抽象函數(shù)背景下設(shè)置的問題例析

童其林

2022年全國高考數(shù)學(xué)題我們都看到了，做過了，能感受到它的難度和情境的新穎，比如有一類抽象函數(shù)問題，全國新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷、全國高考乙卷都出現(xiàn)了. 這類問題對數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)都有較高的要求.下面讓我們先欣賞這些問題，并對這些問題做一個簡單的整理歸納，期望對你的復(fù)習(xí)備考有幫助.

例1.（2022年全國新高考Ⅰ卷，12題）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）. 若f（-2x），g（2+x）均為偶函數(shù)，則（ ）

A. f（0）=0 B. g（-）=0 C. f（-1）=f（4） D. g（-1）=g（2）

解析1：因?yàn)閡（x）=f（-2x）是偶函數(shù)，所以u（x）=u（-x），即f（-2x）=f（+2x），所以f（x）關(guān)于直線x=對稱，同理可得g（x）關(guān)于直線x=2對稱.

結(jié)合g（x）=f′（x），再根據(jù)g（x）關(guān)于直線x=2對稱，可知f（x）關(guān)于（2，t）（t為任意實(shí)數(shù)常數(shù)）對稱，

根據(jù)f（x）關(guān)于直線x=對稱，可知g（x）關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱.

因此，函數(shù)f（x）和g（x）均是周期為2的周期函數(shù)，所以f（0）=f（2）=t（t為任意實(shí)數(shù)），當(dāng)t≠0，A不正確.

又f（-1）=f（-1+2）=f（1），f（4）=f（2+2）=f（2）， f（x）關(guān)于直線x=對稱，所以f（1）=f（2），因此f（-1）=f（4），所以C正確.

g（-）=g（-+2）=g（）=0，所以B正確.

因?yàn)間（x）關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱，所以g（1）+g（2）=0，又g（-1）=g（-1+2）=g（1），所以g（-1）=-g（2），所以D不正確.

故選BC.

點(diǎn)評：本題在抽象函數(shù)的背景下，要比較深刻地理解函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性、導(dǎo)數(shù)等概念以及它們之間的聯(lián)系，才能完成解答. g（x）關(guān)于直線x=2對稱，可知f（x）關(guān)于（2，t）（t為任意實(shí)數(shù)常數(shù)）對稱，若在此條件下得出f（x）關(guān)于（2，0）對稱就不準(zhǔn)確了，比如g（x）=（x-2）2關(guān)于直線x=2對稱，得f（x）=（x-2）3+t，它是關(guān)于（2，t）（t為任意實(shí)數(shù)常數(shù)）對稱的. 對f（x）關(guān)于直線x=對稱，可知g（x）關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱的理解，我們舉個例子：f（x）=（x-）4+t，關(guān)于直線x=對稱，而g（x）=f′（x）=4（x-）3，關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱，并不是關(guān)于點(diǎn)（，t）對稱. 本題中，函數(shù)f（x）與函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)g（x）性質(zhì)的準(zhǔn)確轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，而以往對此類問題的性質(zhì)研究較少，應(yīng)該重視起來——而且要有前瞻性，因?yàn)槊恳荒甑母呖碱}都有新題出現(xiàn)，要么知識新，要么方法新，要么情境新.

特別提醒，解答本題及類似問題時，下面的定理及其推論一定要理解、記憶并會運(yùn)用：

定理1. 函數(shù) y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b.

證明：（必要性）設(shè)點(diǎn)P（x ，y）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，∵點(diǎn)P（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（a，b）的對稱點(diǎn)P ′（2a-x，2b-y）也在y=f（x）圖像上，∴ 2b-y=f（2a-x），即y+f（2a-x）=2b，故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得證.

（充分性）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，則y0=f（x0）.

∵ f（x）+f（2a-x）=2b，

∴ f（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0） .

故點(diǎn)P′（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x） 圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對稱，充分性得征.

推論1：函數(shù) y=f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0.

推論2：函數(shù) y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對稱的充要條件是f（a+x）+f（a-x）=2b.

定理2. 函數(shù) y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是f（a+x）=f（a-x） ，即f（x）=f（2a-x）（證明留給讀者）.

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f（x）=f（-x）.

定理3. ①若函數(shù)y=f（x） 圖像同時關(guān)于點(diǎn)A（a，c）和點(diǎn)B（b，c）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2a-b是其一個周期.

②若函數(shù)y=f（x） 圖像同時關(guān)于直線x=a 和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2a-b是其一個周期.

③若函數(shù)y=f（x）圖像既關(guān)于點(diǎn)A（a，c） 成中心對稱又關(guān)于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且4a-b是其一個周期.

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

∵函數(shù)y=f（x）圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，c）成中心對稱，

∴ f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：

f（2b-x）+ f [2a-（2b-x）] =2c………………（*）

又∵函數(shù)y=f（x）圖像直線x=b成軸對稱，

∴ f（2b-x）=f（x）代入（*）得：

f（x）=2c-f [2（a-b）+x]…………（**），用2（a-b）+x代x得

f [2（a-b）+x]=2c-f [4（a-b）+x]，再把此式代入（**）得：

f（x）=f [4（a-b）+x]，故y=f（x）是周期函數(shù)，且4a-b是其一個周期. 得證.

解析2：前面用一般化的方法解決了問題，我們也可以具體化解決這個問題.

設(shè)f（x）=sin？仔x+c（c為任意實(shí)數(shù)常數(shù)），則g（x）=f′（x）=？仔cos？仔x，

f（-2x）=sin（-2x）？仔+c=-cos2？仔x+c，為偶函數(shù)，

g（2+x）=？仔cos？仔（2+x）=？仔cos？仔x，為偶函數(shù)，均滿足題設(shè).

而f（0）=sin0+c=c，當(dāng)c≠0，f（0）≠0，所以A錯誤，

g（-）=？仔cos（-？仔）=0，B正確，

f（-1）=sin（-？仔）+c=c，f（4）=sin4？仔+c=c，所以f（-1）=f（4），C正確，

g（-1）=？仔cos（-？仔）=-？仔，g（2）=？仔cos2？仔=？仔，g（-1）≠g（2），D不正確.

故選BC.

點(diǎn)評：用此方法容易把A選成正確的，原因是直接假設(shè)f（x）=sin？仔x，所以更一般的假設(shè)，即假設(shè)f（x）=sin？仔x+c（c為任意實(shí)數(shù)常數(shù)）有利于避免錯誤.

例2.（2022年全國新高考Ⅱ卷，8題）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），f（1）=1，則f（k）=（ ）

A. -3???? B. -2???? C. 0???? D. 1

解析：令y=1，得f（x+1）+f（x-1）=f（x）f（1）=f（x），所以f（x+1）=f（x）-f（x-1）.

由此得，f（x+3）=f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x）-f（x+1）=-f（x），

所以f（x+6）=f [（x+3）+3]=-f（x+3）=f（x），即f（x）的周期為6.

令x=1，y=0，得f（1）+f（1）=f（1）f（0），所以f（0）=2，又f（1）=1.

所以f（2）=f（1）-f（0）=1-2=-1，f（3）=f（2）-f（1）=-1-1=-2，

f（4）=f（3）-f（2）=-2-（-1）=-1，f（5）=f（4）-f（3）=-1-（-2）=1，

f（6）=f（5）-f（4）=1-（-1）=2，

可得在一個周期內(nèi)，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=0.

因?yàn)?2=6×3+4，

所以f（k）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+（-1）+（-2）+（-1）=-3，選A.

點(diǎn)評：通過賦值法求出一個周期內(nèi)的函數(shù)值，再利用周期即可求出f（k）的值. 實(shí)際上，所求的函數(shù)值那么多，一個一個計(jì)算不太可能，找出規(guī)律，即找出函數(shù)周期是明智的選擇.

例3.（2022年全國高考乙卷，12題）已知函數(shù)f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）+g（2-x）=5，g（x）-f（x-4）=7. 若y=g（x）的圖像關(guān)于直線x=2對稱，g（2）=4，則f（k）=（ ）

A. -21??? B. -22??? C. -23??? D. -24

解析：由y=g（x）的圖像關(guān)于直線x=2對稱，得g（2-x）=g（2+x），因?yàn)閒（x）+g（2-x）=5，所以f（-x）+g（2+x）=5，所以f（-x）=f（x），f（x）為偶函數(shù).

由g（2）=4，f（0）+g（2）=5，得f（0）=1.

由g（x）-f（x-4）=7，得g（2-x）=f（-2-x）+7，代入f（x）+g（2-x）=5，得f（x）+f（-x-2）=-2，f（x）關(guān)于點(diǎn)（-1，-1）中心對稱，所以f（1）=f（-1）=-1.

由f（x）+f（-x-2）=-2，f（-x）=f（x），得f（x）+f（x+2）=-2，所以f（x+2）+f（x+4）=-2，所以f（x+4）=f（x），f（x）的周期為4.

在f（x）+f（x+2）=-2中，令x=0，得f（0）+f（2）=-2，所以f（2）=-3，

在f（x）+f（x+2）=-2中，令x=1，得f（1）+f（3）=-2，所以f（3）=-1，

又f（4）=f（0）=1，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=-1+（-3）+（-1）+1=-4.

因?yàn)?2=4×5+2，故f（k）=5×（-4）+f（1）+f（2）=-20-1-3=-24，選D.

點(diǎn)評：發(fā)現(xiàn)并利用函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性是順利解題的途徑.

我們知道，新課程設(shè)置的課程內(nèi)容有三條主線，一是函數(shù)，二是代數(shù)與幾何，三是統(tǒng)計(jì)與概率，還有一條暗線是數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)建模. 從新課程卷Ⅰ、卷Ⅱ的試題來看，正是這些主線和暗線在主導(dǎo)著試題的命制，其中的抽象函數(shù)是新課程主線中函數(shù)部分的重要內(nèi)容之一，是對主干知識、基本概念以及分類討論與整合思想的深入考查. 因此，很有必要對抽象函數(shù)的有關(guān)題型做一個較為全面的探討. 在下面的有關(guān)選擇題的例題和習(xí)題中，如無特殊說明，均指單選題.

一、抽象函數(shù)與函數(shù)的函數(shù)值、定義域、值域、解析式以及復(fù)合函數(shù)

例4. 已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（0）=2，f（1）=3. 寫出f（x）的一個解析式為________.

解析：二次函數(shù)f（x）=ax2+b（a≠0），顯然滿足f（-x）=f（x），所以該函數(shù)是偶函數(shù)，

由f（0）=2？圯b=2，

由f（1）=3？圯a+2=3？圯a=1，所以f（x）=x2+2. 答案為f（x）=x2+2（答案不唯一）.

點(diǎn)評：二次函數(shù)f（x）=ax2+b（a≠0）是常見的偶函數(shù)，列方程求出a，b即得所求的解析式.

例5. 已知f（x），g（x）分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，則下列為奇函數(shù)的是（ ）

A. f（g（x））? B. g（f（x））? C. f（f（x））? D. g（g（x））

解析：由題知f（x），g（x）分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，

故滿足 f（x）=-f（-x），g（x）=g（-x），

對于A，f（g（-x））=f（g（x）），則f（g（x））為偶函數(shù);

對于B，g（f（-x））=g（-f（x））=g（f（x）），則g（f（x））為偶函數(shù);

對于C，f（f（-x））=f（-f（x））=-f（f（x）），則f（f（x））為奇函數(shù);

對于D，g（g（-x））=g（g（x）），則g（g（x））為偶函數(shù).

故選C.

點(diǎn)評：概念、定義是解題的一個起點(diǎn)，也是一種方法，本題利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義驗(yàn)證即可.

二、抽象函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值

例6.（多選題）設(shè)函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論不一定正確的是（ ）

A. y=在R上為減函數(shù)

B. y=f（x）在R上為增函數(shù)

C. y=-在R上為增函數(shù)

D. y=-f（x）在R上為減函數(shù)

解析：若f（x）=x，則y==，在R上不是減函數(shù)（在x=0處無意義），A錯誤;

若f（x）=x，則y=f（x）=x，在R上不是增函數(shù)，B錯誤;

若f（x）=x，則y=-=-，在R上不是增函數(shù)（在x=0處無意義），C錯誤;

函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，則對于任意的x1，x2∈R，設(shè)x1

對于y=-f（x），則有y1-y2=（-f（x1））-（-f（x2））=f（x2）-f（x1）>0，

則y=-f（x）在R上為減函數(shù)，D正確. 故選ABC.

點(diǎn)評：若命題正確，則需要證明;若命題錯誤，只需舉一個反例說明.

例7.（多選題）已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足條件f（x+2）=-f（x），且函數(shù)y=f（x-1）為奇函數(shù)，則（ ）

A. 函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)

B. 函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對稱

C. 函數(shù)y=f（x）為R上的偶函數(shù)

D. 函數(shù)y=f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)

解析：因?yàn)閒（x-2）=-f（x），所以f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即T=4，故A正確;

因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x-1）為奇函數(shù)，所以函數(shù)y=f（x-1）圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，而函數(shù)f（x）的圖像是由函數(shù)f（x-1）的圖像向左平移1個單位得到，所以B正確;

又函數(shù)y=f（x-1）為奇函數(shù)，所以f（-x-1）=-f（x-1），根據(jù)f（x+2）=-f（x），用x-1代x有f（x+1）=-f（x-1），所以f（x+1）=-f（-x-1），用x-1代x有f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)，C正確;

因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x-1）為奇函數(shù)，所以f（-1）=0，又函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)，f（1）=0，所以函數(shù)不單調(diào)，D不正確. 故選ABC.

點(diǎn)評：解題時，畫出函數(shù)草圖進(jìn)行研究有利于解決問題.

例8.（多選題）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x+1）與f（x+2）都為奇函數(shù)，則（ ）

A. f（x）為奇函數(shù)???? B. f（x）為周期函數(shù)

C. f（x+3）為奇函數(shù)??? D. f（x+4）為偶函數(shù)

解析 ：因?yàn)間（x）=f（x+1）是奇函數(shù)，所以g（-x）+g（x）=0，即f（-x+1）+f（x+1）=0，所以f（x）關(guān)于（1，0）對稱，同理f（-x+2）+f（x+2）=0，f（x）關(guān)于點(diǎn)（2，0）對稱.

因此，f（2-x）+f（x）=0，f（4-x）+f（x）=0，所以f（2-x）=f（4-x），所以f（x）=f（2+x）， 所以f（x）是以2為周期的函數(shù). 所以f（x），f（x+3）=f（x+1），f（x+4）=f（x+2），均為奇函數(shù). ABC正確，所以選ABC.

點(diǎn)評：有時具體化能幫助我們理解：f（x+1）=x3是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f（x）=（x-1）3關(guān)于（1，0）對稱.

三、抽象函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式

例9. 已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，則滿足f（2x-1）>f（）的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（ ）

A.（，） B.[，） C.（，） D.[，）

解析：因?yàn)榕己瘮?shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，且滿足f（2x-1）>f（），

所以不等式等價為f（2x-1）>f（），即有2x-1<，

所以-<2x-1<，解得

點(diǎn)評：根據(jù)偶函數(shù)定義，得f（2x-1）=f（2x-1），所以f（2x-1）>f（）等價于f（2x-1）>f（），轉(zhuǎn)化到y(tǒng)軸的非負(fù)半軸上的圖像進(jìn)行研究，避免了分類討論，簡化了運(yùn)算.

例10. 設(shè)f（x）是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)′（x）=f（x），則下列結(jié)論正確的是（??? ）

A. 當(dāng)f（x）是奇函數(shù)時，F(xiàn)（x）必是偶函數(shù)

B. 當(dāng)f（x）是偶函數(shù)時，F(xiàn)（x）必是奇函數(shù)

C. 當(dāng)f（x）是單調(diào)增函數(shù)時，F(xiàn)（x）必是單調(diào)增函數(shù)

D. 當(dāng)f（x）是周期函數(shù)時，F(xiàn)（x）必是周期函數(shù)

解析：對B， 設(shè)f（x）=cosx，知F（x）=sinx+c（c為任意常數(shù)），所以f（x）偶函數(shù)時，F(xiàn)（x）不是奇函數(shù)（除了c=0外），所以B錯.

對C，設(shè)f（x）=x，F(xiàn)（x）=x2+c（C為任意常數(shù)），則f（x）在R上增函數(shù)，F(xiàn)（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增，即F（x）不是R上的增函數(shù)，所以C錯.

對D，設(shè)f（x）=cosx+1，F(xiàn)（x）=sinx+x+c（C為任意常數(shù)），則f（x）是周期函數(shù)，F(xiàn)（x）不是周期函數(shù)，所以D錯.

故A是正確的.

點(diǎn)評：對于一些常見的奇偶函數(shù)、周期函數(shù)、單調(diào)函數(shù)例子，要熟悉. 在舉反例的時候，就能做到順手拈來. 本題因?yàn)槭菃芜x題，排除了三個錯誤支，剩下一個必是正確支. 為什么A是正確的，要用到高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的知識（介紹一下，無需掌握），不妨證明一下：

由題意，F(xiàn)（x）是f（x）的原函數(shù)，所以設(shè)F（x）= f（t）dt+c（C為任意常數(shù)），令u=-t，則F（-x）= f（t）dt+c=- f（-u）du+c，所以如果f（x）是奇函數(shù)，則有f（-u）=-f（u），所以F（-x）= f（u）du+c=F（x），所以A正確.

例11. 已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（-1）=2. 若對任意x∈R，f′（x）>2+4，則f（x）>2x+4的解集為________.

解析：設(shè)g（x）=f（x）-2x-4，則g′（x）=f′（x）-2，

因?yàn)閷θ我鈞∈R，f′（x）>2，所以g′（x）>0，

所以對任意x∈R，g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，

因?yàn)閒（-1）=2，所以g（-1）=f（-1）+2-4=4-4=0，

由g（x）>g（-1）=0，可得x>-1，

則f（x）>2x+4的解集為（-1，+∞）. 答案：（-1，+∞）.

點(diǎn)評：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性是解決類似問題的一般方法.由于本題是填空題，答案唯一，所以也可以采用特殊化方法，即假設(shè)f（x）=3x+5，或f（x）=4x+6，滿足題設(shè)所有條件，再解不等式f（x）>2x+4，即可求得正確答案.

四、抽象函數(shù)與圖像、零點(diǎn)

例12. 已知函數(shù)f（x）與g（x）的部分圖像如圖1，則圖2可能是下列哪個函數(shù)的部分圖像（ ）

A. y=f（g（x）） B. y=f（x）g（x） C. y=g（f（x）） D. y=

解析：由圖1可知：函數(shù)f（x）關(guān)于y軸對稱，因此該函數(shù)是偶函數(shù)，即f（-x）=f（x）.

函數(shù)g（x）的圖像關(guān)于y原點(diǎn)對稱，因此該函數(shù)是奇函數(shù)，即g（-x）=-g（x）.

由圖2可知：該函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此該函數(shù)是奇函數(shù).

A：設(shè)F（x）=f（g（x）），因?yàn)镕（-x）=f（g（-x））=f（-g（x））=f（g（x））=F（x），

所以F（x）=f（g（x））是偶函數(shù)，不符合題意;

B：設(shè)M（x）=f（x）g（x），因?yàn)镸（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-M（x），

所以M（x）=f（x）g（x）是奇函數(shù)，符合題意;

C：設(shè)N（x）=g（f（x）），因?yàn)镹（-x）=g（f（-x））=g（f（x））=N（x），

所以N（x）=g（f（x））是偶函數(shù)，不符合題意;

D：由圖1可知：g（0）=0，因?yàn)楹瘮?shù)y=在x=0時沒有意義，故不符合題意，

故選B.

點(diǎn)評：觀察圖像，發(fā)現(xiàn)f（x）與g（x）的特點(diǎn)，再對給出的函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.

例13.（多選題）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）的部分圖像如圖3所示，f ′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A. f（2）=-1

B. f（1）·f（2）>4

C. f′（1） · f′（2）<0

D. 方程f′（x）=0無解

解析：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

f（x）為奇函數(shù)，且f（-2）>2，則f（2）=-f（-2）<-2，A錯誤;

f（x）為奇函數(shù)，且f（-1）=2，則f（1）=-2，則有f（1）f（2）>4，B正確;

由所給的函數(shù)f（x）的圖像，可得f′（-1）<0，f′（-2）>0，

則f′（1） · f′（2）=f′（-1）· f′（-2）<0，C正確;

由C的結(jié)論f′（-1）· f′（-2）<0，根據(jù)是零點(diǎn)存在定理，必定存在x0∈（-2，1），使得f′（x0）=0，即f′（x）=0一定有解，D錯誤.

故選BC.

點(diǎn)評：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)遞增區(qū)間的函數(shù)值為正，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)遞減區(qū)間的函數(shù)值為負(fù).

五、抽象函數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)的綜合考查

例14.（多選題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖4放置的邊長為2的正方形ABCD沿x軸滾動（無滑動滾動），點(diǎn)D恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)B（x，y）的軌跡方程是y=f（x），則對函數(shù)y=f（x）的判斷正確的是（ ）

A. 函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)

B. 對任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x-4）

C. 函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)閇0，2]

D. 函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[6，8]上單調(diào)遞增

解析：由題意，當(dāng)-4≤x<-2時，頂點(diǎn)B（x，y）的軌跡是以點(diǎn)A（-2，0）為圓心，以2為半徑的圓;當(dāng)-2≤x<2時，頂點(diǎn)B（x，y）的軌跡是以點(diǎn)D（0，0）為圓心，以2為半徑的圓;當(dāng)2≤x<4時，頂點(diǎn)B（x，y）的軌跡是以點(diǎn)C（2，0）為圓心，以2為半徑的圓;當(dāng)4≤x<6，頂點(diǎn)B（x，y）的軌跡是以點(diǎn)A（4，0）為圓心，以2為半徑的圓，與-4≤x<-2的形狀相同，因此函數(shù)y=f（x）在[-4，4]恰好為一個周期的圖像. 所以函數(shù)y=f（x）的周期是8，其圖像如圖5所示.

由圖像及題意可得，該函數(shù)為偶函數(shù)，故A錯誤;因?yàn)楹瘮?shù)的周期為8，所以f（x+8）=f（x），因此f（x+4）=f（x-4），故B正確;由圖像可得，該函數(shù)的值域?yàn)閇0，2]，故C正確;因?yàn)樵摵瘮?shù)是以8為周期的函數(shù)，因此函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[6，8]的圖像與在區(qū)間[-2，0]圖像形狀相同，因此，單調(diào)遞增，故D正確，故選BCD.

例15. 已知函數(shù)f（x）對于一切實(shí)數(shù)x、y滿足f（0）≠0，f（x+y）=f（x）f（y），且當(dāng)x<0時，f（x）>1.（1）當(dāng)x>0時，求f（x）的取值范圍;（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性.

解析：（1）對于一切x、y∈R，f（x+y）=f（x）f（y）且f（0）≠0

令x=y=0，則f（0）=1，現(xiàn)設(shè)x>0，則-x<0，∴ f（-x）>1，

又f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1 ，∴ f（-x）=>1，∴ 0

（2）設(shè)x11，

且===f（x1-x2）>1，又對任意x∈R，f（x）>0，∴ f（x1）> f（x2），∴ f（x）在R上為單調(diào)減函數(shù).

點(diǎn)評：由：f（x+y）=f（x）f（y），想：ax+y=ax·ay，原型：y=ax（a>0，a≠1），a0=1≠0. 當(dāng)a>1時為單調(diào)增函數(shù)，且x>0時，y>1，x<0時，01，x>0時，00時，0

例16. 已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（398-x）=f（2158-x）=f（3214-x），則f（0），f（1），f（2），…，f（999）中最多有（ ）個不同的值.

A. 165??? B. 177??? C. 183??? D. 199

解析：由已知f（x）=f（398-x）=f（2158-x）=f（3214-x）=f（x+1056）=f（x+1760）=f（x+704）=f（x+352）.

又有f（x）=f（398-x）=f（2158-x）=f（3214-x）=f（x+1056）=f [2158-（1056+x）]=f（1102-x）=f（1102-x-1056）=f（46-x），

于是f（x）有周期352，于是{ f（0），f（1），…，f（999）}能在{ f（0），f（1），…，f（351）}中找到.

又f（c）的圖像關(guān)于直線f（x）=23對稱，故這些值可以在{ f（23），f（24），…，f（351）}中找到. 又f（x）的圖像關(guān)于直線x=199對稱，故這些值可以在{ f（23），f（24），…，f（199）}中找到. 共有177個. 選B.

總之，抽象函數(shù)問題具有抽象性、綜合性和技巧性等特點(diǎn)，解題時應(yīng)透徹明了題設(shè)條件，并挖掘隱蔽條件，做到推理嚴(yán)謹(jǐn)，找出已知與未知的聯(lián)系.

練習(xí)題

1. 定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x）-2，則下列是周期函數(shù)的是（ ）

A. y=f（x）-x?? B. y=f（x）+x?? C. y=f（x）-2x?? D y=f（x）+2x

2. 定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=1，則f（-3）等于（ ）

A. 2???? B. 3???? C. 6???? D. 9

3. 設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)f′（x），？坌x∈R，有f（-x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上，f′（x）

A.[-2，2] B.[2，+∞） C. [0，+∞） D.（-∞，2]∪[2，+∞）

4.（多選題）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（-a， a）內(nèi)可導(dǎo)，則下列正確命題是（ ）

A. 如果f（x）是偶函數(shù)，那么f′（x）是奇函數(shù)

B. 如果f（x）是偶函數(shù)，那么f′（x）是偶函數(shù)

C. 如果f（x）是奇函數(shù)，那么f′（x）是偶函數(shù).

D. 如果f（x）是奇函數(shù)，那么f′（x）是奇函數(shù).

5.（多選題）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），f（x+2）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，給出下列真命題的有（ ）

A. f（x）是周期函數(shù)

B. f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對稱

C. f（x）在[1，2]上是減函數(shù)

D. f（2）=f（0）

6.（多選題）已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足ef（x）+f（x）=x，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. -1

B. f（x）在x=1處的切線方程為x-ey-1=0

C. f（x）在R上單調(diào)遞增

D. f（x）<在（1，+∞）上恒成立

7. 若一個偶函數(shù)的值域?yàn)椋?，1]，則這個函數(shù)的解析式可以是________.

8. 寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f（x）=________.

①定義域?yàn)镽;②值域?yàn)椋?∞，1）;③對任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，均有>0.

練習(xí)題參考答案

1. D 2. D 3. B 4. AC 5. ACD 6. ACD 7. f（x）=（），答案不唯一.

8. 答案不唯一，如 f（x）=1-， f（x）=1-，x>1x-1，x≤1f（x）=-x2，x≤01-，x>0等.

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)