細(xì)品教材中“1平方厘米”的定義

郜舒竹 魏衛(wèi)霞

【摘? ?要】細(xì)品教材中“1平方厘米”的定義，旨在說明我國目前教材中的問題是普遍存在的?！?平方厘米”及其定義表述存在廣泛性與模糊性問題，這種廣泛性與模糊性可以概括為不確定性，成為一線教師的教學(xué)困難和學(xué)生的認(rèn)知障礙。教材是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源，教師、學(xué)生、家長視之為寶典，奉之為圭臬。教材編修應(yīng)當(dāng)慎之又慎，重視并仔細(xì)斟酌、診斷問題，唯有如此，才有可能使教材質(zhì)量得以提升。

【關(guān)鍵詞】平方;面積;面積單位;廣泛;模糊

一、引言

本刊2022年第6期上刊發(fā)的《“長[×]寬”為什么等于“長方形面積”》（以下簡稱“文1”），針對“長[×]寬”中乘法運(yùn)算意義的進(jìn)化，討論了長方形“長與寬的乘積”與面積的關(guān)系，意在說明“長[×]寬”等于“長方形面積”并非是自然而然的結(jié)論，其中的“長”與“寬”已經(jīng)超越了線段和長度的意義，偏重兩個不同方向行與列的意義，把“長[×]寬”視為在確定面積單位基礎(chǔ)上的“行數(shù)[×]列數(shù)”。

在此基礎(chǔ)上，本刊2022年第7/8期上刊發(fā)的《“平方厘米”語義分析》（以下簡稱“文2”），從詞匯的語義方面討論了面積單位“平方厘米”中“平方”的意義，以及“平方”與“厘米”組合為“平方厘米”的意義，澄清面積單位“平方厘米”與長度單位“厘米”的關(guān)系，運(yùn)用笛卡爾乘積模型，建立起長度單位與面積單位的因果關(guān)系，對“長[×]寬”等于長方形面積形成了與“搭配”問題意義一致的認(rèn)識，拓展了“文1”所說長方形面積等于“行數(shù)[×]列數(shù)”的意義，體現(xiàn)出乘法運(yùn)算因果相生、以數(shù)生數(shù)的建構(gòu)特征。

無論是“文1”中的“長[×]寬”，還是“文2”中的“平方厘米”，都反映出數(shù)學(xué)語言“語境敏感”或“語境依賴”的特征[1][2]。長方形的長與寬指向長方形相鄰的兩條邊，從形的角度看是兩條線段，從量的角度看是線段的長度。在“長[×]寬等于長方形的面積”的語境下，拓展出單位正方形構(gòu)成的“行”與“列”這樣新的意義，使得“長[×]寬”的意義從字面的“長度[×]長度”，改變?yōu)閷?shí)際的“行數(shù)[×]列數(shù)”。

“文2”中的“平方厘米”也類似，單獨(dú)看“厘米”，其意義指向的是長度單位，置于“平方厘米”的語境中，“厘米”的意義指向發(fā)生了本質(zhì)的改變，“平方厘米”中的“平方”不是“厘米”的修飾者或限定者（Determining Adjective），而是“更改者（Modifying Adjective）”。如“玩具槍”一詞，由“玩具”和“槍”組成，表達(dá)的不是“槍”，而是形如槍的玩具，玩具槍最臨近的屬概念不是槍，而是玩具，可以說“玩具槍”中的“玩具”改變了“槍”的屬性，即“玩具”成為“槍”所表達(dá)意義的更改者[3]。如果把“長度單位”視為“厘米”最臨近的屬概念，那么“平方厘米”則失去了這一屬概念的屬性，不再表達(dá)長度單位的意義，最臨近的屬概念改變?yōu)轭愃朴诋€、平方米等的“面積單位”。“平方厘米”表達(dá)的既不是“平方和厘米”，也不是“平方的厘米”，而是與平方和厘米相關(guān)的一個新概念。像這樣語境依賴的現(xiàn)象在人的日?；顒又衅毡榇嬖?，比如在地鐵車廂中聽到播音員說：

l× × 站到了，將開啟右側(cè)車門。

其中“右側(cè)車門”是以聲音“yòu cè chē mén”的形式傳遞的?，F(xiàn)代語言學(xué)之父、瑞士語言學(xué)家弗迪南·德·索緒爾（Ferdinand de Saussure，1857—1913）在《通用語言學(xué)》一書中，把文本、圖像、聲音等均視為“符號”，符號本身并沒有意義，是現(xiàn)實(shí)對象或抽象概念的代表，建立符號與其所代表具體對象或抽象概念關(guān)系的過程叫作“意指（Signification）”。類似于“右側(cè)車門”這樣的聲音或文本符號的心理表象叫作“能指（Signifier）”，能指所涉及的現(xiàn)實(shí)對象或抽象概念稱為“所指（Signified）”，意指就是建立能指與所指關(guān)系的過程[4]。

“右側(cè)車門”的意指過程并不明顯，原因在于“右”作為具身的方位詞，具有語境依賴的特點(diǎn)，這時的語境不是文本意義的上下文，而是身體、思維與現(xiàn)實(shí)環(huán)境共存的“情景（Situation）”，所指“右側(cè)車門”位置需要在身體、情景和思維的互動中確認(rèn)。右側(cè)車門中的“右”是相對于人身體的朝向而言的，當(dāng)人身體面向車行駛方向時，“右手”指向車門位置;如果身體是背朝行駛方向，那么“左手”指向車門位置（如圖1）。

這表明能指的“右”可能是所指的“右”，也可能是所指的“左”，這也印證了索緒爾關(guān)于能指與所指關(guān)系的隨意性原理，即能指與所指的關(guān)系并非是“必然的（Necessary）”，而是“隨意的（Arbitrary）”[5]。

無論是教材中的文本、圖像，還是教師的言語、課件、板書等，對于學(xué)生而言都是符號意義的能指，僅有看到或聽到的過程并不是意指過程的全部，通常所說的讀懂或聽懂意味著需要經(jīng)歷意指的過程，也即建立能指與所指關(guān)系的過程。這就給教材中的文本、圖像，以及實(shí)際教學(xué)中板書、課件設(shè)計指出了方向。下面以小學(xué)數(shù)學(xué)第二學(xué)段教材中面積單位“1平方厘米”的定義為例進(jìn)行說明。

二、表述的“模糊性”

作為能指的“1平方厘米”，其意指過程需要建立與所指的關(guān)系，也就是要回答“‘1平方厘米代表什么”。這就需要將“1平方厘米”置于某種語境中，教材中的定義或圖像就是對這種語境的設(shè)定。人教版教材（2012年）三年級下冊“面積”單元中，對面積單位“1平方厘米”的定義用以下文字進(jìn)行表述。

定義1：邊長1厘米的正方形，面積是1平方厘米。

這樣的表述為“S是P ”的結(jié)構(gòu)，與下面定義2的表述意義一致。

定義2：[邊長1厘米的正方形面積S][是][1平方厘米P]。

將“1平方厘米”置于這樣上下文語境的定義表述中，作為能指的“1平方厘米”對應(yīng)的所指自然成為“邊長1厘米的正方形面積”（如圖2）。

由此看來，“1平方厘米”所指對象包含“面積”和“邊長1厘米的正方形”兩個元素?！懊娣e”所指是圖形的大小，屬于“量”的范疇;而“正方形”的所指是形狀，屬于“質(zhì)”的范疇。事實(shí)上，“1平方厘米”表達(dá)的是面積作為量的單位，其所指并不包括圖形形狀。這一點(diǎn)與長度單位不同，如果一條線段的長度是1厘米，那么所有長度為1厘米的線段形狀都一樣，換言之，就是所有長度為1厘米的線段都是全等關(guān)系，都可以通過運(yùn)動實(shí)現(xiàn)重合[6]。二維的平面圖形則不同，同時具有“形”與“量（面積）”的雙重屬性，可能出現(xiàn)“形同量等”的全等關(guān)系，也可能出現(xiàn)“形異量等”的非全等等價關(guān)系?！?平方厘米”可以表示正方形的面積，從量的意義說，也可以表示非正方形圖形的面積。圖3中如果左圖正方形面積為1平方厘米，那么變形后右圖長方形的面積也是1平方厘米。

教材中對“1平方厘米”的定義實(shí)際是一個具有肯定意義的判斷或命題，其表述具有“模糊性（Vagueness）”的特征。19～20世紀(jì)美國著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家皮爾士（Charles Sanders Santiago Peirce，1839—1914），曾對模糊性有過一個經(jīng)典的解釋：“當(dāng)命題中的事物出現(xiàn)若干可能時，盡管說話者對這些可能進(jìn)行了仔細(xì)的斟酌，但仍不能確定地把哪些可能排除或歸屬于這個命題，這時候，這個命題就是模糊的。這里所說的不能確定，并不是解釋者的無知，是因?yàn)檎f話者語言本身就是模糊的?！盵7] “1平方厘米”是表達(dá)面積單位的符號，其所指應(yīng)當(dāng)屬于“量”的范疇，而定義表述中出現(xiàn)了正方形作為形狀“質(zhì)”的意義，自然會給讀者帶來混淆與困惑。

“1平方厘米”的所指不是“一個”圖形的面積，而是“一類”具有量等關(guān)系的圖形的面積?！斑呴L1厘米的正方形”是“1平方厘米”概念形成的“原型（Prototype）”，是“一類”中最典型的“一個”代表[8]。教材中關(guān)于“1平方厘米”定義表述的模糊性表現(xiàn)為其所指為“一個”與“一類”對象的混淆，需要在“1平方厘米”所指對象中排除“形狀”的意義，歸屬所有與原型正方形面積相等的圖形，讓“1平方厘米”所指為表示“一類”圖形面積的概念，而不僅是“一個”具體圖形的面積。這樣的排除與歸屬是理解“1平方厘米”定義必要的認(rèn)知活動，自然應(yīng)當(dāng)是教材編修過程中需要重視的內(nèi)容。

三、難以實(shí)現(xiàn)的“好”定義

19～20世紀(jì)英國兩位偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家懷海德（Alfred North Whitehead，1861—1947）與羅素（Bertrand Arthur William Russell，1872—1970），在合著的《數(shù)學(xué)原理》中指出，“定義”實(shí)際就是命名的過程，用新的術(shù)語或符號“P ”表達(dá)某類具有共同屬性的對象“S ”，P與S分別叫作“被定義項(xiàng)（Definiendum）”和“定義項(xiàng)（Definiens）”，用定義項(xiàng)“S ”確定被定義項(xiàng)“P ”的意義，表述為“S是P ”。用索緒爾的術(shù)語說，被定義項(xiàng)與定義項(xiàng)分別相當(dāng)于能指與所指，定義實(shí)際就是建立二者關(guān)系的意指過程。

教材中的定義是將“邊長1厘米的正方形面積”命名為“1平方厘米”，用新的術(shù)語“1平方厘米”表達(dá)“邊長1厘米正方形面積”，用“邊長1厘米正方形的面積”確定“1平方厘米”的意義。因此“1平方厘米”是定義中的被定義項(xiàng)，“邊長1厘米的正方形面積”是定義項(xiàng)。

定義的表述是人為規(guī)定的命題，這樣的命題一般不用“正確與錯誤”或“真與假”進(jìn)行區(qū)分，更關(guān)注“優(yōu)與劣”或“好與壞”的差別。19～20世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854—1912）在其方法論著作《科學(xué)與方法》中，針對“什么是好的定義”，給出了簡明的答案：“它應(yīng)當(dāng)應(yīng)用且僅應(yīng)用于被定義的對象，是符合邏輯的?！盵9]

其中“應(yīng)用且僅應(yīng)用”闡釋的是定義中定義項(xiàng)“S ”與被定義項(xiàng)“P ”之間的關(guān)系，如果把“S ”看作是“P ”的條件，那么這樣的條件應(yīng)當(dāng)同時滿足“充分性”和“必要性”。條件的充分性指的是“有之則必然”。如果把面積單位定義表述為：

l如果一個平面圖形是邊長為1厘米的正方形，那么這個圖形的面積是1平方厘米。

此時“邊長1厘米的正方形面積”就成為“1平方厘米”的充分條件。條件的必要性表達(dá)的是“無之必不然”或“必不可少”的意義，文字表述中體現(xiàn)為“S是P ”與“P是S ”同時成立。比如對于數(shù)學(xué)中“質(zhì)數(shù)”的定義，下面兩種表述方式就是同時成立的。

l[恰有兩個因數(shù)的自然數(shù)S][是][質(zhì)數(shù)P]。

l[質(zhì)數(shù)P][是恰有兩個因數(shù)的自然數(shù)S]。

“一個自然數(shù)恰有兩個因數(shù)”就成為“這個自然數(shù)是質(zhì)數(shù)”的充分條件，同時也是必要條件，稱為充要條件。因此，質(zhì)數(shù)定義的表述符合龐加萊好定義的標(biāo)準(zhǔn)，這樣的好定義表現(xiàn)為被定義項(xiàng)與定義項(xiàng)在表述中可交換位置?！?平方厘米”的定義則不同，如果承認(rèn)如下“S是P ”的表述成立：

l[邊長1厘米的正方形面積S][是][1平方厘米P][。]

那么反過來“P是S ”并不成立，即“邊長1厘米的正方形面積”是“1平方厘米”的充分條件，但不是必要條件，并非是“必不可少”的。一個平面圖形不是邊長1厘米的正方形，其面積也可能是1平方厘米。這就是說，1平方厘米的定義不能表述為：[1平方厘米P]是[邊長1厘米的正方形面積S]。就像“我是教師”這句話不能說成“教師是我”。對于“S是P ”的表述，人們習(xí)慣于“S =P ”或“S

P ”的情況。前面關(guān)于質(zhì)數(shù)的定義中，“質(zhì)數(shù)”與“恰有兩個因數(shù)的數(shù)”就是“S =P ”的關(guān)系;“教師”一詞所指為“全體”職業(yè)為教師的人，“我”所指為“一個”職業(yè)為教師的人，因此符合“我<教師”的關(guān)系。“邊長1厘米的正方形面積”所指為“一個”確定形狀和大小的正方形面積，而“1平方厘米”所指為不確定形狀的“一類”平面圖形的面積，因此“邊長1厘米的正方形面積”與“1平方厘米”就是“S

教材中關(guān)于“1平方厘米”定義的表述應(yīng)當(dāng)說是符合“S

標(biāo)準(zhǔn)1：定義中同時包括定義項(xiàng)S和被定義項(xiàng)P。

標(biāo)準(zhǔn)2：定義項(xiàng)與被定義項(xiàng)的所指相同，即具備S = P的關(guān)系。

“1平方厘米”定義的困難在于平面圖形存在著“形異量等”的現(xiàn)象，而且這樣形異量等的圖形是無限多、無法窮舉的。指定任何一個或一類形狀都無法囊括所有面積為“1平方厘米”的圖形，這樣的現(xiàn)實(shí)使得標(biāo)準(zhǔn)2難以實(shí)現(xiàn)。如果不指定確定形狀的圖形，就會使得定義中缺失定義項(xiàng)，違背了標(biāo)準(zhǔn)1。因此對“1平方厘米”給出一個“好”的定義，似乎是難以實(shí)現(xiàn)的。

四、應(yīng)當(dāng)避免的“壞”定義

北京出版社2013年出版的教材（以下簡稱“京教版”）三年級下冊“長方形和正方形的面積”單元中，直接用指數(shù)冪的符號作為平方厘米定義的被定義項(xiàng)，將定義敘述為：“邊長是1厘米的正方形，面積是1[厘米2]，也可以寫作：1cm2，讀作：1平方厘米?！睘榱诵形姆奖?，不妨把定義的主干表述為定義3的形式。

定義3：[邊長1厘米的正方形面積S]是[1厘米2P]。

定義3的句式結(jié)構(gòu)與前面類似，是將“邊長是1厘米的正方形”作為定義項(xiàng)（S ），符號“1[厘米2]（1cm2）”作為被定義項(xiàng)（P ）。這樣的表述并未消除定義項(xiàng)與被定義項(xiàng)所指不一致的模糊性現(xiàn)象，同時還會使邏輯意義自相矛盾。同單元在《面積和面積單位》之后出現(xiàn)《長方形與正方形的面積》，其中正方形面積公式寫為：正方形的面積=邊長[×]邊長。

按照這一公式，定義3中“邊長1厘米的正方形面積”就應(yīng)當(dāng)成為：1厘米[×]1厘米=[（1厘米）2]，這樣就出現(xiàn)了命題1。

命題1：[邊長1厘米的正方形面積S]是[（1厘米）2P]。

對比定義3與命題1可以發(fā)現(xiàn)，“邊長1厘米的正方形面積”既是“1[厘米2]”，又是“[（1厘米）2]”。同一個主語出現(xiàn)了兩個不同的表語P1和P2，表述為命題2。

命題2：

[邊長1厘米的正方形面積S是1厘米2P1（1厘米）2P2]

形式邏輯中的無矛盾律要求“是”與“非”不能同時為真，如果“S是P ”為真，那么“S是非P ”就為假?！癝既是P，又是非P ”的情況，就被視為違背無矛盾律。對于命題2“S既是P1，又是P2”的情況是否合乎邏輯，關(guān)鍵要看P1和P2之間是什么關(guān)系。

用索緒爾的術(shù)語說，“1[厘米2]”與“（1厘米）2”是兩個不同的能指?！?[厘米2]”是表示“1平方厘米”的符號，所指為量的范疇，是任意形狀的“一類”圖形的面積，其中的“1”所指是面積。圖4中如果右下角正方形面積是1厘米2，那么其他四個圖形面積分別與之相等，均為1厘米2。

“（1厘米）2”則不同，是表示“1厘米的平方”的符號，同時具有形和量的雙重意義，所指為邊長1厘米正方形的面積（如圖5），其中的“1”指向正方形的邊長。

如果把“1厘米2”與“（1厘米）2”中的數(shù)字1換為2，那么“2厘米2”與“（2厘米）2”不僅意義不同，表示量的數(shù)值也不相等（如圖6）。（2厘米）2表示邊長2厘米正方形的面積，等于4厘米2，即（2厘米）2=4厘米2。

因此，“（1厘米）2”與“1厘米2”是兩個所指不同的符號，正如代數(shù)運(yùn)算中“ɑ2厘米”不同于“（ɑ厘米）2”，如果把二者混淆，就會出現(xiàn)“1萬米=1米”的邏輯悖論。

1萬米=10000米

=（100米）2

=（[1100]萬米）2

=[110000]萬米

=1米

綜上所述，京教版中用符號“1厘米2”作為面積單位的被定義項(xiàng)，會形成“1厘米×1厘米=（1厘米）2”的認(rèn)識，給教師的教學(xué)帶來困難。為了避免這樣的混淆，需要進(jìn)一步認(rèn)識“1厘米2”與“（1厘米）2”的關(guān)系。

五、“[1厘米2]”與“（1厘米）2”的關(guān)系

“1厘米2”與“（1厘米）2”并非是非此即彼的相斥關(guān)系。從量的角度看，“1厘米2”與“（1厘米）2”表示的面積相等;從形的角度看，“1厘米2”表示任意形狀，而“（1厘米）2”僅表示正方形。因此“1厘米2”與“（1厘米）2”符合包含與被包含的種屬關(guān)系，這樣的種屬關(guān)系可以從圖4明顯看出。下面從代數(shù)運(yùn)算的角度來看“1厘米2”與“（1厘米）2”的關(guān)系。

用代數(shù)的眼光看，名數(shù)“ɑ厘米”表示“1厘米的ɑ倍”，即“ɑ厘米=ɑ[×]1厘米”，不帶系數(shù)的“厘米”默認(rèn)的意義就是系數(shù)為1的“1厘米”。因此，厘米2所表達(dá)的“厘米[×]厘米”可以看作是“1厘米[×]1厘米”，也就是“（1厘米）2”。表示為如下等式。

l1厘米2=1[×]（厘米×厘米）=1[×]（1厘米[×]1厘米）=1[×]（1厘米）2

其中“1厘米2”表示“1平方厘米的面積”，“1[×]（1厘米）2”表示“邊長1厘米正方形面積的1倍”。因此“1厘米2”與“（1厘米）2”的關(guān)系可以用語言敘述為：1平方厘米的面積是邊長1厘米正方形面積的1倍。以此類推，“2厘米2”與“（2厘米）2”的關(guān)系為：2平方厘米的面積是邊長1厘米正方形面積的2倍。更進(jìn)一步“ɑ厘米2”與“（1厘米）2”的關(guān)系可以用語言和等式分別表示。

lɑ平方厘米的面積是邊長1厘米正方形面積的ɑ倍。

lɑ厘米2=ɑ[×]（1厘米）2

由此可知，表達(dá)“平方厘米”的“厘米2”，不僅是面積單位的符號，同時具有代數(shù)運(yùn)算的意義。因此對“[厘米2]”這一符號的認(rèn)識，實(shí)質(zhì)是對代數(shù)運(yùn)算的初步感知，是實(shí)現(xiàn)小學(xué)與初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容一致性認(rèn)識的一個重要銜接點(diǎn)。因此需要在教材編修過程中引起足夠重視。

總之，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的抽象性決定了教材中概念與符號具有“不確定性”[10]。按照皮爾士的觀點(diǎn)，這樣的不確定性主要體現(xiàn)為意義的“廣泛”與“模糊”兩個方面[11]?！皬V泛”指的是所指對象的意義是清晰的，但有較多的可能，就像“1平方厘米”所指面積大小是清晰的，但可以是無數(shù)形狀圖形的面積，會出現(xiàn)“1平方厘米既不是正方形面積，也不是三角形面積”的其他情況，使得習(xí)慣的排中律思維難以應(yīng)用;“模糊”與廣泛略有差異，所指對象往往是確定的，但在某語境中難以確定對信息的“取”與“舍”，用“正方形”面積定義“1平方厘米”，使得這一詞匯滲入了形與量的雙重意義，具有了難以取舍的模糊性，具體表現(xiàn)為“1平方厘米既可以是正方形面積，也可以不是正方形面積”，“是”與“非”同時為真，違背了無矛盾律。

因此，“1平方厘米”這一術(shù)語具有意義的一般性，教材中關(guān)于“1平方厘米”定義的表述具有語義的模糊性。這種一般性與模糊性可以概括為所指的不確定性，成為一線教師的教學(xué)困難和學(xué)生的認(rèn)知障礙。

總之，細(xì)品教材中“1平方厘米”的定義，旨在說明我國目前教材中的問題是普遍存在的。教材是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源，教師、學(xué)生、家長視之為寶典，奉之為圭臬。因此教材編修應(yīng)當(dāng)慎之又慎，重視并仔細(xì)斟酌、診斷問題，唯有如此才有可能使教材質(zhì)量得以提升。

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（1.首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院? ?100048

2. 首都師范大學(xué)教育學(xué)院? ?100037）