淺析如何利用化歸思想提升解題效率

賈大雷

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)思想是學(xué)習(xí)的靈魂，是學(xué)科的精髓，是解題的風(fēng)向標(biāo)，是知識(shí)向能力轉(zhuǎn)化的高架橋，其有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，有利于促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力的提升. 因此，其在數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位是毋庸置疑的. 文章以函數(shù)教學(xué)為例，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析探究和合作交流體驗(yàn)化歸思想在函數(shù)中的應(yīng)用，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)問(wèn)題的本質(zhì)特征，找到解決問(wèn)題的最佳方案，從而提升解題效率.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)思想；化歸思想；解題效率

高中數(shù)學(xué)題目多變，尤其是高考數(shù)學(xué)題目更新穎別致，面對(duì)這些多變、新穎的題目學(xué)生難免會(huì)感覺陌生，那么如何去找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)和突破口呢？筆者認(rèn)為，當(dāng)遇到復(fù)雜的、陌生的題目時(shí)，要結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)將問(wèn)題向簡(jiǎn)單化和熟悉化轉(zhuǎn)變，從而降低問(wèn)題難度，打開解題的思路，成功解決問(wèn)題. 要實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)變就需要重視學(xué)生化歸思想的培養(yǎng). 筆者通過(guò)具體案例淺談化歸思想在函數(shù)中的應(yīng)用，借此全面提升學(xué)生的能力.

[?]夯實(shí)基礎(chǔ)，化歸更自覺

堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)是解題策略實(shí)施以及數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)的動(dòng)力源，若教學(xué)中僅談如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想而不重視基礎(chǔ)知識(shí)的積累，那么數(shù)學(xué)思想就猶如空中樓閣，雖然美好卻難以落地. 因此，教學(xué)中要重視對(duì)“三基”的培養(yǎng)，同時(shí)要注意引導(dǎo)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中注意對(duì)方法和規(guī)律的總結(jié)，從而潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生在解題中可以自覺地、靈活地運(yùn)用.

例如，若想利用好函數(shù)的奇偶性，學(xué)生應(yīng)先掌握函數(shù)的定義，理解函數(shù)的特點(diǎn)，對(duì)函數(shù)圖像及其特點(diǎn)也要熟記入心，只有將這些基礎(chǔ)都吃透，應(yīng)用時(shí)才能得心應(yīng)手.

例1 偶函數(shù)f（x），定義域?yàn)椋?2，2］，當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)為減函數(shù). 如果f（1-m）

本題求解時(shí)很多學(xué)生都想從函數(shù)的定義域出發(fā)，雖然能確定1-m和m在區(qū)間［-2，2］內(nèi)，但不能確定1-m和m哪個(gè)在［-2，0］內(nèi)、哪個(gè)在［0，2］內(nèi)，因此，若按照這個(gè)思路求解需要進(jìn)行煩瑣的分類討論. 眾所周知，雖然分類討論可以化大問(wèn)題為小問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化，然若分類步驟過(guò)多可能會(huì)需要較多的時(shí)間，而且若分類不清會(huì)使出錯(cuò)的概率大大提升. 因此，利用分類討論求解該問(wèn)題并不是最優(yōu)解決方案，解題時(shí)要盡量規(guī)避分類討論. 另外，采用分類討論的思路，煩瑣的步驟、復(fù)雜的過(guò)程容易使學(xué)生出現(xiàn)畏難情緒，從而失去繼續(xù)探究的動(dòng)力. 基于此，教師要及時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)：

師：學(xué)習(xí)奇、偶函數(shù)時(shí)有這樣兩個(gè)等價(jià)關(guān)系還記得嗎？

①對(duì)于偶函數(shù)，有f（x）=f（

x

）；②對(duì)于奇函數(shù)，若在x=0處有意義，則f（0）=0. （教師給出這兩個(gè)等價(jià)關(guān)系后，學(xué)生很快給出了答案）

生1：因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，故有f（-m）=f（m）=f（

m

），由已知f（1-m）

1-m

）

m

）；又當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，所以1-m>m，m≤2，1-m≤2，解得m∈

-1，

.

應(yīng)用化歸思想使解題過(guò)程更加簡(jiǎn)潔方便，極大地增加了學(xué)生解題的信心，當(dāng)學(xué)生再解決類似的函數(shù)問(wèn)題時(shí)會(huì)自覺地嘗試化歸轉(zhuǎn)化.

[?]分析探究，化歸更靈活

探究是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必經(jīng)之路，只有經(jīng)過(guò)不斷的探究才能更好地將新知內(nèi)化至已有認(rèn)知體系中，從而促進(jìn)知識(shí)體系的完善，為知識(shí)的轉(zhuǎn)化和遷移提供動(dòng)力源. 同時(shí)，通過(guò)探究可以提升學(xué)生的總結(jié)歸納能力，使學(xué)生能抓住問(wèn)題的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)思想的精髓，推動(dòng)數(shù)學(xué)思想的發(fā)展.

函數(shù)是高考的核心考點(diǎn)之一，雖然教學(xué)時(shí)對(duì)函數(shù)部分進(jìn)行了重點(diǎn)講解和重點(diǎn)練習(xí)，然因涉及的知識(shí)點(diǎn)眾多，學(xué)生面對(duì)部分函數(shù)問(wèn)題求解時(shí)仍然會(huì)感覺束手無(wú)策，難以找到解題的突破口. 為了改變這一現(xiàn)象，部分教師采取了直接講授法，然因題目多變，直接講授未能達(dá)到預(yù)期效果. 為了引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)已知與未知間的聯(lián)系，從而找到解決問(wèn)題的突破口，教學(xué)中教師不妨引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析探究，在分析探究的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)特征，找到解題的規(guī)律，進(jìn)而總結(jié)歸納出解題思路和解題方法，提升解題能力.

例如，解決二次函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，學(xué)生常用圖像法或代數(shù)法，然對(duì)于一些含參的二次函數(shù)用該方法求解，其求解過(guò)程會(huì)較為復(fù)雜，故解題時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化，從而找到解題的最優(yōu)方案.

例2 二次函數(shù)f（x）=ax2+x-a，其中a≤1，求證：x≤1時(shí)，f（x）≤.

本題求解時(shí)若直接從二次函數(shù)的思路入手，顯然計(jì)算復(fù)雜，不易求解，因此需要轉(zhuǎn)換思路，換個(gè)角度觀察. 若將a看成主元，將x看成參數(shù)，則有g(shù)（a）=（x2-1）a+x，轉(zhuǎn)換后即變成了一次函數(shù)問(wèn)題，降次后運(yùn)算步驟及運(yùn)算難度都會(huì)大大降低. 結(jié)合已知，進(jìn)行分類討論：①x2-1=0；②x2-1≠0. 這樣通過(guò)化歸轉(zhuǎn)化和分類討論，解決問(wèn)題也就水到渠成了.

例3 求函數(shù)y=2x-的值域.

本題是含根號(hào)的函數(shù)，若直接平方去根號(hào)顯然不容易計(jì)算，故可將看成一個(gè)整體，即設(shè)t=，原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，再確定函數(shù)值域.

令t=，則t≥0，x=t2+1，所以y=2（t2+1）-t=2

t-

+（t≥0），所以值域?yàn)?/p>

，+∞

.

求解函數(shù)的值域問(wèn)題，雖然有多種方法，然根據(jù)解析式特點(diǎn)進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化為解題通法，應(yīng)用此方法往往使解題過(guò)程和運(yùn)算過(guò)程更簡(jiǎn)便，可以看作解決此類問(wèn)題的最佳方案.

在求解過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷探究過(guò)程，使其參與解題教學(xué)，不僅可以提升學(xué)生參與的積極性，還可以在探究過(guò)程中涌現(xiàn)出許多新思路或新想法，使課堂氣氛更加生動(dòng). 另外，在教學(xué)中滲透化歸思想，相當(dāng)于為學(xué)生架設(shè)了一座從已知通往未知的橋梁，使已知與未知的轉(zhuǎn)化更流暢，解題更高效.

[?]舉一反三，化歸更高效

高中數(shù)學(xué)各章節(jié)雖然有明顯的劃分，然知識(shí)點(diǎn)之間往往存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，這種聯(lián)系就是轉(zhuǎn)化的開端. 因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要關(guān)注知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，關(guān)注知識(shí)體系的建構(gòu). 函數(shù)可謂貫穿了高中數(shù)學(xué)的始終，到處都有其具體的應(yīng)用，如不等式問(wèn)題或方程問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，借助函數(shù)圖像，通過(guò)數(shù)形結(jié)合找到解決問(wèn)題的突破口；當(dāng)然，有時(shí)解決函數(shù)問(wèn)題也往往需要將其轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題或不等式問(wèn)題. 無(wú)論相互之間如何轉(zhuǎn)化，其目的都是使題目變得更加直觀和簡(jiǎn)單. 在解題教學(xué)中，學(xué)生應(yīng)注意觀察和分析題目的特點(diǎn)，從具體問(wèn)題出發(fā)，切勿因盲目套用而使問(wèn)題更加抽象和復(fù)雜，得不償失.

例4 已知函數(shù)f（x），a≤x≤b，其中a+b>0，試求g（x）=f（x+z）+f（x-z）的定義域.

本題為求函數(shù)定義域的問(wèn)題，若從函數(shù)的角度進(jìn)行思考，結(jié)論會(huì)過(guò)于抽象，感覺無(wú)從下手，故需要將其轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，這樣可使問(wèn)題變得更加直觀，而且求解過(guò)程也會(huì)更加熟悉，有助于提升學(xué)生的解題信心和解題積極性.

求解時(shí)教師不讓學(xué)生急于下手，而是通過(guò)合作交流一起認(rèn)真解讀已知和結(jié)論，通過(guò)交流、觀察和探究建立不等式組a≤x+z≤b，

a≤x-z≤b，推導(dǎo)關(guān)于x的不等式組，結(jié)合z>0可得a-z

利用化歸思想實(shí)現(xiàn)了由函數(shù)向不等式的轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題迎刃而解. 通過(guò)化歸使知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系變得更加直觀，有利于學(xué)生知識(shí)體系的完善.

雖然對(duì)化歸思想的理解學(xué)生還僅僅停留于表面，然學(xué)生對(duì)化歸思想的應(yīng)用卻并不陌生，其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中無(wú)處不在. 作為重要的數(shù)學(xué)思想，化歸在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，其有利于訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)可以從不同角度、不同渠道去思考，通過(guò)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系將問(wèn)題向有利于求解的方向轉(zhuǎn)化.

總之，應(yīng)用化歸思想可使問(wèn)題的轉(zhuǎn)化更具方向性，可使知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系更加直觀，可使解題方法更加簡(jiǎn)單. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視滲透化歸思想，將其融入“三基”，通過(guò)潛移默化的引導(dǎo)和應(yīng)用使學(xué)生形成化歸意識(shí). 這樣，當(dāng)學(xué)生面對(duì)新知識(shí)、新問(wèn)題時(shí)可以運(yùn)用已有知識(shí)和已有經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)觀察、分析、思考，使問(wèn)題從陌生向熟悉轉(zhuǎn)化，從而提升解題效率.