“微探究”助力學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念

吳玉珠

[摘? 要] 文章以“函數(shù)的零點”一課為例，通過“微探究”方法，展示知識的生成過程，以及知識點之間的聯(lián)系，讓學(xué)生在探究中體驗感受、建構(gòu)的過程，從而更好地突破教學(xué)難點，加深學(xué)生對概念的理解與應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞] 微探究;數(shù)學(xué)概念;函數(shù)的零點

關(guān)于“微探究”的理解

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》重點談到，對于教學(xué)方式，尤其要關(guān)注促進(jìn)從教到學(xué)的變化，應(yīng)根據(jù)不同的內(nèi)容，采用不同的教學(xué)與學(xué)習(xí)方式. 如收集資料、調(diào)查研究等方式，或者實踐探索、自主探究、合作交流等方式. 隨著新課程改革的進(jìn)一步深化，探究式教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂上也越來越受到重視，并逐步成為高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一種主流形式. 然而，在高中數(shù)學(xué)探究課堂上往往存在諸多問題，如教學(xué)任務(wù)的限制，升學(xué)的壓力，學(xué)生學(xué)習(xí)方式上的依賴思想，探究時間的把控，等等，為了改善探究式教學(xué)的弊端，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提出一種半結(jié)構(gòu)化的探究式教學(xué)方式——“微探究”.

在倡導(dǎo)探究式教學(xué)的新課改背景下，如何有效地開展概念教學(xué)是一線教師必須思考的課題. 概念的形成是概念教學(xué)的基礎(chǔ)和重點，甚至是一個難點. 建構(gòu)主義教學(xué)觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識不是簡單地通過教師灌輸?shù)綄W(xué)生的頭腦中，需要基于個人經(jīng)驗的操作、交流，通過反省而主動建構(gòu). 所以，教學(xué)中恰當(dāng)使用“微探究”方法，充分展示知識的形成過程，讓學(xué)生在體驗中感受、建構(gòu)，不僅可以有效地突破概念教學(xué)的難點，還可以幫助學(xué)生深刻理解概念，以及培養(yǎng)其運用概念的意識與能力.

“微探究”在“函數(shù)的零點”一課應(yīng)用的思考

1. 本節(jié)課的地位和作用

函數(shù)是研究事物變化過程的數(shù)學(xué)模型，而方程刻畫的則是相等關(guān)系成立的某種狀態(tài).本節(jié)課在已有知識從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究一般函數(shù)零點的概念及函數(shù)零點存在性定理，并用函數(shù)零點存在性定理判斷函數(shù)零點是否存在.嘗試研究函數(shù)的零點與方程的解之間的關(guān)系，不僅可以為“用二分法求方程的近似解”的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，也進(jìn)一步揭示了方程與函數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系——“函數(shù)與方程思想”的理論基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用.函數(shù)的零點在中學(xué)數(shù)學(xué)中具有核心地位.

2. 本節(jié)課內(nèi)容剖析

本節(jié)課內(nèi)容有函數(shù)零點的概念、函數(shù)的零點與方程的解的關(guān)系、函數(shù)零點存在性定理.在蘇教版必修第一冊3.3.1節(jié)中，學(xué)生已初步掌握了二次函數(shù)的零點、一元二次方程的解、二次函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)三者之間的關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，推廣到一般函數(shù)的零點、相應(yīng)方程的解、函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)三者之間的關(guān)系.通過函數(shù)與方程的聯(lián)系，研究函數(shù)零點存在性定理，體驗轉(zhuǎn)化與化歸思想的意義與價值，感知函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本模型，體會符號化、模型化的思想，體驗從系統(tǒng)的角度思考局部問題的思想，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3. 學(xué)生的學(xué)情分析

在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)零點的概念，初步掌握了二次函數(shù)的零點、一元二次方程的解、二次函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)三者之間的關(guān)系，這為進(jìn)一步了解函數(shù)的零點做了鋪墊.本節(jié)課是在二次函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步的延伸與拓展，再次從“形”的角度上升到“方程的解”這一代數(shù)本質(zhì)去理解函數(shù)零點存在性定理. （1）結(jié)合學(xué)生已有的知識經(jīng)驗（二次函數(shù)零點的概念），類比得到一般函數(shù)零點的概念;（2）對于一般函數(shù)的零點，讓學(xué)生明白該如何去求解零點，如何判斷零點是否存在，零點存在的依據(jù)是什么;通過舉反例，利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，拓寬學(xué)生的思維，提升學(xué)生解決問題的能力;（3）基于本班學(xué)生思維較活躍，采用小組合作、問題探究、實際問題分析、動手操作等形式開展教學(xué)活動，使學(xué)生認(rèn)識和理解知識. 基于此，設(shè)計本節(jié)概念課教學(xué)時，決定利用“微探究”方法，在零點存在性定理的探究中，拿出8—10分鐘時間，引導(dǎo)學(xué)生用自我探究與合作學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，使其體驗過程，培養(yǎng)其能力，以小見大，見微知著.

“微探究”在“函數(shù)的零點”一課中的應(yīng)用流程

“微探究”在“函數(shù)的零點”一課中的應(yīng)用流程如圖1所示：

1. 函數(shù)零點的概念

觀察二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像，回顧二次函數(shù)的零點、一元二次方程的解以及二次函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)三者之間的關(guān)系（如圖2所示）：

問題1：（用幾何畫板展示函數(shù)y=x2-2x-1，y=-x3+x2-x+1，y=3x-x2的圖像）能否通過這些圖像類比推導(dǎo)一般函數(shù)y=f（x）零點的概念？

設(shè)計意圖：從簡單的函數(shù)圖像到復(fù)雜的函數(shù)圖像讓學(xué)生通過直觀感知，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)同相應(yīng)方程的解的關(guān)系，讓學(xué)生通過已掌握的二次函數(shù)零點的概念類比得到一般函數(shù)零點的概念. 由特殊到一般，在復(fù)習(xí)舊知中孕育新知.

師生活動：通過一組函數(shù)圖像的展示，讓學(xué)生結(jié)合前面已掌握的二次函數(shù)的零點進(jìn)行類比，“以形助數(shù)”得到一般函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)y=f（x），使得f（x）=0的實數(shù)x叫做y=f（x）的零點.

進(jìn)一步追問：函數(shù)的零點、方程的解、函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)三者之間存在什么關(guān)系？學(xué)生根據(jù)已有知識類比得到三者之間的關(guān)系（如圖3所示）：

2. 零點存在性定理

問題2：判斷下列函數(shù)是否存在零點.

（1）y=x2-2x-3;

（2）y=2021x2-2023x+1;

（3）y=lnx+2x-6.

設(shè)計意圖：由易到難，層層遞進(jìn)，拾級而上，從圖形中感知零點存在性.

師生活動：第（1）問和第（2）問由學(xué)生動手作出函數(shù)圖像，第（3）問由幾何畫板展示函數(shù)圖像，使學(xué)生在動手實踐中獲得經(jīng)驗，讓學(xué)生從圖形中充分感知零點存在性，自然過渡到問題3.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察函數(shù)圖像，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，為后續(xù)零點存在性定理的理解做好鋪墊.

問題4：若對于定義在[a，b]的函數(shù)y=f（x），f（a）f（b）<0能否確定y=f（x）存在零點？請舉例說明，分組討論. 以f（a）<0，f（b）>0為例，y=f（x）在（a，b）中是否存在零點？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生根據(jù)已有知識進(jìn)一步思考，由零點兩側(cè)函數(shù)值的正負(fù)關(guān)系，為零點存在性定理的理解增加感性認(rèn)識和理性思考.

師生活動：學(xué)生分組討論，充分醞釀，教師適當(dāng)給予提醒和幫助. 預(yù)設(shè)可能出現(xiàn)的情況：（1）用直線連接，如圖4①所示;（2）用曲線連接，如圖4②所示;（3）定義域[a，b]內(nèi)，函數(shù)的圖像斷開不連續(xù)，如圖4③、圖4④所示.

問題5：（結(jié)合情況（3）追問）需滿足什么條件才能說明y=f（x）在（a，b）內(nèi)存在零點？

引出零點存在性定理：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且f（a）f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個零點.

問題6：若f（a）f（b）>0，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)一定沒有零點嗎？

問題7：若f（a）f（b）<0，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個零點嗎？可能有幾個？

問題8：零點存在性定理中函數(shù)y=f（x）的圖像在區(qū)間[a，b]內(nèi)是連續(xù)不斷的，判斷零點在（a，b）內(nèi)有什么理由？

設(shè)計意圖：通過“問題串”的形式環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生有充分的時間進(jìn)行探究，體驗概念的形成過程，讓學(xué)生在探究中領(lǐng)會函數(shù)的零點存在性定理，巧妙地突破和化解對函數(shù)零點存在條件的理解這一難點.

“微探究”給我們的啟發(fā)

1. “微探究”應(yīng)以問題驅(qū)動激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機

法國啟蒙思想家盧梭說過，“問題不在于告訴學(xué)生一個真理，而在于教他怎樣去發(fā)現(xiàn)真理.”函數(shù)的零點概念的生成不是孤立的，是通過問題引導(dǎo)學(xué)生利用二次函數(shù)的零點類比獲得的. 對于零點存在性定理的條件的探究，主要讓學(xué)生通過函數(shù)圖像直觀感受零點存在的條件. 基于這樣的考慮，以“問題驅(qū)動”實施“微探究”，用“問題”激發(fā)學(xué)生的探究欲望，在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機的同時，使得學(xué)生在知識生成過程中體驗獲得感，增強學(xué)生的理解能力.

2. “微探究”應(yīng)尊重學(xué)生的實際學(xué)情

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾指出，“積極地數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)是數(shù)學(xué)活動（思維活動）的教學(xué)，而不是數(shù)學(xué)活動結(jié)果. ”因此，教學(xué)應(yīng)以學(xué)生已有的基本活動經(jīng)驗與知識水平為基礎(chǔ)，既不要低估學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，也不要過高估計學(xué)生的知識水平，在學(xué)生能力的“最近發(fā)展區(qū)”與“最低發(fā)展區(qū)”提出問題（甚至可以聯(lián)系其他學(xué)科設(shè)置問題）是教師的基本功之一.從教學(xué)設(shè)計來看，問題4雖然抽象，但是學(xué)生通過大膽作圖，借助圖像舉反例，尋找根源，通過小組討論，讓學(xué)生在思維碰撞中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，然后有效地解決問題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的“四基四能”.

3. “微探究”應(yīng)注重學(xué)生為主體設(shè)計目標(biāo)

數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計是基于學(xué)科知識、課程知識、學(xué)生知識這三者而實施的，教學(xué)過程靈活多變，需要教師通過問題設(shè)置使得課堂是教師主導(dǎo)、學(xué)生主體的翻轉(zhuǎn)課堂，讓更多的學(xué)生參與課堂活動，同時要善于運用小巧、靈活的“微探究”，引導(dǎo)學(xué)生“樂于其中，學(xué)于其中，研在其中”，不斷經(jīng)歷概念抽象、生成的過程，深刻理解概念、掌握概念與運用概念.

作者簡介：吳玉珠（1983—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級教師，棲霞區(qū)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.