巧用等和線解決向量雙變量問(wèn)題代

趙玉 許志城 魏俊潮

摘 要：平面向量的線性運(yùn)算、向量共線以及以向量為背景的最值問(wèn)題是近幾年高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn).本文通過(guò)探究雙變量問(wèn)題的多種解法，體驗(yàn)等和線定理應(yīng)用的簡(jiǎn)潔性、高效性.

關(guān)鍵詞：平面向量;等和線定理;雙變量

中圖分類(lèi)號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）25-0095-03

觀察三個(gè)例題的解法，常規(guī)解法是通過(guò)相關(guān)知識(shí)構(gòu)建出二元二次方程，此時(shí)較難求出系數(shù)之和，這為解題增添了難度.而采用等和線法則是巧妙地將復(fù)雜的求值、最值等一系列代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，將具體的代數(shù)式運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的比值問(wèn)題，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型解決向量雙變量問(wèn)題，完美地呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合之美，也充分體現(xiàn)了等和線解決雙變量問(wèn)題的簡(jiǎn)潔性、高效性.

向量等和線以平面向量基本定理為基礎(chǔ)，即一個(gè)向量可以用一組不共線的向量表示出來(lái)，此時(shí)兩基底的系數(shù)共同決定了第三條向量終點(diǎn)的位置，常用的結(jié)論是當(dāng)系數(shù)之和為1時(shí)，即三條共起點(diǎn)的向量的終點(diǎn)在同一條直線上.由于高考題中很多向量題目都涉及雙變量系數(shù)和的問(wèn)題，在遇到這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，解題大體上可分為以下三個(gè)步驟：確定等和線值為1的線（即兩個(gè)基底的終點(diǎn)所在的直線）;平移該線，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的可行域，分析何處取得最大值和最小值;從長(zhǎng)度的比值或點(diǎn)的位置兩個(gè)角度，計(jì)算最大值和最小值，如此便求得系數(shù)和的范圍.

而對(duì)于求解兩個(gè)系數(shù)的一般線性關(guān)系式問(wèn)題，由于向量可以通過(guò)數(shù)乘運(yùn)算將向量進(jìn)行同向或者反向伸長(zhǎng)、壓縮，所以所有系數(shù)的線性關(guān)系式都可以通過(guò)改變向量的基底，將所求系數(shù)的線性關(guān)系式轉(zhuǎn)換為兩個(gè)新的基底的系數(shù)和問(wèn)題，最后再利用等和線三步驟解決問(wèn)題.

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