素養(yǎng)立意下一道視角極值題的溯源、破解與思考

張志剛

摘 要：對(duì)一道最大張角聯(lián)考試題進(jìn)行了深度剖析，揭示了試題命制的歷史背景，分別從幾何和代數(shù)視角進(jìn)行了解答，歸納提煉出解決問題的通性通法，以期提高解題的效益.

關(guān)鍵詞：米勒問題;直觀想象;數(shù)學(xué)建模

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）25-0063-04

1 題目呈現(xiàn)

題目 （2022年1月廣東省華附、省實(shí)、廣雅、深中高三四校聯(lián)考第7題）在足球比賽中，球員在對(duì)方球門前的不同位置起腳對(duì)球門的威脅是不同的，出球點(diǎn)對(duì)球門的張角越大， 射門的命中率就越高.如圖1為室內(nèi)5人制足球場示意圖，設(shè)球場（矩形）長BC大約為40米，寬AB大約為20米，球門長PQ大約為4米.在某場比賽中有一位球員欲在邊線BC上某點(diǎn)M處射門（假設(shè)球貼地直線運(yùn)行），為使∠PMQ最大，則BM大約是（? ）. （精確到1米）

A.8米? ?B.9米? C.10米? D.11米

本題通過設(shè)置鮮活的生活情境，考查一類最大張角問題，重點(diǎn)考查直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，內(nèi)蘊(yùn)豐富，具有較高的挖掘價(jià)值.

2 命制背景

2.1 問題探源

通過對(duì)典型習(xí)題的深度挖掘，有利于我們發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)涵和本質(zhì)，“揭秘”題目背后的故事與歷史淵源，概括歸納深藏其中的思維主線，以此為中心推而廣之，可以收到以一敵百的良好成效.本題源于歷史上經(jīng)典的米勒問題.1471年，德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家米勒（Johannes，miller）向諾德爾（Chri-stian，roder）教授提出了如下有趣的問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即可視角最大）？上述最大視角問題因米勒首先提出，故稱之為米勒問題.米勒問題廣泛分布于各種實(shí)際問題，例如探求欣賞一幅畫的最佳角度、足球比賽最佳射門點(diǎn)等，成為世界數(shù)學(xué)史上100個(gè)著名極值問題的第一個(gè)極值問題.歷史上的米勒問題所涉及的范圍是三維空間.作為實(shí)際問題，我們首先抽象出數(shù)學(xué)模型.如圖2所示，相對(duì)于懸桿而言，地球的體積是相當(dāng)大的，我們可視地球表面為平面，為了簡化模型，同時(shí)忽略觀察者身高的影響，即觀察者的身高視為0，且懸桿在地面上的投影也為0，因?yàn)閼覘U垂直于地面，所以到點(diǎn)O距離相同的點(diǎn)所得可視角相同.

參考文獻(xiàn)：

[1]戴建國.對(duì)高考中導(dǎo)數(shù)試題命制過程的一些思考[J].數(shù)學(xué)通訊，2021（18）：52-55.

[2] 史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）解讀[M].北京：高等教育出版社，2020.

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