峰回路“轉(zhuǎn)”，千變?nèi)f“化”

濮磊

一元二次方程是繼一元一次方程、二（三）元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程后，又一個(gè)常見(jiàn)的方程類型。如果說(shuō)二（三）元一次方程組可以看成是一元一次方程在“元”上的推廣，那么一元二次方程則是一元一次方程在“次”上的推廣。解一元二次方程的基本策略是降次，即通過(guò)配方、因式分解等，將一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解。

隨手翻開(kāi)教材，摘抄一些熟悉的一元二次方程如下：

（1）x2=3;（2）（x+1）2=3;（3）x2+2x-2=0;（4）2x2-3x-4=0……

那么，當(dāng)我們把它們放在一起的時(shí)候，你能看出它們之間的聯(lián)系嗎？原來(lái)，把方程（2）中的x+1看成x就變成了方程（1）;方程（3）雖然是一般形式，但移項(xiàng)、配方后，竟然就是方程（2）;方程（4）看起來(lái)系數(shù)不為1，但我們運(yùn)用等式的性質(zhì)，將方程兩邊同時(shí)除以2，然后再移項(xiàng)、配方，總可以變成方程（3）的形式……

大家一定感受到了這一點(diǎn)：方程（4）可以依次轉(zhuǎn)化成（3）（2）（1）的形式，也就是說(shuō)，會(huì)解方程（1），就等于會(huì)了“所有”，因?yàn)槲覀兛梢赞D(zhuǎn)化。

而我們又是怎樣看方程（1）的呢？可以根據(jù)平方根的定義，直接開(kāi)平方后轉(zhuǎn)化為一次方程;也可以移項(xiàng)，得x2-3=0，于是（x+[3]）·（x-[3]）=0，這樣一元二次方程也轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程，即x+[3]=0、x-[3]=0，方程的解顯而易見(jiàn)。原來(lái)又是轉(zhuǎn)化。

暢想一下，你能借助轉(zhuǎn)化思想解決哪些更復(fù)雜的方程呢？

例1 解方程：（1）x3-9x=0;（2）（x2-x）2-8（x2-x）+12=0。

（1）是一個(gè)三次方程，沒(méi)見(jiàn)過(guò)吧？不過(guò)，一定難不倒聰明的你。想到“轉(zhuǎn)化”，可以設(shè)法降次。對(duì)于方程（2），如果展開(kāi)，那該變成4次了。能不能不展開(kāi)？觀察一下方程的特點(diǎn)，能借助解二次方程的方法來(lái)解決嗎？

解：（1）x3-9x=0。

x（x2-9）=0。

x（x+3）（x-3）=0。

x=0或x+3=0或x-3=0。

解得x1=0，x2=-3，x3=3。

（2）令m=x2-x，則原方程可寫為m2-8m+12=0。

所以（m-2）（m-6）=0，解得m1=2，m2=6。

當(dāng)m1=2時(shí)，x2-x=2，所以（x-2）（x+1）=0，解得x1=2，x2=-1;

當(dāng)m2=6時(shí)，x2-x=6，所以（x-3）（x+2）=0，解得x3=3，x4=-2。

綜上，方程的解為

x1=2，x2=-1，x3=3，x4=-2。

原來(lái)，“三次”也可以通過(guò)因式分解轉(zhuǎn)化到“一次”。把（2）中的x2-x看成一個(gè)整體，最大的妙處在于降低了原方程的次數(shù)，這是很重要的轉(zhuǎn)化方法。解決了上述問(wèn)題，請(qǐng)?jiān)囋嚱夥质椒匠蹋╗xx-1]）2-5（[xx-1]）-6=0吧。你一定能行！

轉(zhuǎn)化要注意一些什么呢？

例2 解方程：[2x+3]=x。

我們會(huì)解上述的一些高次方程，但是遇到根號(hào)就要格外小心。根號(hào)下含有未知數(shù)的方程叫作無(wú)理方程。相信大家一看見(jiàn)它的樣子，就聯(lián)想到可以將方程兩邊平方轉(zhuǎn)化為2x+3=x2的形式。但是，這又會(huì)帶來(lái)什么“隱患”呢？請(qǐng)大家小心“操作”，認(rèn)真“思考”哦。

解：兩邊平方，得2x+3=x2。

所以（x-3）（x+1）=0，解得x1=3，x2=-1。

檢驗(yàn)：x=-1是增根，舍去。

所以x=3是原方程得解。

原來(lái)，無(wú)理方程可以通過(guò)平方等方法轉(zhuǎn)化成我們熟悉的有理方程。但是，要注意增根的產(chǎn)生。例如上面的平方，可不是同解變換。細(xì)心的同學(xué)們一定發(fā)現(xiàn)了，例1最后的練習(xí)，我們?nèi)绻裑xx-1]當(dāng)成一個(gè)整體，會(huì)出現(xiàn)分式方程，同樣需要檢驗(yàn)。

最后，再讓我們換個(gè)視角看問(wèn)題。

例3 解方程：x3-2[2]x2+2x-[2]+1=0。

這是一個(gè)高次方程，我們未學(xué)過(guò)其解法，難以求解。如果我們換一個(gè)角度（“已知”和“未知”互換），即將[2]看作“未知數(shù)”，而將x看成“已知數(shù)”，則原方程可整理成x（[2]）2-（2x2+1）[2]+（x3+1）=0。

b2-4ac=（2x2+1）2-4x（x3+1）=4x2-4x+1=（2x-1）2。

解得[2]=x+1或[2]=[x2-x+1x]。

故方程可轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元一次方程[2]=x+1和一個(gè)一元二次方程x2-x+1=[2]x，從而不難求得這個(gè)高次方程的解。

理解了上述問(wèn)題，請(qǐng)?jiān)囋嚱夥匠蹋?/p>

9x-3x2-3+[14]x3+[12]x=0。

解：由9x-3x2-3[+14]x3[+12]x=0，得

x·32-（x2+1）·3+（[14]x3[+12]x）=0。

b2-4ac=（x2+1）2-4x（[14]x3[+12]x）=1>0，

解得3=[12]x或3=[x2+22x]。

當(dāng)3=[12]x時(shí)，解得x=6。

當(dāng)3=[x2+22x]時(shí)，解得x1=3-[7]，x2=3+[7]。

經(jīng)檢驗(yàn)，x1=3-[7]，x2=3+[7]是方程的解。

綜上所述，方程的解為

x1=3-[7]，x2=3+[7]，x3=6。

轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中無(wú)處不在，說(shuō)到底，轉(zhuǎn)化就是生疏化成熟悉，復(fù)雜化成簡(jiǎn)單，抽象化成直觀，含糊化成明朗，同學(xué)們?cè)囍形蜣D(zhuǎn)化的奧妙吧。

（作者單位：江蘇省南京市第五十中學(xué)）