“根與系數(shù)”可千變，牢記“關(guān)系”破萬(wàn)象

曹丹

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系又稱韋達(dá)定理，這是因?yàn)樗怯煞▏?guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的。韋達(dá)定理可以與代數(shù)、幾何中的許多知識(shí)結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問(wèn)題，也是中考中常見(jiàn)的考點(diǎn)。

具體內(nèi)容如下：如果方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1、x2，那么x1+x2=[-ba]，x1·x2=[ca]。我們應(yīng)注意，韋達(dá)定理只適用于一元二次方程，使用時(shí)要先把方程化為一般式，并注意隱含條件a≠0。同時(shí)，使用此定理的前提是方程有實(shí)數(shù)根，也就是要滿足根的判別式b2-4ac≥0這一條件。

蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第23頁(yè)習(xí)題第3題：

已知關(guān)于x的方程x2+bx+c=0的兩根分別是[2]+1、[2]-1，求b、c的值。

本題已知方程兩根，求系數(shù)。固然可以代入得二元一次方程組從而求解，但兩根是無(wú)理數(shù)，運(yùn)算將十分繁瑣。而運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解題即可迅速得到（[2]+1）+（[2]-1）=-b，（[2]+1）×（[2]-1）=c，即b=[-22]，c=1。此方法大大降低了運(yùn)算量，化繁為簡(jiǎn)。中考中一元二次方程根與系數(shù)千變?nèi)f化，但我們只要牢記根與系數(shù)的關(guān)系，那么，在遇到涉及求兩根之和、兩根之積，或者利用兩根之和、兩根之積求方程中參數(shù)或求某一個(gè)代數(shù)式的值等問(wèn)題時(shí)，便可化難為易。

變式1 （2022·四川宜賓）已知m、n是一元二次方程x2+2x-5=0的兩個(gè)根，則m2+mn+2m的值為（）。

A.0B.-10C.3D.10

【解析】因?yàn)閙、n是一元二次方程x2+2x-5=0的兩個(gè)根，

所以m2+2m-5=0，即m2+2m=5。

由韋達(dá)定理，得mn=-5，

所以m2+mn+2m=0。

【小結(jié)】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系和代數(shù)式求值。方程確定時(shí)可以解出兩根，再代入求值，但求解繁瑣?？焖俳獯鸨绢}的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)要仔細(xì)觀察代數(shù)式m2+mn+2m與方程x2+2x-5=0之間的聯(lián)系，要能夠敏銳地察覺(jué)到m2+mn+2m中的m2+2m可通過(guò)將x=m代入方程來(lái)實(shí)現(xiàn)。

變式2 （2022·湖北仙桃）若關(guān)于x的一元二次方程x2-2mx+m2-4m-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，且（x1+2）（x2+2）-2x1·x2=17，則m=（）。

A.2或6 B.2或8 C.2D.6

【解析】因?yàn)橐辉畏匠蘹2-2mx+m2-4m-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，

所以b2-4ac=（-2m）2-4（m2-4m-1）≥0，解得m≥[-14]，

且x1+x2=2m，x1·x2=m2-4m-1。

因?yàn)椋▁1+2）（x2+2）-2x1·x2=x1·x2+2（x1+x2）+4-2x1·x2=2（x1+x2）+4-x1·x2=17，

所以2×2m+4-（m2-4m-1）=17。

整理，得m2-8m+12=0。

因式分解，得（m-2）（m-6）=0，

解得m=2或m=6。

故選A。

【小結(jié)】此題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵。同學(xué)們往往忽略隱含條件b2-4ac≥0。

變式3 （2022·湖北鄂州）若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2-4a+3=0，b2-4b+3=0，且a≠b，則[1a]+[1b]的值為。

【解析】由題意可知，a、b是一元二次方程x2-4x+3=0的兩個(gè)根。

由根與系數(shù)的關(guān)系，得a+b=4，ab=3。

所以[1a][+1b]=[b+aab]=[43]。

【小結(jié)】本題看似兩個(gè)方程，但仔細(xì)觀察這兩個(gè)方程，不難發(fā)現(xiàn)，a、b是一元二次方程x2-4x+3=0的兩個(gè)根。而利用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解決本題可以減少運(yùn)算量，降低出錯(cuò)可能。

變式4 （2022·四川成都）若一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2-6x+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)是。

【解析】設(shè)直角三角形三邊分別是a、b、c，c為斜邊。

根據(jù)勾股定理，得a2+b2=c2。

因?yàn)閮蓷l直角邊的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2-6x+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以a+b=6，ab=4。

所以a2+b2=（a+b）2-2ab=28=c2，

即c=[27]。

【小結(jié)】本題是韋達(dá)定理與幾何知識(shí)的結(jié)合，考查同學(xué)們對(duì)于代數(shù)和幾何知識(shí)的理解是否扎實(shí)。此題本質(zhì)仍是利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式a2+b2的值。同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要能夠透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，掌握一些常見(jiàn)的代數(shù)式的變形，如以下幾種變形：

（x1+n）（x2+n）=x1·x2+n（x1+x2）+n2，

[1x1][+1x2]=[x1+x2x1·x2]，

x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2，

（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1·x2。

（作者單位：江蘇省南京市六合區(qū)橫梁初級(jí)中學(xué)）