

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[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-06-25

作者簡介：欒文靜（1994.5-），女，江蘇省鎮(zhèn)江人，研究生，從事高中數(shù)學教學研究.