立足結(jié)構(gòu)識(shí)概念掌握模型會(huì)應(yīng)用

諸士金

現(xiàn)實(shí)生活中，許多問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系可以抽象為方程或不等式。我們?cè)趯W(xué)習(xí)一元二次方程之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程（組）、三元一次方程組以及分式方程、不等式等知識(shí)。類(lèi)比前面知識(shí)的學(xué)習(xí)，我們可以認(rèn)識(shí)到，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，求出它的解并解決實(shí)際問(wèn)題是本章學(xué)習(xí)的主線。因此，在學(xué)習(xí)中，我們需要從方程的建立出發(fā)，識(shí)別方程的結(jié)構(gòu)特征，并能結(jié)合這樣的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行方程的同解變形來(lái)求解，再基于此形成解決實(shí)際問(wèn)題的一般模型。在這個(gè)過(guò)程中，我們可以進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)三大思想，即抽象思想、推理思想和模型思想，也能進(jìn)一步培養(yǎng)我們的推理能力、運(yùn)算能力和建模能力，發(fā)展我們的應(yīng)用意識(shí)。

一、關(guān)注一元二次方程的概念學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)搭建從數(shù)學(xué)外到數(shù)學(xué)內(nèi)的橋梁

在一元二次方程概念的學(xué)習(xí)中，我們要緊密聯(lián)系實(shí)際，借助豐富的實(shí)例來(lái)感受一元二次方程學(xué)習(xí)的必要性，展現(xiàn)一元二次方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。與前面學(xué)習(xí)的方程類(lèi)似，我們需要從實(shí)際生活中理解數(shù)量的意義，并借助數(shù)量的意義建立數(shù)量關(guān)系，借助符號(hào)和字母表示出這些數(shù)量關(guān)系，形成具有同一未知量的二次關(guān)系。

例1 如何用方程描述下面情境中數(shù)量之間的關(guān)系？

（1）正方形桌面的面積是2m2。設(shè)該正方形桌面的邊長(zhǎng)是xm。

（2）如圖1，矩形花園一面靠墻，另外三面所圍柵欄的總長(zhǎng)度是19m，花園的總面積是24m2。設(shè)花園靠墻部分的長(zhǎng)度是xm。

（3）某校圖書(shū)館藏書(shū)在兩年內(nèi)從5萬(wàn)冊(cè)增加到9.8萬(wàn)冊(cè)。設(shè)圖書(shū)館的藏書(shū)平均每年的增長(zhǎng)百分率是x。

（4）如圖2，長(zhǎng)5m的梯子斜靠在墻上，梯子底端與墻的距離比梯子頂端與地面的距離多1m。設(shè)梯子底端與墻的距離是xm。

同學(xué)們可以通過(guò)這一組問(wèn)題，理解這些問(wèn)題中數(shù)量之間的意義，并建立方程：

（1）x2=2，

（2）x（[19-x2]）=24，

（3）5（1+x）2=9.8，

（4）x2+（x-1）2=25。

在建立的方程中，我們能感受到這些方程的結(jié)構(gòu)共性——“二次”，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到這些“二次”的共性特征可以反映到ax2+bx+c=0（a≠0）這一結(jié)構(gòu)上。這就是一元二次方程的一般形式，也搭建了實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量之間二次關(guān)系的橋梁。

這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)，一方面需要同學(xué)們打牢整式概念的基礎(chǔ)，要能夠?qū)Σ煌Y(jié)構(gòu)的整式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，準(zhǔn)確分析出其本質(zhì);另一方面，從數(shù)學(xué)外到數(shù)學(xué)內(nèi)的橋梁，不是從一元二次方程才開(kāi)始的，更不會(huì)到此就結(jié)束，我們構(gòu)建函數(shù)模型也需要這樣從數(shù)學(xué)外看到數(shù)學(xué)內(nèi)的眼光。

二、關(guān)注一元二次方程的解法學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)關(guān)聯(lián)從數(shù)學(xué)內(nèi)到數(shù)學(xué)內(nèi)的算理

在學(xué)習(xí)一元二次方程的解法前，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程的解法，知道可以利用運(yùn)算律、等式的基本性質(zhì)，通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)等變形得到方程的解;對(duì)于三元一次方程組、二元一次方程組，我們可以通過(guò)消元等將三元一次方程組、二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這里的算理就是“轉(zhuǎn)化”思想。知識(shí)內(nèi)部之間的關(guān)系讓我們能夠轉(zhuǎn)新為故，也讓我們能夠采用從特殊到一般、從具體到抽象的方法來(lái)研究新的方程如何解決。

對(duì)于一元二次方程的解法學(xué)習(xí)，我們可以從x2=a、（x+m）2=n的結(jié)構(gòu)來(lái)分析如何轉(zhuǎn)化。在注意到“降次”是我們轉(zhuǎn)化的目的之后，可歸納得到直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法四種方法，以及掌握這些方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)適度的練習(xí)加深理解，尋求方程解法的優(yōu)化。

例2 （1）如何解一元二次方程呢？請(qǐng)你寫(xiě)出幾個(gè)一元二次方程，并嘗試解一解。

（2）如何探索方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的解法呢？寫(xiě)出你的想法。

這里我們以例2的兩個(gè)問(wèn)題作為參考來(lái)探索一元二次方程解法的一般路徑，明確解決問(wèn)題的方法，積累解方程的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。同學(xué)們可以類(lèi)比前面方程解法的學(xué)習(xí)，從特殊形式入手進(jìn)行思考，比如：如何解方程ax2+c=0（a≠0）呢？可以舉具體的例子，如：x2-1=0，2x2-1=0，x2+1=0。通過(guò)這些例子歸納出將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程的主要方法，即因式分解法和直接開(kāi)平方法。利用這兩種方法可以將ax2+c=0（a≠0）降次，轉(zhuǎn)化為一元一次方程;在解決這組問(wèn)題時(shí)還會(huì)發(fā)現(xiàn)方程無(wú)實(shí)數(shù)解的情形，進(jìn)而討論得到當(dāng)[-ca]≥0時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解的一般結(jié)論。例2雖然能讓我們感受到用直接開(kāi)平方法和因式分解法來(lái)進(jìn)行降次，但為了更好地幫助我們理解因式分解法可以降次得到一元一次方程，我們不妨再看下面的例3。

例3 （1）如何解方程ax2+bx=0（a≠0）？

（2）如何解方程x2-2x=0？

（3）如何解方程2x2+x=0？

我們借助類(lèi)似例2這樣的例子，發(fā)現(xiàn)在解方程的過(guò)程中，一些方程獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征可以利用因式分解進(jìn)行降次。當(dāng)然這里需要對(duì)結(jié)構(gòu)變形，形成（x+a）（x+b）=0的形式。

在解法的探究學(xué)習(xí)中，立足方程的結(jié)構(gòu)，關(guān)注方程根的情況與系數(shù)關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系的研究看似是我們解方程中的一個(gè)“節(jié)外生枝”，其實(shí)是探尋解法中的必然研究。同時(shí)，也是為我們今后繼續(xù)學(xué)習(xí)一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)做好準(zhǔn)備。

三、關(guān)注一元二次方程的應(yīng)用學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)建構(gòu)從數(shù)學(xué)內(nèi)到數(shù)學(xué)外的模型

用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的學(xué)習(xí)是用方程解決實(shí)際問(wèn)題的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。與用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題、用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題等類(lèi)似，我們要學(xué)會(huì)在掌握基本數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上對(duì)復(fù)雜情境進(jìn)行分析，梳理出其中的“二次”關(guān)系，得到對(duì)應(yīng)的方程模型。在這一過(guò)程中，我們可以借助表格、線段示意圖等工具找出問(wèn)題中的已知量、未知量，分析其中數(shù)量之間的聯(lián)系，體現(xiàn)“算兩次”的思想，找到關(guān)鍵詞并由此確定等量關(guān)系。我們要形成良好的思維習(xí)慣，培養(yǎng)直觀分析題意的能力，對(duì)于實(shí)際問(wèn)題要形成檢驗(yàn)、解釋合理性的意識(shí)，理解所得方程及其根的實(shí)際意義等。

總之，一元二次方程是初中重要的數(shù)學(xué)模型之一，有豐富的實(shí)際背景。在學(xué)習(xí)中，我們要通過(guò)豐富的情境來(lái)培養(yǎng)建立一元二次方程模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力;要體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，發(fā)展應(yīng)用意識(shí);要重視與之相關(guān)的知識(shí)聯(lián)系，建立合理的邏輯關(guān)聯(lián)，突出解方程的基本策略，在學(xué)習(xí)概念、解法和應(yīng)用的過(guò)程中發(fā)展發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓區(qū)教師發(fā)展中心）